Circuiti Elettrici Lineari - Bipoli Dinamici

Bipoli dinamici

Per bipoli dinamici si intende bipoli elettrici il cui comportamento può essere modellizzato tramite una relazione costitutiva tra tensione e corrente, che dipende anche dai valori delle tensioni e delle correnti riferiti ad istanti di tempo precedenti. Per questo motivo gli elementi dinamici spesso vengono anche detti dispositivi con memoria. La differenza fondamentale tra bipoli adinamici e dinamici è che i primi sono descritti tramite relazioni puramente algebriche tra tensione e corrente; mentre i bipoli dinamici possono essere descritti utilizzando anche equazioni differenziali. I più comuni sono i condensatori e gli induttori.

Condensatore

Un condensatore è un dispositivo elettrico a due terminali che si compone di due armature, piastre di materiali conduttori parallele, separate fisicamente da un isolante (il vuoto nel caso più semplice) o da un materiale detto dielettrico. Le armature vanno ad accumulare della carica elettrica positiva in un’armatura e negativa sull’altra in conseguenza dell’applicazione di una differenza di potenziale applicata ai capi delle armature stesse. La tensione elettrica, di fatto, va a spostare le cariche positive sull’armatura a potenziale più alto; mentre va a immagazzinare cariche negative sulla piastra opposta.

Tra le due armature risulta un campo elettrico: considerando una carica di prova q tra le armature succede che questa sarà soggetta ad una forza di attrazione verso l’una o l’altra armatura in funzione della natura della sua carica. Il verso del campo elettrico è opposto rispetto a quello della tensione applicata. Vige una relazione di proporzionalità diretta tra la tensione e la quantità di carica sull’armatura positiva (uguale, in valore assoluto, alla quantità di carica sull’armatura negativa):

q = C ⋅ v

Il parametro di proporzionalità fra la tensione e la carica immagazzinata si chiama capacità (C > 0) del condensatore. La capacità si misura in farad (F):

[C] = 1 F = 1 A ⋅ s / V

Si consideri un condensatore con il vuoto tra le sue armature. Se A è l’area di un’armatura e d la distanza che le separa, la sua capacità è pari a:

C = ε₀ ⋅ A / d

In questa relazione ε₀ è la costante dielettrica del vuoto (permittività elettrica del vuoto):

ε₀ ≈ 8.854 ⋅ 10^-12 F/m

Se fra le due armature viene posto un materiale dielettrico che non sia il vuoto, il valore della capacità aumenta in quanto viene moltiplicata per una costante (> 1) determinata dal tipo di materiale, detta costante dielettrica relativa o permittività elettrica del materiale.

In generale: ε = ε₀ · ε_r.

Supponendo fissate le dimensioni geometriche (A e d) del condensatore si ha che, a parità di carica libera sulle armature, il campo elettrico tra le armature è più basso a causa delle cariche di polarizzazione che si accumulano al di sotto delle due armature del condensatore. Questo significa anche che, a parità di tensione applicata, la quantità di carica sulle armature di un condensatore con dielettrico interposto è maggiore (per contrastare l’effetto delle cariche di polarizzazione che determina un campo con polarità opposta) rispetto al caso di condensatore con vuoto tra le armature (la capacità aumenta).

Relazione tensione-corrente (condensatore)

Ricordando che l’intensità di corrente è pari alla derivata della carica rispetto al tempo e che, nel caso di un condensatore, la carica è pari al prodotto tra la capacità e la tensione ai capi, si ottiene:

i = dq / dt = d(C ⋅ v) / dt = C ⋅ dv / dt

Seguendo l’ipotesi che il condensatore sia tempo-invariante, ossia che la capacità del condensatore non varia nel tempo, si ha che il secondo termine è nullo, perciò si ha:

i = C ⋅ dv / dt

In questo caso la relazione tra i e v è data da un’equazione differenziale, secondo cui la corrente i che entra dall’armatura a potenziale maggiore (+) è proporzionale alla variazione della tensione applicata ai capi del condensatore rispetto al tempo moltiplicata per C. Integrando tale relazione per ottenere l’andamento della tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo (convenzione degli utilizzatori), si ottiene:

v(t) = v(t₀) + (1 / C) ∫_t0^t i(τ) dτ

In cui il primo termine del secondo membro è la condizione iniziale che dipende dalla quantità di carica sul condensatore all’istante t₀ appena prima di forzare una certa corrente i a scorrere nel condensatore. Questa condizione è quella che di fatto viene chiamata effetto memoria o continuità.

Se la corrente ha valore limitato (non infinito), la tensione ai capi del condensatore varia con continuità. Si ha infatti:

dv / dt = (1 / C) ⋅ i

A fronte di una corrente impressa ai capi del condensatore, che può essere anche discontinua, la forma d’onda della tensione ha quindi un andamento continuo per effetto della relazione di integrazione.