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Calcolo del valore finale nel circuito a regime
Per il calcolo del valore finale nel circuito a regime, si procede come per il valore iniziale. La tensione sul condensatore si comporta come un circuito aperto, mentre la corrente nell'induttore si comporta come un corto circuito. Si calcola il valore finale risolvendo un circuito resistivo equivalente.
Se si vogliono calcolare variabili circuitali che non siano o C L Thevenin/Norton non aiutano, anche in assenza di interruttori. Inoltre, le altre variabili circuitali possono essere discontinue. Tuttavia, si può dimostrare che in un circuito con eccitazione R > 0 x(t) costante e, qualunque tensione o corrente evolve in modo esponenziale con la stessa costante di tempo: si sfrutta, quindi, il principio di sostituzione.
Algoritmo [per condensatori]
- Ricavare sostituendo al condensatore un circuito aperto.
- C + −v (0) = v (0) + −v (0)
)L'interruttore commuta, ma .C C +v x(0 )[ Saltare se la variabile ] Calcolare sostituendo al condensatore unC v (0)generatore di tensione di valore .Cx(∞)Calcolare sostituendo al condensatore un circuito aperto.RDeterminare la resistenza equivalente vista dal condensatore.eq( ) t+ −x(t) = x(0 ) − x(∞) e + x(∞) τ = R Cτ eqAlgoritmo [ per induttori ]−i (0 )Ricavare sostituendo all'induttore un corto circuito.L − +i (0 ) = i (0 )L'interruttore commuta, ma .L L +i x(0 )[ Saltare se la variabile ] Calcolare sostituendo all'induttore un generatoreL i (0)di corrente di valore .Lx(∞)Calcolare sostituendo all'induttore un corto circuito.RDeterminare la resistenza equivalente vista dall'induttore.eq( ) t+ −x(t) = x(0 ) − x(∞) e + x(∞) τ = G Lτ eq69fi è èè fi fl fi è ò é è òMartina Contestabile Ingegneria Informatica — II Anno A.A. 2021/22Esercizio
3.10 (t) t > 0 Ricavare la corrente per i(t+) = i(0) - i(∞) e + i(∞)τ Sappiamo già che avremo Ora applichiamo l'algoritmo per i condensatori. -v(0) Troviamo , quindi sostituiamo al condensatore un circuito Caperto. Si ottiene un circuito resistivo lineare piuttosto semplice. 2 ⋅ 6 - -3R = = 1,5k Ω v(0) = R ⋅ 1 ⋅ 10 = 1,5V, quindi .p C p2+6 Ora tocca al secondo punto. L'interruttore commuta, ma la tensione è continua, quindi +v(0) = v(0) = v(0) .C C C i(t) v Il punto tre è da fare? Sì, perché noi vogliamo trovare una variabile, ossia , che non è .Cv(0) Sostituiamo al condensatore un generatore di tensione avente tensione .C Anche qui si arriva ad un circuito resistivo lineare. Usiamo i riferimenti associati ed arriviamo a 1,5+i(0) = = 0,75mA i(t), ricavando un valore da inserire nella formula di .2 ⋅ 10^3 i(∞) Svolgiamo adesso il punto quattro.Per trovare τ, sostituiamo al condensatore un circuito aperto. Si arriva a trovare τ. Req ne, determiniamo la resistenza equivalente vista dal condensatore, spegnendo il generatore equivalente e lasciando un circuito aperto. Quindi, τ, in quanto è come se non ci fosse, essendoci un circuito aperto. -1τ = Req C = 2kΩ ⋅ 1μF = 0,02τ = 500 Ottenuto τ, sappiamo che τ = RC, quindi i(t) = (0,75 - 1)mA ⋅ e-t/500 Esercizio 3.11 i(t) t > 0 Ricavare la corrente per t = 0 Iniziamo col caso t = 0 per trovare v(0) C- v(0) = 5Ω ⋅ 1A = 5V La tensione vale v(t) = 5e-t/40 Proseguiamo con v(t) v − 5L K C : 1 = +cerchiato 10 15v = 8V e troviamo i(0) = 0,8A t → ∞ i(∞) = 1A Passiamo al caso t < 0 e si ha R = 25Ω In ne, c'è da trovare τ = R C = 25ms ⟹ τ = 40s2021/22Ingegneria Informatica — II Anno A.A. 2021/22
40ti(t) = 1 − 0,2eAAlla ne, si ha che− +i(0 ) ≠ i(0 )Esercizio 3.12 i(t) t > 0Ricavare la corrente per . i(t)C’è da fare un passaggio in meno, dato che scorre nell’induttore.−t = 0Valutiamo . 20 3−L KC : i(0 ) = i + i = + = 6A .1 1 2 4 3+t = 0Valutiamo .− +i(0 ) = i(0 ) .t → ∞Valutiamo .i(∞) = 5A .R = 4ΩTroviamo .eq Lτ = LG = = 0,5seq Req −2ti(t) = e + 5AAlla ne, si ha cheEsercizio 3.13 v (t) t > 0Ricavare la tensione per .x−t = 0Valutiamo .30i (0) = = 3A2 10 +t = 0Valutiamo .Scriviamo la LCK al nodo cerchiatov v 30 − vx x x+ = + 3 , da cui si ottiene30 10 30+v (0 ) = 24V .x t → ∞Valutiamo .30 − v = 0 ⟹ v (∞) = 30Vx XR = 10//30//30 = 6ΩTroviamo .eqL 1τ = = sR 12eq −12ti(t) = − 6e V + 30Alla ne, si ha che 71fififi Martina Contestabile Ingegneria Informatica — II Anno A.A.
2021/22Principio di sovrapposizione per circuiti dinamiciI circuiti costituiti da elementi resistivi lineari, sorgenti indipendenti, e condensatori e induttorix(t)lineari sono circuiti dinamici lineari. Ogni variabile può essere calcolata sommando ilcontributo delle condizioni iniziali con sorgenti ideali spente (risposta libera), e quello deigeneratori ideali con condizioni iniziali nulle (risposta forzata). Ricordiamo cherisposta completa = risposta libera + risposta forzataIl principio di sovrapposizione per circuiti dinamici vale per i circuiti dinamici di qualunque ordine.Risposta transitoria e concetto di regimeR > 0I circuiti con sono detti stabili.eqIn un circuito stabile la risposta può essere scomposta in risposta transitoria e regime (rispostapermanente): risposta transitoriaLa tende ad annullarsi con il passare del tempo.risposta permanente regime)La (o imposta dai generatori indipendenti — siparla di regime sinusoidale quando i generatori sono sinusoidali.Neicircuiti instabili cade il concetto di regime.( )( ) t+ −x 0 − x(∞) ex(t) = + x(∞)τ
Esercizio 3.14
Trasmissione digitale: V VLivelli di tensione e che corrispondono ai bit 1 e 0, rispettivamente.
H LSegnale ideale in trasmissione (a), arriva degradato al ricevitore (b).
Il massimo bit-rate limitato dall’esigenza di decodi care il segnale — un semplicedecisore ssa una soglia e determina il bit ricevuto (b).
Serve un semplice modello circuitale per Tx, Rx e cavo.
Tx è la sorgente ideale di tensione.
Rx è il circuito aperto.
Cavo Ethernet:
- Bit-rate nell’ordine dei Mbit/s (tra 10 e 100),
- L Llunghezza pari a decine di metri.confrontabile con la lunghezza d’onda.
Servirebbe un modello a costanti distribuite,capacit e resistenza per unit di lunghezza,
W pFr = 0.18 ∧ c = 52 sono valori tipici.
m m R = 20Ω ∧ C = 5nF
Per semplicit , usiamo un modello RC concentrato con .T = 0,2μs f = 5MHz
Bit rate 10Mbit/s,
,8c 3 ⋅ 10 3 2λ = = = 10 = 60mf 5 ⋅ 10 56Calcolo della risposta1Δt = B, dove il bit-rate.rBr 72à fi à èè à ò è è fi òMartina Contestabile Ingegneria Informatica — II Anno A.A. 2021/22V = 1V V = 0VBit 1 (bit 0): , .H L1 Δt = 1μsB = s, con :r Mbitτ = RC = 0.1μsΔt > > τ ⟹ Carica (scarica) completat − 2kΔt−v (t) ≈ 1 − e VBit 1: .RCc t − 2(k + 1)Δt−v (t) ≈ 1 − e VBit 0: RCc Mbit Δt = 0,1μsB = 10 , con :r sΔt = τ ⟹ si raggiunge il regime periodico?v (0) = 0 ⟹ v (Δt) = 1 − 0,368 = 0,632V .C Cv (2Δt) = 0,632 ⋅ 0,368 = 0,232V .Cv (3Δt) = 1 − 0,368 ⋅ (1 − 0,232) = 0,717V .CSi può dimostrare che a regime la risposta è e ettivamente periodicav = 1 + 0,368(v − 1) v = 0,269VCarica 2 1 1⟹ margine di errore ridottov = 0,731Vv = 0,368vScarica 21 2Circuiti del II ordineI
I circuiti del II ordine sono circuiti con due elementi dinamici. Essi sono descritti da un'equazione differenziale del secondo ordine e la loro risoluzione è meno semplice, in quanto la forma della risposta dipende dai parametri circuitali. Quindi, la loro dinamica è più ricca. In questo corso vedremo solo cenni sulle tipologie di risposta libera possibili e non verranno trattati a livello di esercizi, ma potrebbero essere richiesti nella parte teorica. I circuiti RLC serie e RLC parallelo sono perfettamente duali. Circuito RLC [serie] Dalla LKT si ha v(t) + v(c) + v(t) = 0 Dalle relazioni caratteristiche di resistore e induttore si ha che diL + v(t) + Ri(t) = 0 Dalla relazione caratteristica del condensatore si ha che 2d v/dt + 1/RC v(t) + 1/LC = 0 Circuito RLC [parallelo] Per dualità 2dIl tuo compito è formattare il testo fornito utilizzando tag html.i diG 1L L+ + i (t) = 0Ldt C dt LC2I due circuiti sono descritti dalla stessa equazione.v iNella tensione (RLC serie) o nella corrente (RLC parallelo).C Lα ωsi dice smorzamento, è, invece, la pulsazione di risonanza.0 s t s tx(t) = A e + A e1 2Dalla Analisi Matematica la soluzione ha la forma . 21 2 d x dxd x(0) 2+ 2α + ω x = 00dt dt2A A x(0)e si calcolano imponendo le condizioni iniziali e
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