Circuiti

R

i i 3 i B C

1 B C

3 3

5 5

+

E I

R R

− 1 2

2 4 4

i i D

2 4 6

i A

6 D

A Figura 1 Figura 1.a

Le Leggi di Kirchhoff (delle Tensioni e delle Correnti) ci permettono di scrivere delle equazioni che

descrivono la topologia del circuito, ovvero il modo in cui i componenti sono connessi tra loro:

Metodi per l’analisi dei circuiti - 1

▪ La Legge di Kirchhoff delle Correnti (LKC) afferma che la somma algebrica delle correnti in un nodo

è nulla in qualsiasi istante di tempo. n

 =

i 0

- Equazione per un nodo (LKC ): (1.a)

n r

=

r 1

▪ La Legge di Kirchhoff delle Tensioni (LKT) può essere formulata in due modi equivalenti tra loro:

- La somma algebrica delle tensioni di ramo sui rami di una maglia è nulla per qualsiasi istante di

tempo; m

 =

v 0

- Equazione per una maglia (LKT ): (1.b)

m r

=

r 1

- Ogni tensione di ramo è data dalla differenza dei potenziali di nodo dei suoi terminali.

= −

v e e

- Equazione per un ramo (LKT ): (1.c)

r AB A B

Scriviamo le equazioni LKC e LKT utilizzando il grafo associato al circuito. Supponiamo che il grafo

associato abbia N nodi e R rami orientati. Con riferimento al grafo di figura 1.a, N = 4 (A, B, C, D) e R =

6. Si scelga ad esempio il nodo D come nodo di riferimento per le tensioni e si indichino con e , e ed e

A B C

le tensioni dei nodi A, B e C rispetto al nodo di riferimento (e = 0). Le equazioni LKT e LKC assumono

r n

D

allora la forma rispettivamente delle (2.i) e (2.ii): = −

v e e

1 B A

= −

v e e

2 B A

= −

v e e

B C

3

LKT : (2.i)

r =

v e C

4 = −

v e C

5 =

v e A

6 −

(una equazione per ogni ramo, quindi in generale R equazioni in cui compaiono R tensioni di ramo ed N

1 potenziali di nodo; nell’esempio in oggetto possiamo quindi scrivere 6 LKT in cui compaiono 6 tensioni

r

di ramo ed 3 potenziali di nodo) + − =

i i i 0

1 2 6

− − − =

LKC : i i i 0 (2.ii)

n 1 2 3

− + =

i i i 0

3 4 5 −

(una equazione per ogni nodo, meno quello di riferimento, quindi in generale N 1 equazioni in cui com-

paiono R correnti di ramo; nell’esempio in oggetto possiamo quindi scrivere 3 LKC in cui compaiono 6

n −

correnti di ramo). È ovviamente possibile scrivere una ulteriore LKC applicata al nodo di riferimento (

n

– −

i i + i = 0), ma è facile mostrare che è una combinazione lineare delle precedenti N 1. Infatti, tale

6 4 5

equazione si ottiene sommando le (2.ii). − −

Si noti che le (2.i) e le (2.ii) sono R + N 1 equazioni in 2R + N 1 incognite (tensioni di ramo,

potenziali di nodo e correnti di ramo): per risolvere il circuito dobbiamo aggiungere ancora R equazioni, e

precisamente i modelli dei componenti.

La LKT può essere enunciata considerando le maglie del circuito (secondo la formulazione 1.b). Per

questo, introduciamo il concetto di albero T associato ad un grafo G:

1. T è un sottografo di G con tutti i nodi e una parte dei rami; ogni ramo conserva la sua orientazione;

2. T è connesso; Metodi per l’analisi dei circuiti - 2

non ha maglie: c’è un solo percorso che collega ogni coppia di nodi.

3. T −

Ovviamente, ad ogni grafo è associato più di un albero. Comunque, ogni albero T ha N 1 rami. I rami di

rami dell’albero,

G appartenenti a T sono chiamati mentre i rimanenti sono chiamati rami del coalbero (e

−

sono R N + 1). Se aggiungiamo un ramo del coalbero a T , creiamo una maglia che è formata da rami

dell’albero e da quell’unico ramo del coalbero (maglia fondamentale). Per ogni ramo del coalbero, pos-

siamo ripetere l’operazione formando ogni volta una maglia diversa, indipendente da tutte le altre (*)

. Si

può allora dimostrare che il numero di maglie indipendenti di un circuito (cioè l’insieme delle maglie

− − −

fondamentali) è pari ai rami del coalbero, e precisamente R (N 1) = R N + 1.

A titolo di esempio si consideri il grafo illustrato nella figura 1.a; uno dei possibili alberi è illustrato in

figura 1.b (rami 2, 3 e 4). I rami tratteggiati sono quelli di coalbero (rami 1, 5 e 6). Le maglie indipendenti

−

sono quindi R N + 1 = 3, (in particolare a = A1B2A, b = A2B3C4D6A, c = D4C5D).

B C

3 c

b

a

1 2 5

4 D

6

A Figura 1.b

Applicando la LKT alle maglie così definite si ottiene il seguente sistema di equazioni lineari in cui

m

compaiono solo le tensioni di ramo: − + =

v v 0

1 2

− + + − =

LKT : v v v v 0 (2.iii)

m 2 3 4 6

− − =

v v 0

4 5 −

(una equazione per ogni maglia indipendente quindi in generale R N + 1 equazioni in cui compaiono R

tensioni di ramo; nell’esempio in oggetto possiamo quindi scrivere 3 LKT in cui compaiono 6 tensioni di

m

ramo)

Si noti che le (2.iii) e le (2.ii) sono R equazioni in 2R incognite (tensioni di ramo e correnti di ramo):

per risolvere il circuito dobbiamo aggiungere ancora R equazioni, e precisamente i modelli dei componenti.

Operativamente, per trovare le maglie indipendenti di un circuito, si deve associare un albero T al grafo

G del circuito, quindi scrivere la LKT per ogni maglia associata ad un ramo del coalbero.

m

CIRCUITI PRIVI DI MEMORIA

I circuiti privi di memoria sono quelli in cui tutti i componenti del circuito sono privi di memoria ossia

le loro caratteristiche tensione-corrente stabiliscono un legame istantaneo tra le due grandezze che non

dipende dai valori da esse assunte in precedenza. In tal caso il sistema risolvente del circuito stesso è

costituito da un sistema di equazioni algebriche ed il valore di tutte le grandezze incognite in un generico

(*) Un insieme di m maglie si dice indipendente se le m equazioni ottenute applicando la LKT ad ognuna di esse sono linearmente

indipendenti. Pertanto, una maglia è indipendente da altre se la relativa equazione LKT è indipendente dalle equazioni LKT

delle altre. Metodi per l’analisi dei circuiti - 3

istante può essere calcolato dalla conoscenza del valore delle grandezze impresse del circuito in quello

stesso istante.

Analisi di Tableau

Il metodo più generale, per l'analisi di un circuito qualunque (R = numero di rami del circuito, N =

numero di nodi del circuito), consiste nel considerare come incognite del sistema le R correnti di ramo, le

−

R tensioni di ramo e le (N 1) tensioni di nodo rispetto ad un nodo arbitrariamente scelto come nodo di

−

riferimento. Il sistema risolvente viene quindi ottenuto da R equazioni LKT (una per ogni ramo), da N

r

1 equazioni LKC (una per ogni nodo, tranne quello di riferimento) e da R equazioni costitutive dei com-

n

ponenti.

A titolo di esempio si consideri il circuito illustrato nella figura 1, dove non sono stati indicati i versi

positivi delle tensioni di ramo, perché si suppone di considerare comunque versi di riferimento associati

con la regola dell’utilizzatore per tensioni e correnti di ramo.

R

i i 3 i

1 B C

3 5

+

E I

R R

− 2 4

i i

2 4

i D

6

A Figura 1

Si scelga arbitrariamente il nodo D come nodo di riferimento per le tensioni e si indichino con e , e ed e

A B C

le tensioni dei nodi A, B e C rispetto al nodo di riferimento. Le equazioni LKT e LKC assumono allora

r n

la forma rispettivamente delle (2.i) e (2.ii): = −

v e e

B A

1 = −

v e e

B A

2 = −

(R = 6 equazioni LKT in cui compaiono come v e e

r B C

3

− (2.i)

incognite R = 6 tensioni di ramo ed N 1 = 3 =

v e

potenziali di nodo) C

4 = −

v e C

5 =

v e A

6

+ − =

i i i 0

1 2 6

− − − − =

(N 1 = 3 equazioni LKC in cui compaiono

n i i i 0 (2.ii)

1 2 3

come incognite R = 6 correnti di ramo) − + =

i i i 0

3 4 5

Il sistema viene quindi chiuso dalle seguenti equazioni costitutive dei componenti:

Metodi per l’analisi dei circuiti - 4

=

v E

1 =

v R i

2 2 2

=

(R = 6 equazioni costitutive dei componenti in v R i

3 3 3 (3)

cui compaiono come incognite R = 6 tensioni =

v R i

di ramo ed R = 6 correnti di ramo) 4 4 4

=

i I

5 =

v i 0

6 6

Il sistema costituito dalle equazioni (2.i), (2.ii) e (3), dove sono note le grandezze E, I, R , R , ed R ,

2 3 4

costituisce un sistema di 15 equazioni nelle 15 incognite del problema che sono rispettivamente e , e , e ,

A B C

v , v , v , v , v , v , i , i , i , i , i , i . Il sistema di equazioni risolvente è non lineare per la presenza del

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

diodo che è un componente non lineare (ultima equazione delle (3)). Il procedimento illustrato è comple-

tamente trasferibile su un computer e la soluzione (o le soluzioni matematicamente possibili, poiché in

generale, essendo il sistema non lineare, può esistere più di una soluzione) può essere ottenuta numerica-

mente. In questo caso la soluzione può essere ottenuta eliminando la non linearità del sistema, considerando

separatamente i due casi possibili: diodo in conduzione (i > 0, v = 0) oppure diodo interdetto (i = 0, v

6 6 6 6

< 0). Ponendo v = 0 nelle (2.i) ed eliminando contemporaneamente l'ultima equazione

Diodo in conduzione. 6

delle (3) che è diventata una identità, si ottiene un sistema di 14 equazioni lineari nelle 14 incognite e , e ,

A B

e , v , v , v , v , v , i , i , i , i , i , i , la cui soluzione è la seguente:

C 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 +

E R I

= = = 3

e ; e E ; e R

0 +

A B C 4 R R

3 4

−

E R I E

= = − −

4

v E i

; +

1 1 R R R

3 4 2

E

= =

v E i

;

2 2 R 2 −

− E R I

E R I =

= 4

4 ; i

v R (4)

+

+ 3

3 3 R R

R R 3 4

3 4 +

+ E R I

E R I =

= 3 3

i

v R ; +

+

4 4 4 R R

R R

3 4 3 4

+

E R I

= − =

3

v R i I

;

+

5 4 5

R R

3 4

−

E R I

= − 4

i +

6 R R

3 4

Affinché la soluzione trovata non contraddica l'ipotesi di diodo in conduzione deve essere i > 0 e quindi,

6

dalla ultima delle (4) deve essere: 

E R I (5)

4

Ponendo i = 0 nelle (2.ii) ed eliminando contemporaneamente l'ultima equazione delle

Diodo interdetto. 6

(3) che è diventata una identità, s