Circuiti Elettrici Lineari - Metodi di Analisi

Metodi di analisi dei circuiti

I metodi sistematici sono due: l'analisi nodale e l'analisi agli anelli. Il primo ha un procedimento sistematico per analizzare i circuiti che utilizza le tensioni di nodo come incognite, risultando conveniente rispetto all'uso delle tensioni degli elementi, poiché consente di ridurre il numero di equazioni da risolvere. Analogamente, l'analisi agli anelli costituisce un altro metodo generale che fa uso delle correnti di anello come incognita. La differenza tra i due metodi è che l'analisi agli anelli non possiede il grado di generalità del metodo dell'analisi nodale, in quanto è applicabile solo a reti planari.

Esistono generalizzazioni relative ad entrambi i metodi (non considerate nel corso): il metodo dei tagli fondamentali (cuts analysis) e il metodo delle maglie fondamentali (loop analysis). L’analisi circuitale è il procedimento tramite il quale è possibile determinare una serie di variabili incognite di un circuito (tensioni o correnti) tramite la scrittura e la soluzione di una serie di equazioni algebriche. Le equazioni di partenza sono: la KCL, la KTL e la legge di Ohm. La legge di Ohm, che finora è valida solo per un tipo di bipoli quali sono i resistori, verrà poi generalizzata per poter essere utilizzata anche per altri tipi di bipoli, quali i condensatori e gli induttori, per l’analisi in regime sinusoidale.

Metodi sistematici

Al crescere del numero di componenti del circuito (quindi rami e nodi), cresce il numero di equazioni che è necessario scrivere per risolvere il circuito. Il metodo d’analisi per ispezione diretta può diventare impraticabile e si rendono necessari metodi sistematici che consentono di rendere automatica l’analisi dei circuiti, per l’appunto l’analisi nodale (basata su KCL e legge di Ohm) e l’analisi agli anelli (basata su KVL e legge di Ohm). Dall’automazione e dalla sistematicità del metodo derivano i simulatori circuitali, utilizzati dai progettisti elettronici per verificare il corretto funzionamento dei circuiti progettati.

Si considera l'analisi agli anelli in una rete in cui sono presenti solo generatori di tensione, oppure l'analisi nodale in una rete in cui sono presenti solo generatori di corrente. Per un singolo resistore vale la legge di Ohm, esprimibile come: R · i = v. Nel primo caso l'incognita è la corrente (che si calcola come prodotto fra la tensione nota e la conduttanza del resistore); nel secondo caso l'incognita è la tensione (che si calcola come prodotto fra la corrente nota e la resistenza del resistore). L'obiettivo è quello di scrivere un'equazione del tipo R · i = v, dove però R sarà una matrice, i sarà il vettore incognita e v sarà il vettore dei termini noti (nel caso dell'analisi agli anelli). Nell'equazione G · v = i, analogamente, G sarà una matrice, v il vettore incognita e i il vettore dei termini noti (nel caso dell'analisi nodale).

Analisi nodale

In questo caso le incognite sono le tensioni di nodo. Dato un circuito con n nodi, il metodo si articola in tre passi:

• Un qualunque nodo viene scelto come nodo di riferimento; si indicano con v₁, v₂, ..., v_n-1 le tensioni dei rimanenti nodi rispetto al nodo di riferimento.
• Si applica la KCL ai n-1 nodi, usando la legge di Ohm per esprimere le correnti di ramo in funzione delle tensioni di nodo (ovvero qualcosa del tipo (v₁ - v₂) / R₁₂); questo introduce un’impostazione del problema simile a quella vista prima, dove si avrà una matrice di conduttanze moltiplicata per delle tensioni che appartengono al vettore incognita delle tensioni di nodo.
• Si risolvono le equazioni così ottenute, ricavando le tensioni di nodo v₁, v₂, ..., v_n-1.

Casistica

CASO 1: tutti i generatori indipendenti sono generatori di corrente. Il primo passo è quello di individuare il nodo di riferimento e quindi definire quali sono i nodi dei quali...