Campo vettoriale
- Teorema di Von Helmholtz
campo vettoriale V = (Vx(x,y,z), Vy(x,y,z), Vz(x,y,z))
le componenti del campo sono funzioni del punto
P ∈ ΩΩ ⊆ R3
∂Ω borda di ΩΓ = ∂Ω
V è univocamente definito se si conosca{ ∇⋅V = Δ(x,y,z), ∇×V = Ξ(x,y,z) }
Sottoposta che il campo tende a estinguersi verso l'infinito ( ||V|| →0r → ∞ )
V_0 ∈ h (x,y,z,t) nello spazio di Rn
In totale ho 3 funzioni s, c e h
- Δ = ∇⋅V
- c = ∇×V
- h = ∇2m
Dimostrazio per assurdoSuppongo V2/V1 = ...
W = ∇2−V1 in Ω
- ∇⋅W = 0 in Ω
- ∇×W = 0
- W·m = 0 in Ω
2) W2 = ∇ψ detto se Ω semplicemente connesso.
la butto in ( )
Campo vettoriale
- Teorema di Von Helmholtz
campo vettoriale V = (Vx(x,y,z), Vy(x,y,z), Vz(x,y,z))
le componenti del campo sono funzioni del punto
P ∈ ΩΩ ⊆ R3
V è univocamente definito se si conosca
- ∇ · V = δ(x,y,z)
- ∇ x V = ξ(x,y,z)
Supponiamo che il campo tende a estinguersi verso l'infinito (||V|| → 0)
V ∈ ah (x,y,t) nello spazio di R
In totale ho 3 funzioni: δ, ξ, h
- Δ = ∇ · ∇ · V
- c = ∇ x V
- h = V · m
Dimostro per assurdo
Suppongo V2 ≠ V1W = ∇2 - ∇1
- 1o ∇ · W = 0 in Ω
- 2o ∇ x W = 0
- 3o W · m = 0 in Ω
- w = ∇φ detto se Ω semplicamente connesso.
la butto in
-∇⋅∇ψ ≠ 0
meno perdit convettive degli utilizzatori
(dei tubi nelle magiore di minore)
-∇⋅∇ è il Laplaciano
∇2 = (∂2/∂x2) + (∂2/∂y2) + (∂2/∂z2)
-∇⋅∇ψ = ∇2ψ = (∂2ψ/∂x2), (∂2ψ/∂y2), (∂2ψ/∂z2) = 0
Applico il bilancio integrale di ψ ∇ψ
Flusso uscente
∫Ω (ψ | ∇ψ ⋅ m) dΓ = ∫Ω ∇ ⋅ (ψ ∇ψ) dr =
= ∫Ω (∇ψ⋅∇ψ + ψ ∇2ψ) dr = 0 per ipotesi
allora ∇ψ = 0
Allora V1 = V2 in Ω
la soluzione esiste ed è unica per ogni valore di s, c, h
Applico Gauss a Vn in ω per vedere se ci legame tra esse
∫Ω V n dΓ = ∫ω ∇V dr
∫ ω h dΓ = ∫ω s dr sono leghe do questo bianco
Guardo eta
c deve essere un campo a divergenza nulla, cioè che le linee di forza sono chiuse
∇⋅c = 0
esempio: densità di corrente, deve essere chiusa, se no non passa corrente
In che spazi semplicemente connesso?
Se c = 0 in ∇²
∇ x v = 0
Posso dire che
v = ∇ψ?
∮ v ⋅ d = 0 se fosse vero che v = ∇ψ
Verifica con bilancio integrale di Stokes
se ∇ × v = 0 allora ∮ v ⋅ d = 0 non vero, perché c'è il buco
Allora si ha
∮ ∇ ⋅ d = ∫ s dσ
Nota Due Bocco
Se ∇ i = c
∫ ∇ ⋅ dσ = ∫ doppio c ⋅ ndσ = 0
Torna linea entrata, torna escono
r1, t2 = r
Φ(c)|n1 + Φ(c)|n2 = Φ(c)|n1 - 0
Allora, se prendo l'insieme in qualsiasi numero di sottinsiemi,
in nessun contorno di
Φ(C) |Γk = costante.
Esempio: prima sezione triangolare
Qual è il flusso di C attraveso S2?
Φ(C)|S2?
dove utilizzero gli angoli, ma posso dire che:
- Φ(C)|S3 = 0 perché ⊥
- Φ(C)|S1 = ∫ cos θ ds1 • cS1 (perché mi-parallelo)
Allora |Φ(C)|S2 = |Φ(C)|S1
=> Φ(C)|S2 = c • S2
Leggi nel campo magnetico
Problema dei valori al contorno
Tipico problema del campo magnetico
- (Progetto) Sorgente
- (Gauss) Classe y
- (Equilibrio) Determinazione densità
- (Stokes) Relazi
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