Resistenze e circuiti RC

R I ΔV f I V

funzioni e .

interna em interna

Considerando un conduttore con due punti A e B, l’energia infinitesima spesa

dal generatore per spostare una carica dal punto A al punto B è uguale a

dQ dL d E Δ VdQ

= = =

P= Δ VI

. Considerando che la potenza è , che è

ΔVdQ=d E dt dt dt

proprio la formula dell’effetto Joule per esprimere la potenza assorbita,

2

dissipata o erogata da un circuito, si può scrivere anche come o

P=R I

2

ΔV . Dato che c’è una dipendenza quadratica dalla corrente, per

P= R

risparmiare conviene sempre lavorare con correnti basse, ciò è espresso

dall’alto voltaggio delle torri per la trasmissione di corrente.

Date due resistenze messe in serie, la resistenza equivalente è uguale alla

somma delle resistenze, questo poiché data una situazione di questo tipo:

−V +V −V =V −V

V

Il voltaggio totale è uguale a , ma la prima

A B B C A C

espressione è uguale a, essendo attraversati i due resistori dalla stessa

( )

+ =I + =V −V

R I R I R R

corrente, . Che è proprio la differenza di potenziale

1 2 1 2 A C

fra i due punti e quindi la totale.

Potremmo invece avere un’altra situazione, di questo tipo:

In questo caso il reciproco della resistenza equivalente è uguale alla somma dei

reciproci delle resistenze. In questo caso la corrente che percorre le due

resistenze non è uguale. Si ha infatti

{ −V =R

V I ΔV ΔV

= =

I I

A B 1 1 , quindi andando a ricavare le correnti si ha ,

1 2

R R

−V =R

V I 1 2

A B 2 2 =I +

I I

, applicando la prima legge di Kirchoff si ha che e

1 2

ΔV

=

R

contemporaneamente , sostituendo con le equazioni sopra si ha

eq I

1

=

R 1 1 1

= +

eq 1 1 e andando a fare il reciproco si ha e quindi

+ R R R

eq 1 2

R R

1 2

R R

1 2 R R

=

R , nei casi limite (ossia per o grandi rispetto all’altra

1 2

eq +

R R

1 2

resistenza [che diventa trascurabile]) si ottiene sempre la resistenza minore.

METODO VOLTAMPEROMETRICO

Il metodo voltamperometrico è una tecnica che viene usata per effettuare

misurazioni precise quando si vuole contemporaneamente misurare la corrente

e la differenza di potenziale lungo un resistore.

Data una situazione del genere:

Ricordando che l’amperometro va messo in serie con il carico e il voltmetro in

parallelo, in questo caso la misurazione della differenza di potenziale è giusta,

ma quella della corrente è falsa, questo poiché anche il voltmetro ha una sua

resistenza interna. Per ovviare a questo problema, seguendo le regole di

addizione dei resistori in parallelo, è necessario che il voltmetro abbia una

resistenza interna molto alta, in modo da ottenere in questo modo come

R

misurazione soltanto la corrente lungo .

1

Analogamente, si potrebbe avere una situazione del genere:

In questo caso, invece, la misurazione della corrente è corretta, ma quella del

voltmetro è sbagliata, poiché, analogamente, anche l’amperometro ha una sua

resistenza interna. Seguendo stavolta le regole di addizione dei resistori in

serie, è necessario che la resistenza interna dell’amperometro sia molto

R

piccola, così da essere trascurabile rispetto a .

1

Con il metodo voltamperometrico la resistenza va misurata sia col voltmetro

che con l’amperometro, altrimenti non si ha il circuito di partenza.

CIRCUITO RC: CARICA DI UN CONDENSATORE

Un circuito RC, come suggerisce il nome, è un circuito formato da resistori e

condensatori caratterizzato da una serie di proprietà, esso è di questo tipo:

La situazione ideale è di questo tipo: all’inizio con l’interruttore aperto si ha una

corrente pari a 0, chiudendo l’interruttore si ha un picco di corrente che tende a

0 per il tempo che tende ad infinito (il condensatore non si carica mai

completamente nella realtà), man mano che il condensatore si carica, la

corrente diminuisce. Applicando la seconda legge di Kirchoff si ha:

Q

+ =0

Ri−f em C

(La corrente parte dal generatore e prosegue in senso antiorario).

f

Con la caduta di potenziale del resistore, la forza elettromotrice del

Ri em

Q

generatore e la differenza di potenziale totale del condensatore, si ha che

C

il condensatore a mano a mano che si carica acquisisce una carica .

dQ

Quindi applicando la definizione di corrente e ordinando l’equazione si ha:

dQ Q

=R +

f em dt C

Attenzione, Q indica la carica totale sul condensatore, e non l’infinitesimo di

carica. Adesso si applichino i seguenti passaggi per arrivare all’equazione in

funzione del tempo della carica e quindi andare a calcolare la corrente. Prima di

tutto isolo i due differenziali:

Q dQ dQ ( )

− =R =RC −Q=τ −Q =τd

f → moltiplico per C e pongo τ →C f → divido i differenziali→ dt C f

em em em

C dt dt

Quindi abbiamo ottenuto l’equazione della carica, che è proprio uguale a

C f per il tempo che tende all’infinito ed è uguale a 0 all’istante 0. Se si

em

deriva rispetto al tempo per ottenere la corrente si ha:

−e −t

f

−t em

¿ τ

(¿ )= e

τ R

−1

( )= ¿

i t C f em

( )

¿

τ RC f

Durante il tempo di carica, idealmente ha fornito un’energia infinita

em

eventualmente dissipata dal resistore sottoforma di effetto Joule.

La forma d’onda avrà questo aspetto:

SCARICA DI UN CONDENSATORE

In questo caso si ha una situazione opposta (e quindi cambieranno anche le

equazioni e la costituzione del sistema):