Circuiti Elettrici Lineari - Bipoli Adinamici

Legge di Ohm e densità di corrente

Jcorrente sarà dato da: ⃗ ⃗ ⃗q⃗J = q n ⋅ < v > ⟹ J = q n ⋅ Em m α2 ⃗ ⃗q ⋅ n m = σ ⟹ J = σ ⋅ Ee, posto α σJovvero la densità di corrente è proporzionale al campo elettrico, dove il parametro (sigma) è detto conducibilità ρ resistività. 1/σ del materiale, mentre il suo opposto (rho) = è detto L’equazione ottenuta sopra rappresenta la legge di Ohm in forma locale. Da questa si può capire che relazioni discendono tra la corrente e la tensione ai capi del materiale (dalle grandezze locali a quelle globali). Si assuma che il conduttore abbia una sezione icostante pari ad A. La corrente che lo attraversa sarà data da: ⃗ ⃗ ⃗ i∫ | | | |i = J d s ⃗ = A ⋅ J , J = da cui AA lLa differenza di potenziale fra i punti 1 e 2 posti a una distanza nel materiale può essere espressa come: ⃗ ⃗ l| | | |v − v = l ⋅ E = l ⋅

ρ ⋅ J ⟹ v − v = ρ ⋅ ⋅ i ⟹ ΔV = R ⋅ i²

Aovvero la differenza di potenziale che si determina a seguito del passaggio di cariche in un materiale R, il conduttore è proporzionale, tramite il parametro ρ, alla corrente che scorre nel materiale. Il parametro ρ dipende da proprietà geometriche e fisiche del materiale (resistività, lunghezza e sezione).

§2.4 RESISTORE E LEGGE DI OHM

La legge di Ohm afferma che la tensione v ai capi del conduttore è direttamente proporzionale alla corrente i che lo attraversa, assumendo di utilizzare la convenzione degli utilizzatori (ovvero che la corrente entri dal terminale a potenziale maggiore) si ha che la relazione di un resistore tra la tensione e la corrente è esprimibile come: v = R ⋅ i

R è la resistenza elettrica. La costante di proporzionalità è detta resistenza e definisce un componente elettrico a due terminali (bipolo lineare) che soddisfa la legge di Ohm.

Ohm per qualsiasi valore di corrente. Esso si caratterizza specificando la sua resistenza. Riportando sul piano cartesiano corrente e tensione e la relazione costitutiva del resistore lineare si ottiene una retta passante per l'origine, la cui ovvero la derivata della tensione rispetto alla corrente è pari alla resistenza del resistore: v dvR = i di Da ricordare il fatto che se la caratteristica di un resistore lineare passa per l'origine degli assi allora è un bipolo passivo e la pendenza è costante per tutti i valori di corrente (trattandosi di un resistore lineare): maggiore è la resistenza del resistore e maggiore sarà la pendenza della caratteristica tensione-corrente. In realtà resistore di questo tipo non esistono e in particolare, dato qualunque tipo di resistore, esisterà un valore massimo di corrente che è possibile far scorrere nel resistore. Infatti il resistore dissipa una certa quantità di.potenza che cresce quadraticamente con l'intensità della corrente che scorre al suo interno. Poiché la potenza elettrica viene dissipata sotto forma di calore, un aumento della corrente corrisponde ad un aumento quadratico della potenza dissipata, la quale determina un innalzamento della temperatura del resistore, il quale non può salire indefinitamente senza deteriorare il materiale di cui si compone il resistore. Per calcolare la resistenza elettrica a partire dalle sue proprietà fisiche (ovvero le dimensioni geometriche, la forma, le caratteristiche elettriche e il materiale con cui è realizzato), si assume per semplicità che il resistore sia cilindrico con una sezione costante. Si ha che la resistenza sarà, a parità di sezione, tanto maggiore quanto più lungo sarà il resistore mentre, a parità di lunghezza, la resistenza sarà tanto minore quanto maggiore sarà l'area della sezione.

La resistenza elettrica è infatti pari a: VR = ρ , R ≥ 0 [R] = 1 Ω = 1 A Ω · m. Essa si misura in (ohm) in onore di George Simon Alfred Ohm.

La resistività in§2.5 CONDUTTANZA, CIRCUITO APERTO E CORTOCIRCUITO conduttanza G, La a differenza della resistenza, rappresenta la capacità di un elemento di condurre la corrente elettrica. È l'inverso della resistenza elettrica: 1 i A−1 G = , G ≥ 0 [G] = 1 S = 1 Ω = 1con (siemens) R v V. Essa si misura in (siemens) in onore di Ernst Werner von Siemens.

Quanto maggiore è la conduttanza tanto maggiore, a parità di tensione, sarà la corrente assorbita dal resistore; viceversa, tanto maggiore è la resistenza tanto minore, a parità di tensione, sarà la corrente assorbita dal resistore (la conduttanza è duale rispetto alla resistenza).

Resistono due casi limite per la resistenza, dualmente per la conduttanza. Nel caso

in cui la resistenza sia nulla allora qualunque sia la corrente che scorre nel resistore, la tensione ai capi sarà nulla: questo caso limite è detto cortocircuito e si rappresenta con un semplice filo che unisce i due morsetti del bipolo. La conduttanza associata ad un cortocircuito, ovvero ad una resistenza che tende a zero, tende ad un valore infinito.

v = R ⋅ i = 0

Nel caso in cui, viceversa, la resistenza tende ad infinito allora qualunque sia la tensione ai capi del bipolo, la corrente che scorre è nulla: questo caso limite è detto aperto e si rappresenta come una interruzione di collegamento elettrico fra i due morsetti del bipolo. La conduttanza associata ad un circuito aperto, ovvero ad una resistenza che tende a infinito, tende a zero.

vi = lim R→∞ = 0

2.6 POTENZA DISSIPATA

Il resistore è un bipolo passivo quindi dissipa potenza quando è attraversato dal corrente. Per conoscere la potenza elettrica dissipata da un

resistore di resistenza si hanno due modi equivalenti: ⏞1R= 2iG2p = v ⋅ i = (R ⋅ i) ⋅ i = R ⋅ i ⟺ p = G⏞1R=2v v G 2p = v ⋅ i = v ⋅ = ⟺ p = G ⋅ vR R

La potenza è espressa in funzione della corrente o della tensione; in entrambi i casi le variabili di controllo sono al quadrato quindi c’è una dipendenza quadratica della potenza sia dalla corrente che dalla tensione. Il fattore di proporzionalità è la resistenza oppure la conduttanza. Questo significa che non vale il principio di sovrapposizione degli effetti (tipico dei sistemi lineari) per il calcolo della potenza dissipata da un resistore: la potenza è funzione non lineare della corrente o della tensione. Inoltre ricordando che resistenza e conduttanza sono sempre maggiori o uguali a zero, la potenza di conseguenza può solo essere positiva o nulla anch’essa e quindi essere dissipata (sempre adottando la convenzione degli utilizzatori).

§2.7

RESISTORI IN SERIE

resistori in serie i.
Collegare comporta che essi abbiano la stessa corrente. Considerando due resistori in serie, R1 e R2, le incognite sono tre: la corrente che scorre nella maglia e le tensioni ai capi dei resistori. Si ha un'equazione data dalla KVL e le due relazioni costitutive dei resistori (legge di Ohm). Immaginando di percorrere in senso orario la maglia si può scrivere:

v1 - v2 - v = 0

v1 = R1 ⋅ i

v2 = R2 ⋅ i

Sostituendo v1 e v2, espresse in funzione di i, nella KVL si ottiene:

v1 + v2 - (R1 + R2) ⋅ i = 0 ⟹ i = v1 + v2 / (R1 + R2)

Da questa equazione si ottiene che, ai fini del calcolo della corrente che scorre nella serie di due resistori, si ha che essi possono essere visti come una resistenza equivalente di valore pari alla somma tra R1 e R2.

Per il calcolo di v1 e v2, una volta nota la corrente i, si può utilizzare la legge di Ohm e quindi scrivere:

v1 = R1 ⋅ i

v2 = R2 ⋅ i

1 g 2 2 gR + R R + R1 2 1 2 vDa notare che su entrambe le resistenze cade una tensione che è una partizione di in ragione del peso che la resistenza considerata ha sul valore della resistenza a serie equivalente: proprio per questo la configurazione serie di resistenze è detta anche "partitore di tensione". Ponendo il caso di una resistenza R (di un certo valore) in serie ad una resistenza di un valore molto maggiore, allora la tensione applicata cadrà quasi interamente sulla resistenza R e la corrente sarà determinata dalla resistenza più grande. Generalizzando al caso di N resistenze in serie, si ha che la resistenza equivalente è pari alla somma delle singole resistenze. Analogamente la caduta di tensione sulla resistenza i-esima, trattandosi di un partitore di tensione, è determinata dal peso che essa ha sulla resistenza equivalente, ovvero:

Resistenza equivalente = R₁ + R₂ + ... + R_N

Partizione di tensione = R_i / ∑R = R_i / R

v = v₁ = v₂ = ... = v_i

geq 1 2 N i R + R + … + R R1 2 N eqi=1 serieLa conduttanza equivalente nel caso di collegamento in è data da: −1( )1 1 1 1 1 1G = = = = + +…+eq R R + R + … + R G G G1 1 1+ +…+eq 1 2 N 1 2 NG G G1 2 N§2.8 RESISTORI IN PARALLELOresistori in paralleloCollegare significa che essi sono sottoposti alla stessa tensione. Considerando dueR R iresistori in parallelo e , le incognite sono tre: la corrente erogata dal generatore e le correnti che1 2scorrono in ciascuno dei due resistori. Si ha un’equazione data dallaKCL applicata al nodo A e le due relazioni costitutive dei resistori (leggedi Ohm). Applicando la legge di Kirchhoff delle correnti al nodo a si puòscrivere che: i − i − i = 01 2v vi = = G ⋅ v i = = G ⋅ v1 1 2 2R R1 2i i v,Sostituendo e , espresse in funzione di nella KCL si ottiene:1 2 i ii = G v + G v = G v, v = =da cui1 2 eq G G + Geq 1 2da questa equazione si ottiene che, ai fini del calcolo della conduttanza equivalente nel caso di collegamento in parallelo, si deve sommare le conduttanze dei resistori.ò utilizzare la formula: e = v * (1 / (1/R1 + 1/R2)) Dove: - e è la corrente erogata dal generatore di tensione al parallelo di resistenza R1 e R2 - v è la tensione impostata - R1 e R2 sono le resistenze presenti nel parallelo Per ottenere la corrente erogata, si moltiplica la tensione impostata per una conduttanza equivalente, che è pari alla somma delle conduttanze di ciascun resistore.