Cinematica del punto

MECCANICA

Si occupa dello studio del movimento dei corpi.

Un corpo in fisica è un qualcosa che possiede massa ed occupa un determinato volume.

La Meccanica si divide in:

• CINEMATICA: descrizione di un fenomeno fisico. (descrizione del moto)
• DINAMICA: spiegazione del fenomeno - (spiegazione delle cause che determinano il moto)

In fisica facciamo delle semplificazioni:

CORPO → PUNTO MATERIALE

• NON REALI → NON SENZA ATTRITO

1. CINEMATICA

Anche questo ce fa con semplificazioni iniziali

Infatti trattiamo un corpo si prende in considerazione un punto materiale.

MOTO: Il moto indica il cambiamento di posizione.

Bisogna saper descrivere dunque la posizione del punto materiale, per questo si utilizzano i sistemi di coordinate.

sistema di coordinate cartesiano

Si tratta di 3 rette orientate (assi) che si incontrano nell’origine e sono ortogonali tra di loro.

Requisiti:

1. Sistemi di coordinate (corso di geometria).
2. Algebra vettoriale (vettore modulo, somma e diff. prodotto).
3. Calcolo differenziale e integrale.

Introduzione

Modello fisico

semplificazione trattabile con leggi fisico/matematiche

Metodo scientifico:

1. Osservazione sperimentale
2. Modello
   • Ipotesi/previsione
     • conferma -> formulazione di leggi + teoria
     • smentita -> si ripetiamo gli esperimenti
   • Verifica sperimentale

Grandezza fisica:

• Una grandezza fisica si può misurare
• La misurazione avviene attraverso uno strumento che rappresenta l'unità di misura
• L'insieme delle unità di misura è detto: Sistema di Unità di Misura

Il sistema attualmente usato su scala mondiale è il:

Sistema Internazionale (7 grandezze fondamentali)

Si può descrivere anche col DIAGRAMMA ORARIO.

x = x(t)

Si tratta del grafico che descrive una funzione che è proprio la legge oraria. Basta fare lo studio della funzione (leggi orarie).

Esempi di leggi orarie:

x(t) = (t_i + 3t)m x(t) = (e^4t e^4t)m

VELOCITÀ MEDIA

La velocità media si misura su un certo Δt. Si indica con: V_m = ⟨V⟩ = V

DEFINIZIONE: V_m = Δx/Δt = x₁ - x_i/t_i - t_i = x(t_i + Δt)- x(t_i)/Δt

Notiamo che V_m indica la derivata prima dello spazio comparirà il rapporto incrementale.

UNITÀ DI MISURA DELLA VELOCITÀ: V_m = m/s

EQAUZIONE DIMENSIONALE: [⟨V⟩] = [L] [T]^-1

Esercizio: 4.35 (pag. 38)

R: 5.2 m

Q = 6.8 g = 66.64 m²

V_t = Q_T

Q_T = ω_t

cu = ω

La velocità nel moto circolare uniforme.

ω = Q_T = ω_m m

Q_m = cu * R

cu: ω

ω_m = V² / R

Sezione Q: ω_m = 66.64 m²

V = ω_m * R = 18.6 m

NUMERO DI GIRI AL MINUTO:

m = 21

V = m : ω

V_t = 18 m 60 a = 1

2Π m: ω

φ a 0.5 a

secondo: 93.05

Le derivate puo essere interpretate geometricamente.

Infatti, la derivata di una funzione in un punto corrisponde

al coeff. angolare delle rette tangenti alla funzione in quel

punto.

v(t) = ^dv/_dt

dx(t) = v(t)dt

Lo spostamento infinitesimo è il differenziale della velocità istantanea.

La posizione è la primitiva della velocità istantanea.

x(t) = ∫ v(t) dt

Tenendo presente la costante:

x(t₁) - x(t₀) = ∫_t0^t₁ v(t') dt'

dunque la variazione di posizione:

x(t₁) - x(t₀) = Δx = ∫_t0^t₁ v(t') dt'

oppure:

Δx = ∫_t0^t₀+Δt v(t') dt'

Accelerazione istantanea (al tempo t)

a(t) = lim_Δt→0 (v(t+Δt) - v(t)) / Δt = dv/dt

La accelerazione vettoriale indica la derivata seconda del tempo spazio.

Notiamo che:

a(t) = dv/dt ≠ 0, se a(t) = 0 la velocità è costante.

a(t) = ṽ(t) = ẍ(t)

Anche la accelerazione è una funzione che può essere studiata in funzione del tempo.

La velocità è la primitiva dell'accelerazione istantanea:

v(t) - v(t₀) = ∫_t0^t a(t) dt"

Esercizio

A 100 _km ^h

lo spazio di frenata è 150m.

Ammetendo.

Incognite:

• a = ?
• t = ?

_{Δx (tg)} = ¹/₂ ^Ve2/_a

a = - ¹/₂ ^Ve2/_Δx

a = -4/34 _m/_s²

SI TRATTA DI UN MOTO UNIFORMEMENTE DECELERATO.

tg = √₆

a = 8,32 _a con a < 0

Esercizio

A 100 _km ^h

arresto per urto frontale in 1m

_Δx = 1m

a = cost.

• a = ?
• tg = ?

a = - ¹/₂ ^V_o2/_Δx = 396 _m/_s²

t^* = ^V_o/_a

0,072 . 7,2 x10^-3

Accelerazione

a(t) = x''(t) = -A ω² sin (ωt + ∅) = -ω² x(t)

L'accelerazione massima (in modulo) si avrà agli estremi.

Esercizio sul moto armonico

1. x(t) = A sin (ωt + ∅)

   ∅ = 0

   x(t) = A sin (2π ν · t)

2. Derivo la posizione per trovare la velocità:

   v(t) = A ω cos (ωt + ∅)

   v(t) = A 2π ν cos (2π ν · t)

   v(t*) = A 2π ν cos (2π ν · t*) = 0.63 _m/^s

3. a(t) = -A (2π ν)² sin (2π ν · t)

   Il valore massimo a Re quando il sin (2π ν · t) = ±1 per cui:

   a(t) = A (2π ν)² = 55.3 _m/^s2

ORIGINE, PUNTO DI APPLICAZIONE

ESTREMO

Grandezze Vettoriali

• VELOCITÀ
• SPOSTAMENTO
• FORZA
• ecc.

Si caratterizzano per:

1. modulo
2. direzione
3. verso

Grandezze Scalari

Si indicano con un numero seguito dalla rispettiva unità di misura:

• TEMPERATURA
• peso
• MASSA
• PRESSIONE
• ecc.

Somma Tra Vettori

Ecco una traslazione, applicando nello stesso punto, si utilizza la cosiddetta regola del "A Parallelogramma".