Campi e Circuiti

Campo vettoriale

• Teorema di Von Helmholtz

campo vettoriale V = (V_x(x,y,z), V_y(x,y,z), V_z(x,y,z))

le componenti del campo sono funzioni del punto

P ∈ Ω₃

V è univocamente definito se si conosce

• ∇ · V = Δ(x,y,z)
• ∇ × V = Ɛ(x,y,z)

Sottoinasse che il campo tende a distinguersi verso l’infinito (||V|| → 0)

V ∈ ah (x,y,t) – nello spazio Ω ∈ ℝ³

In totale ho 3 funzioni s, c, h

• Δ = ∇ · V
• c = ∇ × V
• h = V·m

Dimostrazione per sottovoce

Suppongo V_z ≠ V_x

W = ∇_qV_i

1^nd ∇'>W_i = 0

2^nd ∇ × W = 0

3^up W · m = 0

ᵢ R

1. V_x = ∇ ^ V₁

luche se Ω semplicemente connesso.

la butto in ᵢ ᵢ

-∇·∇Ψ≠0 meno perché conviene dopp. utiliz. zatori:

(del pannello maggiore di misura)

∇² è il Laplaciano

∇²= (∂²/∂x²) + (∂²/∂y²) + (∂²/∂z²)

∇²Ψ=w²Ψ → (∂²Ψ/∂x²) + (∂²Ψ/∂y²) + (∂²Ψ/∂z²) =0

Applico il bilancio integrale di Ψ∇Ψ

(Gauss)

flusso uscente

∫(Ψ∇Ψ·n)dΓ = ∫∇o(Ψ∇Ψ)drΩ =

=∫(Ψ∇o∇Ψ + Ψ∇Ψ)dr =

uscente = 0 per ipotesi

allora

Allora V₁=V₂ in Ω

la Soluzione esiste ed è unica per ogni

valore di S, c, h

Applico Gauss a V in Ω per vedere se ci sono legami tra essi

∫v n dΓ = ∫∇ v dr

∫h dΓ = ∫s dr

sono leghe da questi bilancio

esempio: conservazione di volume e superficie

Relazione costitutiva B=μH

Rispetto massimo:

• ∇·B=0
• ∇×H=J
• m·B=0 _{(flux line)}
• n×H=0 _{(line flux)}
• L_s (coercert sheet) [A/m]

∫_Σ ||J_s||dΣ = ∫||J_s||dl

B=μH

• μ=μ0.μr
• μ0=4π · 10^-7 H/m

Comportamentomagnetico

1: Trova o linearizzare il trattodi prima magnetizzazione

H_c campo coercitivo

Se la strutturazione non è omogenea μr≠μla posso considerare omogenea a tratti:

• es: incompleta da nodi magnetizzati

μ1≫μ2 → μ=?

Il materiale può essere anisotropo, cioèdipende da dove lo guardo.

Del campo il potenziale

ho un risparmio computazionale per il calcolo del campo

Ricordiamo che:

• ∇ · V = λ ,
• ∇ × V = κ ,
• V ∈ ℋ , Γ

Voglio scrivere V come funzione di due potenziali,

uno scalare Φ e uno vettoriale A

V = -∇Φ + ∇ × A

Il passaggio campo → potenziali necessita di due componenti

Mi muovo in un dominio infinito semplicemente

connesso allora ho che ∇ · 0 e che

Φ = 1/4π ∫(Γ/|r|) dr e A = 1/4π ∫ (c/|r|) dr

c è la distanza relativa

r' = r_P - r_Γ (punto campo - punto sorgente)

Se la carica è nulla allora ho Φ = A = 0

Allora ho dipendenza da r_Γ e r_P

Φ(r_P) = 1/4π ∫(s(σ)/|r|) dr e A(r_P) = 1/4π ∫ (c(r)/|r|) dr

È la sovrapposizione degli effetti...

Nel caso lineare ho che W=wi^e e posso fare quelle che voglio.

Cosa significa però fare incrementi o.c. di B_e e di H?

1. B → magnetizzo il circuito magnetico con un magnete permanente

Sostituisco il ferro con magnete permanente pez. per pezzo.

2. H → energizzo in corrente

Faccio degli avvolgimenti di spire. Devo però avere un generatore che fa passare corrente. Sfrutto O₁ più dell'esterno.

Equazioni di principio,

H • B = H • ∇ x A = A • ∇ x H - ∇ • H • A = = A • ∇ x H • A

lineare:

W_e = 1/2 ∫ H • B dr = 1/2 ∫ A • j dr - 1/2 ∫ H • A • om • dp = [int(x H) oA] A (int(x A) O H

Devo tener conto del comp del corpo non considerato

con ₃dz = ₁S dl = i dl

ho che F = ∫ _{1 2}B_y dl = B_z i_z i_z l = |I₃ i_z i_z l|/2πσl

MST

∫_x x _B = (∇ x _B)xB

= (∇ x B_μ/μ)^xB

v = 1/μ = relatività

• ^ü_x
• ^ü_y
• ^ü_z

• ∂/∂x
• ∂/∂y
• ∂/∂z

• v_x
• v_y
• v_z

= ((∂B_z/∂y - ∂B_y/∂z)^ü_x + (∂B_x/∂z - ∂B_z/∂x)^ü_y)

v_ω y +

h (∂B_y/∂x - ∂B_x/∂y)^ü_z

• ü_x
• ü_y
• ü_z

• ⊗
• ◊
• ❖
• B_x
• B_y
• B_z

= (❂B_z-DB_y)^ü_x + (用品- ❖B_z)^ü_y +

(∤B_y-✽B_z)^ü_z

Se si potesse scrivere

f_αβn_i ^ü_x + ∂ ∂n_Δ^ü_x + ∂/∂n_σ ^ü_z

con più fermo di Ξ

f ∇Θ︷ ==⊱

⏚ ungoni di fazz pe ︷︷︷ ٤÷٣ 洛

Uso v × p

B = ∇ × A

Φ_c = ∮A • t dl   nel nostro caso   Φ_c = l (A_n - A_t)

Se non è filiforme faccio sovrapposizione degli effetti.

Φ_c = ∑ l (A_nm - A_km)

ENERGIA

U_e = 1/2 L i²   → L = ^2U_m/_i²   con U_m = 1/2 ∫ B H dr_Γ   caso generale

       1/2 ∫ A S dr_X   se non ho magneti permanenti!

MUTUA INDUTANZA

U = 1/2 L₁ i₁² + 1/2 L₂ i₂² + M₁₂ i₁ i₂   - M₁₂ i₂ i₁

Devo fare 3 'smorza tesi'

W⁻ - W⁺ = L_Xa i²_a i_i   → M = ^U_X/L₁ i₁₂

ux = [-1 ∫ g_x ( − ¹⁄₂ ) [v_i ]_n] [v_i]

I modi diminuiscono perché ingressi e uscite coincidono. Se le suddivisioni sono n allora n+1 modi. Il modo n+1 lo funzione imposta, quindi ho un rimbalzo

L'errore che si commette dipende dalle derivate delle eglie con cui si suddivide l'elemento fisico, delle funzioni interpolanti, numero di interpolazioni

Suppongo u(x,n) soluzione esara, lhpuma funzione buona,

con la stessa cozottetka di u(x,n),

allora u + Oh e una buona approssimazione

W(u+Oh) = W(u) + Θ∫ ∇u . ∇h ds + 1/2 Θ² ∫ ∇h . ∇h ds

la soluzione e esotta di bordo, dove ho voleri

presoti H:

∫ ∇ . (h∇u) ds = ∫ ∇u . ∇h ds + ∫ h ∇²u ds

∫ ∇ . (h∇u) ds = ∮ gu du

Alloro W(u+Oh) - W(u) + Θ² W(h) - Θ ∮ h∇²u ds + Θ∮h du

Per definizione ∇²u = o percli in la soluzione

esetta.

Alloro W(u+Oh) = W(u) + Θ² W(h)

Si anche commutta un errore (Θ²)

sempre!! l'errore

nell'energia soro esempre minore di quelle

commosso nel aldalo del potenziale.