Cinematica del punto 1

Cinematica del Punto

Rispetto lo spazio ad un riferimento (O; x, y, z) inerziale e cioè fermo oppure dotato di moto rettilineo uniforme (quindi non può compiere nessun tipo di rotazione):

Sia la funzione vettoriale P = P(t) t ∈ [t₀, t₁] (ovvero la funzione che determina il vettore posizione (P(t) - O) ∀ t ∈ [t₀, t₁]), questa equivale a tre funzioni scalari rispetto agli assi del riferimento:

P = P(t) ⇔ (*)

• x = x(t)
• y = y(t)
• z = z(t)

con t ∈ [t₀, t₁]

queste definiscono le componenti della posizione del punto (intesa come vettore (P - O) in ogni istante dell'intervallo di tempo considerato (se tali funzioni non sono costanti)

1. Dobbiamo supporre che sia la funzione vettoriale P = P(t) sia le sue corrispettive tre scalari siano derivabili due volte, con derivate continue;
2. le (*) rappresentano xxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx xxxxxxx le equazioni fisse del moto di P; esse compongono allora l'informazione xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Si definiscono velocità ed accelerazione del punto

^J(t) = _dP(t)/_dt = ^dr(t)/_dt = ^ẋ(t)_i + ^ẏ(t)_j + ^ż(t)_u

^a(t) = _d^J(t)/_dt = _d²P(t)/_dt² = _d^J(t)/_dt =

= ^ẍ(t)_i + ^ÿ(t)_j + ^z̈(t)_u

Nota: in quanto il sistema di riferimento è inerziale, i versori _i, _j, _u sono costanti; pertanto "escono", o meglio "vengono portati fuori" dal segno di derivazione. Considerando il vettore _dP(t)/_dL = ^J(t)

possiamo ricavare lo spostamento infinitesimo => => _dP = ^J(t) _dt

∀t _∈[t₀,t₁] = ^J ≠ 0

Il differenziale della funzione ^r(t) valutato in un dato istante?

Le curve γ rappresentate dalle equazioni parametriche (*) è la traiettoria del punto, luogo geometrico delle posizioni da esso assunte durante il moto.

rappresentano le componenti di un vettore tangente alla curva stessa.

Se definiamo l'integrale s=∫₀^S √(dt/ds)²+(dy/ds)²+(dz/ds)² ds.

Se questo è definito tra 0 ed S e ci deve restituire S è necessario che il modulo dell'integrando sia proprio 1 (altrimenti ci ritroveremmo molti plici o sottomultipli di S).

In più l'integrando corrisponde proprio al modulo di un vettore (vettore tangente globale) che è di modulo unitario allora è un versore.

La sua direzione è la direzione limite della corda avente per estremi i punti P(s) e P(s+ε) quando ε→0, ossia la direzione tangente in P(s) della traiettoria. (Il verso coincide ovviamente con quello degli archi crescenti).

Attenzione durante il moto il versore cambia ovvero modifica la sua direzione, nelle tre dimensioni.