Circuiti Elettrici Lineari - Bipoli Dinamici

5.4 CONDENSATORI IN SERIE E IN PARALLELO

Nella figura condensatori posti in attraversati dalla stessa corrente, sono stimolati da unv.generatore di tensione ideale Applicando la LKT alla maglia si ha:

v(t) = v (t) + v (t) + … + v (t)₁ 2 N

t t t

∫ ∫ ∫v = i(τ) dτ + v (t ) + i(τ) dτ + v (t ) + … + i(τ) dτ + v (t ) =

1 0 2 0 N 0

C C C₁ 2 N

t t t

0 0 0

t t

( )

1 1 1 1

∫ ∫= + +…+ i(τ) dτ + v (t ) + … + v (t ) = i(τ) dτ + v (t )

1 0 N 0 C 0C C C eq

1 2 N eq

t t

0 0 0

t t

1 1 1 1

⟵ = + +…+C C C Ceq 1 2 N

parallelo,NNel caso duale di condensatori in questi vengono attraversati dalla stessa tensione.Applicando la LKC al nodo a si ottiene:

i(t) = i (t) + i (t) + … + i (t)₁ 2 N

dv dv dv dv dv(t)

( )

i(t) = C ⋅ + C ⋅ + … + C ⋅ = C + C + … + C ⋅ = C ⋅1 2 N

1 2 N eq

dt dt dt dt dt

⟵ C = C + C + … + Ceq 1 2 N

5.5 NOZIONI SUI CONDENSATORI

Esistono diversi

tipologie di condensatori: i condensatori polarizzati, non polarizzati e quelli variabili. La tensione applicata ai condensatori non polarizzati può essere sia positiva che negativa, al contrario la tensione applicata ai condensatori polarizzati deve avere la stessa polarità indicata dai contrassegni presenti sull'involucro. Ciò avviene nei condensatori detti elettrolitici o condensatori al tantalio. Si differenziano anche per la forma: possono essere discreti, ovvero montati direttamente su scheda per inserzione o per montaggio superficiale; oppure sono disponibili come dispositivi miniaturizzati all'interno dei circuiti integrati di silicio. Sono utilizzati anche per realizzare i touchscreen capacitivi negli smartphone. Di solito il condensatore viene identificato indicando il nome del materiale dielettrico che viene posto fra le armature del condensatore (ceramici, variabili, plastici, mylar, ...). Esiste la possibilità di realizzare condensatori nei quali il valore

della capacità può essere variato andando ad agire, come nel caso dei potenziometri, su una vite o una manopola. Di seguito alcuni valori di permittività dei materiali più comuni posti tra le armature di un condensatore:

SOSTANZA	ε r
vuoto	1
aria	1.00054
teflon	2.1
plastica (poliestere)	2.4
carta	3.3
biossido di silicio	3.9
mica (naturale)	5.4
porcellana	6
nitruro di silicio	7.5
vetro	6-8

5.5 INDUTTORE

induttori

Gli sono usati nei circuiti elettrici come elementi in grado di immagazzinare energia per mezzo di un campo magnetico. Come nel caso del condensatore, l'induttore come dispositivo elettrico è una idealizzazione di quello che poi è una realizzazione pratica di un induttore. In particolare vale che, per ogni relazione fra la corrente i flusso del campo istante di tempo t, esiste una che scorre nell'induttore e il magnetico concatenato φ. L'induttore è detto lineare tempoBinvariante se tale relazione è

lineare e indipendente dal tempo. In un campo solenoidale, per una data linea chiusa tracciata nel campo, il flusso del vettore del campo attraverso una qualunque superficie che abbia la linea come bordo è l'integrale sulla superficie orientata del prodotto tra il vettore campo magnetico (di induzione magnetica) B e il vettore normale alla superficie: ∮dϕ = B · ds ⟹ ϕ = B · ds Il flusso del campo magnetico è misurato in weber (Wb): [Tϕ] = 1 Wb = 1 V · s = 1 Ω · C (weber) Supponendo di definire la linea C tramite un filo conduttore ideale prestando attenzione a non chiudere completamente la curva (terminali A e B in cui scorre la corrente i). Dalla definizione di induttore lineare tempo invariante, si ha che: V · s[L] = 1 H = 1 ϕ(t) = L · i(t) (henry) dove i(t) è la corrente che attraversa il filo conduttore.

Attraversa l'induttore e è una costante induttanza (L) (indipendente da e) chiamata (dell'induttore). Il flusso del campo magnetico è proporzionale alla corrente attraverso il valore di induttanza dell'induttore. L'induttanza si misura in Henry (H).

Faraday-Lenz: La legge di induzione afferma che la variazione nel tempo del flusso concatenato (ϕ) determina una tensione indotta sulla spira (fra il terminale A e il terminale B). Un elemento che sfrutta una relazione di questo tipo viene appunto detto induttore. Tale tensione può essere calcolata come:

dϕBv = AB dt

RELAZIONE TENSIONE-CORRENTE (INDUTTORE): Dalla legge di Faraday-Lenz si ha che la tensione (v) è pari alla derivata del flusso concatenato rispetto al tempo e che, nel caso di un induttore, il flusso concatenato del campo magnetico è pari al prodotto tra l'induttanza (L) e la corrente (i), si ottiene:

v = (dϕ/dt) = (L ⋅ di/dt) ⟹ v = L ⋅ di/dt

Bdt dt dt dtϕ = L ⋅ iB

Seguendo l’ipotesi che l’induttore sia tempo-invariante, ossia che l’induttanza non varia nel tempo, si ha dL / dt che il secondo termine è nullo, perciò si ha: div = L ⋅ dti

anche in questo caso la relazione tra e è data da un’equazione differenziale (duale al caso del condensatore). Integrando tale relazione per ottenere la corrente in funzione del tempo (convenzione degli utilizzatori), si ottiene:

t1 ∫i(t) = i(t ) + v(t) dt0 L t 0

in cui il primo termine del secondo membro è la condizione iniziale che rappresenta difatto tutta la storia pregressa di ciò che è successo nell’induttore.

Se la tensione ha valore limitato (non infinito), la corrente che scorre nell’induttore varia con Siha infatti: ⏞v finita1di = ⋅ v ⋅ dt ⟹ di → in f initesim aLR

Rispetto alla forma d’onda di una tensione impressa nel condensatore, che può

Essere anche discontinua, la forma d'onda della corrente ha quindi un andamento continuo per effetto della relazione di integrazione che sussiste tra la tensione e la corrente. Viceversa, imprimendo rapide variazioni di corrente ai morsetti del condensatore (ad esempio il gradino di corrente) si hanno elevati valori di tensione (in prossimità del gradino), per effetto della relazione di derivazione che sussiste tra corrente e tensione.

§5.7 POTENZA ED ENERGIA (INDUTTORE)

Al solito la potenza è esprimibile come prodotto fra la corrente e la tensione ai capi del bipolo. Nel caso dell'induttore lineare tempo invariante si ha, dualmente al caso del condensatore:

p(t) = v(t) ⋅ i(t) = L ⋅ ⋅ i(t)

Ricordando che si sta utilizzando la convenzione degli utilizzatori (elementi che dissipano potenza), si nota che la potenza può diventare negativa quando ad esempio la corrente è positiva entrante nell'induttore e sta diminuendo (o una...

corrente negativa che staaumentando): la derivata è negativa, la corrente è positiva, quindi il prodotto è negativo.

L'energia è data da: ( )2ϕ(t)t t i(t)di 1 1∫ ∫ ∫ ( )2i(t)2 |E(t) = p(τ) dτ = L i ⋅ dτ = L i di = L ⋅ i = L ⋅ i(t) =0dτ 2 2 2L−∞ −∞ i(−∞) i(-∞)

in particolare tra il quarto e il quinto passaggio si ha che il valore della tensione è pari a 0, ovvero quando il condensatore è inizialmente scarico. L'induttore, come il condensatore, non dissipa energia ma la immagazzina sotto forma di corrente. Transitoriamente può restituire l'energia immagazzinata pur essendo un elemento passivo, rimanendo, come il condensatore, un in quanto l'integrale della potenza istantanea nel tempo da luogo ad un'energia sempre maggiore di zero (purché L sia anch'esso maggiore di zero).

regimev = L · (di / dt)

Sfruttando la relazione che

Lega la corrente alla tensione nell'induttore nel caso stazionario, di / dt ovvero nel caso in cui le grandezze non variano nel tempo, si ha che è pari a zero e di conseguenza anche la tensione. Ciò significa che in regime stazionario l'induttore è assimilabile ad un corto circuito (in cui v = 0) e quindi semplicemente sostituito (opposto di quanto accade nel condensatore).

Il principio fisico su cui si basa l'induttore è dunque determinato dal flusso del campo magnetico concatenato da una spira. L'induttanza di un elemento reale dipende dalla geometria e dalla fisica dell'induttore: il caso più semplice è quello dell'induttore solenoide, realizzato tramite una bobina di lunghezza conspire (avvolgimenti) di conduttore ideale che si sviluppano su di un cilindro di area di un determinato materiale. L'induttanza di tale elemento è data da: 2N AL = μ μ ⋅0 r dμ permeabilità magnetica

del vuoto μdove è la ed è pari a = 4 π · 10 H/m ≈ 1.256 · 10 H/m; mentre-7 -60 0μ permeabilità relativa μ μè la del materiale con cui è realizzato il cilindro (μ = ).r 0 r§5.8 INDUTTORI IN SERIE E IN PARALLELOserieNIn figura induttori posti in sono attraversati dalla stessa corrente. Applicando la LKT alla maglia:v(t) = v (t) + v (t) + … + v (t)1 2 Ndi(t) di(t) di(t) di(t) di(t)( )v(t) = L ⋅ + L ⋅ + … + L ⋅ = L + L + … + L ⋅ = L ⋅1 2 N 1 2 N eqdt dt dt dt dt⟹ L = L + L + … + Leq 1 2 Nparallelo,NNel caso duale di induttori in questi vengono attraversati dalla stessa tensione. Applicando laLKC al nodo a si ottiene: i(t) = i (t) + i (t) + … + i (t)1 2 Nt t t1 1 1∫ ∫ ∫i(t) = v(τ) dτ + i (t ) + v(τ) dτ + i (t ) + … + v(τ) dτ + i (t ) =1 0 2 0 N 0L L L1 2 Nt t t0 0 0t t( )1 1 1 1∫ ∫= + +…+

v(τ) dτ + i (t ) + … + i (t ) = v(τ) dτ + i (t )1 0 N 0 L 0L L L L eq