Cinematica del punto 1

Cinematica del Punto

Riferito lo spazio ad un riferimento (0; x, y, z) inerziale (cioè fisso oppure dotato di moto rettilineo uniforme e quindi non può compiere nessun tipo di rotazione).

Sia la funzione vettoriale P = P(t) t ∈ [t₀, t₁] (ovvero la funzione che determina il vettore posizione (P(t) - O) ∀ t ∈ [t₀, t₁]), questa equivale a tre funzioni scalari rispetto agli assi del riferimento:

P = P(t) ⇔

• x = x(t)
• y = y(t)
• z = z(t)

queste definiscono le componenti della posizione del punto (intesa come vettore (P - O)) in ogni istante dell'intervallo di tempo considerato (se tali funzioni non sono costanti).

1. Dobbiamo supporre che sia la funzione vettoriale P = P(t) sia le sue corrispettive tre scalari siano derivabili due volte, con derivate continue

2. le (*) rappresentano ...equazioni fisse ... l'... del moto di P, esse compongono allora l'informazione ... cinematica del moto del punto

Cinematica del Punto

Riferirò lo spazio ad un riferimento (O: x, y, z) inerziale (cioè fisso oppure da ogni moto rettilineo uniforme - quindi non può compiere nessun tipo di rotazione).

Sia la funzione vettoriale \( P = P(t) \quad t \in [t_o, t_1] \)ovvero la funzione che determina il vettore posizione\( (P(t) - O) \quad \forall \, t \in [t_o, t_1] \), questa equivale atre funzioni scalari riferite agli assi del riferimento.

\( P = P(t) \Longleftrightarrow \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases} \quad \) con \( t \in [t_o, t_1] \)

queste definiscono le componenti della posizione delpunto intese come vettori \( (P - O) \) in ogni istantedell'intervallo di tempo considerato (se tali funzioni nonsono costanti).

1. Dobbiamo supporre che sia la funzionevettoriale \( P = P(t) \) sia le sue corrispettive trescalari siano derivabili due volte, conderivate continue.

Si definiscono velocità ed accelerazione del punto

_J(t) = _dP(t) / dt = ^·P(t) = ^·x(t) î + ^·y(t) ĵ + ^·z(t) k û

[velocità]

a(t) = _dJ(t) / dt = _d²P(t) / dt² = _dP(t) / dt^¨

= ^¨x(t) î + ^¨y(t) ĵ + ^¨z(t) k û

[accelerazione]

Nota: in quanto il sistema di riferimento è inerziale,i versori î, ĵ, u sono costanti, pertanto "escono"o meglio "vengono portati fuori" da segno di derivazione.

Considerando il vettore _dP(t) / dt = _J(t)

possiamo ricavare lo spostamento infinitesimo =>

=> dP = _J(t) dt _Ù ^t đ [t₀, t₁] j ≠ 0

Il differenziale della funzione P(t) veicolato in un dato istante

La curva ^k rappresentate delle equazioni parametriche(*) è la traiettoria del punto, luogo geometricodelle posizioni da esso assunte durante il moto.

Quindi, una maniera alternativa di descrivere il moto di P è quella di sovrapporre l’informazione sull’elemento geometrico del moto, ossia la traiettoria, a quella sull’elemento tipicamente cinematico, ossia la correlazione tra i punti della traiettoria e la variabile tempo.

Avendo già supposto |v(t)| ≠ 0 e moto con traiettoria è una curva rettificabile, per cui ad ogni istante t è definita la lunghezza l(t) dell’arco avente per estremi P(t₀) e P(t),

l(t) = ∫_t0√(ẋ² + ẏ² + ż²) dt ⇒ l(t) = ∫_t0|Ṗ| dt

Nota: nella seconda relazione avendo P come differenziale non si può usare la stessa variabile di integrazione

dove √(ẋ² + ẏ² + ż²) = |l̇(l)| = |Ṗ|

Ascissa Curvilinea

Posto O ≡ P(t₀), risultando definita la lunghezza dell’arco OP per qualunque P della traiettoria è possibile introdurre un sistema di “ascisse curvilinee” scegliendo sulla traiettoria un verso positivo (verso degli archi crescenti), ed associando ad ogni punto P di essa l’ascissa curvilinea S pari alla lunghezza dell’arco OP (o al suo opposto a seconda che il verso tra O e P coincida o no con quello scelto positivo)

Avendo , come già detto , l'obbiettivo di separare l'informazione geometrica da quella cinematica , e avendo introdotto l'ascissa curvilinea (tramite la rettificazione della traiettoria );

1. Possiamo rappresentare la traiettoria mediante le equazioni che traducono la corrispondenza biunivoca tra P e S

P = P(S)

⟺

x = x(S)y = y(S)z = z(S)

(equazioni parametriche nella forma intrinseca)

2. La conoscenza del moto di P è completate dall'equazione

S = S(t)

(equazione oraria) , che indica appunto la posizionedel punto sulla traiettoria ad ogni istante .

Essendo S(t) = l(t) (oppure s(t) = - l(t) e seconda del verso positivo scelto) si ha

S(t) = ∫_t0^t √(ẋ² + ẏ² + ż²) dtau

Infine derivando rispetto a t si ottieneQuindi la S = S(t) è invertibile (infatti J ≠ 0) ossica edefinita la funzione t = t(S) (funzione inversa) derivabiledue volte , con derivata prima diversa da zero . Di conseguenza la funzione:

x = x(S) ; y = y(s) ; z = z(S)

hanno derivata prima e seconda continue

Versori Tangente Normale Principale e Binormale (Piano Osculatore)

Curve dello x = x(t); y = y(t); z = z(t) t ϵ [t₀, t₁]

ascisse ℓ(t) = ∫_t0 ^t √(ẋ² + ẏ² + ż²) dt

cosi come dalla x = x(s), y = y(s), z = z(s)

possiamo scrivere S: = ∫₀ ^S √( ( dx/ds )² + ( dy/ds )² + ( dz/ds )² ) ds

(di cui l'integrando √( ( dx/ds )² + ( dy/ds )² + ( dz/ds )² ) = 1

(il suo quadrato è sempre 1))

possiamo scrivere ( dx/ds, dy/ds, dz/ds ) = dP/ds Vettore tangente alla curva

Risulta essere |dP/ds| = 1 quindi è un versore |(dP/ds)|

Per cui possiamo scrivere il versore tangente alla curva come:

t = dP/ds = dx/ds i₁ + dy/ds j₁ + dz/ds l₁

Nota: le dx/ds, dy/ds, dz/ds rappresentano le tangenti alla curva ognuna rispetto agli assi coordinati per cui

rappresentano le componenti di un vettore tangente

alla curva stessa.

Se definiamo l'integrale s:

s = ∫₀^S √ ( (dt_x/ds)² + (dt_y/ds)² + (dt_z/ds)² ) ds,

se questo è definito tra 0 ed S, e ci deve restituire

S è necessario che il modulo dell'integrando sia proprio

1 (altrimenti ci restituirebbero multipli e sottomultipli di

S).

In più l'integrando corrisponde proprio al modulo

di un vettore (vettore tangente globale) che è di modulo

unitario allora è un ^versore.

La sua direzione è la direzione limite della corda

avente per estremi i punti P(S) e P(S+ε) quando

ε → 0, ossia la direzione tangente in P(S) della

traiettoria. (Il verso coincide ovviamente con quello

degli archi crescenti).

Atensione: durante il moto il versore cambia,

ovvero modifica la sua direzione, nelle tre dimensioni.

Ci proponiamo ora di studiare le derivate di t

Formula di Frenet

dT/ds = d²x/ds² i + d²y/ds² j + d²z/ds² k = 1/p n

dove

1. il coefficiente 1/p, assunto non negativo, prende il nome di curvaTURA
2. Il reciproco della curvatura p prende il nome di RAGGIO DI CURVATURA
3. M è un versore, detto VERSORE NORMALE PRINCIPALE, ed è normale a t

Consideriamo a titolo di esempio una curva Ɣ che sia una circonferenza centrata nel riferimento cartesiano (O, x, y). Assegniamo a tale curva un ascisse curvilinea S con orgine in O₁ e verso antiorario come verso positivo.

Definendo S = Rφ =>

=> φ = S/R

P(x,y) con

x = R cos S/R ; y = R sen S/R

se             _dP/_dS = _dx/_dS i + _dy/_dS j

con       _dx/_ds = -_R sen _s/_R = - sen _s/_R

=> t = -  sen _s/_R i + cos _s/_R j

_dy/_ds = _R:l cos _s/_R = cos _s/_R

Dalla formula di Frenet sappiamo che

[     _dt/_ds = _1/p n ]    :   _dT/_ds = -_1/R cos _s/_R i-_1/R sen _s/_Rj =

= - _1/R ( cos _s/_R i + sen _s/_Rj )

Da notare che     - ( cos _s/_R i + sen _s/_Rj ) = - Vers (P-O)

quindi possiamo scrivere

_dT/_ds = - _1/R vers (P-O) + _1/p n = > [ _1/p, _1/R curvatura ]

[   Vers (P-O) = n   ]

Il caso da noi trattato della circonferenza èun caso limite, però dimostra che :

Presa una curva γ, fissato un asse curvilineas ed         orientato   in verso positivo

1)                                            V ∈ P ∈                                         I C                                                           c        c

oscillatoria                                                                                                                                                                                       P-O                                                                                                                                                               3

tangentea  γ  in  P    (internamente   alla  convessità  della curva).

- R già noto come raggio di curvatura, sarà il raggio della circonferenza osculatrice

- il versore normale a t_P, sarà sempre diretto da P al centro della circonferenza osculatrice e quindi rivolto verso il semipiano delimitato dalla tangente in P, sul quale giace la curva in un intorno di P (ovvero nell'intorno della concavità di f, e se la curva è piana n'appartiene al piano della curva)

Terrna intrinseca o base di Frenet

Può essere interessante studiare la cinematica di un punto P localmente ad un intorno di P stesso, senza che ci possa interessare il comportamento del punto sulla curva rispetto ad un riferimento esterno.

È necessario dunque costruire una terna centrata in P.

Se consideriamo i versori applicati in P t_P e n_P come possibile base di un sottospazio vettoriale (perché linearmente indipendenti tra loro), la base di uno spazio vettoriale a 3 dimensioni.