Circuiti RC ed RL in evoluzione libera

Circuiti RC ed RL in evoluzione libera

Circuito RC

Consideriamo il circuito:

Supponiamo che a t₀ il condensatore sia carico. Per semplicità: t₀ = 0. V_c(0) ≠ 0 → vogliamo ricavare V_c(t).

Applichiamo LKT:

R i(t) + V_c(t) = 0

R C . ^dV_c/_dt + V_c(t) = 0

^dV_c/_dt + ¹/_τ V_c(t) = 0 con τ = RC   Costante di tempo

Relazione caratteristica del condensatore: i = C . ^dV_c/_dt

Circuito RL

Allo stesso modo, consideriamo il circuito:

Supponiamo che a t₀ l'induttore sia percorso da corrente. t₀ = 0. i_L(0) ≠ 0 → troviamo i_L(t).

Applichiamo LKC:

^V(t)/_R + i_L(t) = 0

^L/_R ^di_L/_dt + i_L(t) = 0

Relazione caratteristica dell'induttore: V = L . ^di/_dt

Circuiti RC ed RL in evoluzione libera

Circuito RC

Consideriamo il circuito:

Supponiamo che a t₀ il condensatore sia carico. Per semplicità: t₀ = 0. V_c(0) ≠ 0 → vogliamo ricavare V_c(t).

Applichiamo LKT:

R i(t) + V_c(t) = 0

R·C·^dV_c/_dt + V_c(t) = 0

^dV_c/_dt + ¹/_τ V_c(t) = 0 con τ = RC

Relazione caratteristica del condensatore: i = C·^dV_c/_dt

Circuito RL

Allo stesso modo, consideriamo il circuito:

Supponiamo che a t₀ l'induttore sia percorso da corrente. t₀ = 0. i_L(0) ≠ 0 → troviamo i_L(t).

Applichiamo LKC:

^V(t)/_R + i_L(t) = 0

^L/_R ^di_L/_dt + i_L(t) = 0

Relazione caratteristica dell'induttore: V = L·^di/_dt

^di_L/_dt + (1/_τ) i_L(t) = 0 con τ = L/R

⇒ I due circuiti sono descritti dalla stessa equazione differenziale in forma standard:

^dx(t)/_dt + (1/_τ) x(t) = 0

Quando fissiamo la condizione iniziale x(0), l'equazione ha una soluzione unica:

x(t) = x(0) e^-t/_τ

Circuiti RL ed RC con un generatore costante

Supponiamo di conoscere V_C(0).

Applichiamo LKT:

V_S = R i(t) + V_C(t)

V_S = RC _dVC/_dt + V_C(t)

_dVC/_dt + (1/_τ) v_C(t) = V_S/_τ

Supponiamo di conoscere i_L(0).

Applichiamo LRT:

I_S = V(t)/_R + i_L(t)

I_S = (L/_R) _diL/_dt + i_L(t)

_diL/_dt + (1/_τ) i_L(t) = I_S/_τ

In entrambi i casi si ottiene:

_dx(t)/^dt + ¹/_τ x(t) = ^xp/_τ

la cui Soluzione è:

x(t) = [x(0) - xp]e^-t/τ + xp

Per t → ∞ :

La tensione V_c(t) del condensatore diventa costante ⇒ il condensatore si comporta come un circuito aperto.

La corrente i_L(t) dell'induttore diventa costante ⇒ l'induttore si comporta come un cortocircuito.

Metodo sistematico

Circuiti RC

• Se V_c(0) non è nota, ricavare V_c(0⁻) dal circuito precedente in regime costante.
• Sostituire il condensatore con un circuito aperto, calcolando V_c(∞).
• Ricavare R_eq vista dal condensatore.
• Trovare V_c(t) = [V_c(0) - V_c(∞)]e^-t/τ + V_c(∞).
• Sostituire il condensatore con un generatore indipendente di tensione di valore V_c(t) o un generatore di corrente di valore i_C(t) = C. _dvc/^dt, quindi ricavare x(t).

Circuiti RL

• Se i_L(0) non è nota, ricavare i_L(0⁻).
• Sostituire l'induttore con un cortocircuito e trovare i_L(∞).
• Ricavare R_eq vista dall'induttore.
• Trovare i_L(t) = [i_L(0) - i_L(∞)]e^-t/τ + i_L(∞).