Cinematica del moto unidimensionale e del piano

MECCANICA: Studio del moto dei corpi

1. CINEMATICA: Studia le caratteristiche del moto (come avviene il moto?)
2. DINAMICA: Studia le cause del moto (perché?)

PUNTO MATERIALE: sistema meccanico, quindi un oggetto, privo di dimensioni, a trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui si sviluppa o agli altri corpi.

Più avanti, considerando gli INSIEMI DI PUNTI MATERIALI e i corpi RIGIDI per quali dovremo definire traslazione, rotazione.

A cosa serve lo studio del moto? Ad esempio per poter:

1. fare predizioni
2. avvenire un moto in un determinato luogo

Il punto materiale sarà rappresentato sempre da un PUNTO.

Qda POSIZIONE: del punto viene determinato da un VETTORE POSIZIONE in funzione del tempo in un dato sistema di riferimento:

_(t), x(t) û_x + y(t) û_y + z(t) û_z, dove x, y, z sono coord. apparenti del tempo.

La TRAETTORIA del punto è la successione delle posizioni del punto nello spazio. È un tratto di curva CONTINUA.

QUIETE: particolare stato di moto con vettore posizione che non varia nel tempo (costante) in un dato sistema di riferimento.

MOTO RETTILINEO: la traiettoria del punto è un semplice SEGMENTO di retta, e il punto si muove lungo una RETTA ORIENTATA, cioè una retta che è determinata da:

1. una DIREZIONE (orizzontale, verticale,...)
2. un VERSO (dx, sx,...)
3. un ORIGINE O e a sx e che viene fissato arbitrariamente

DIAGRAMMA ORARIO

(o spazio-tempo) è il grafico di x(t), cioè si mostra come varia x in funzione del tempo.

VELOCITÀ MEDIA

(rapidità dello spostamento)

Informazione globale senza dettagli del punto.

Se vm = 0 vuol dire che non si sia mosso.

• [v] = [x] / [t]
• m = S / S

VELOCITÀ ISTANTANEA

Non dipende più da Δt ma dall'istante in cui lo misuriamo.

v = lim Δx/Δt = dx/dt = x'(t)_{Δt → 0 dt}

Qualificato v(t) = tg (α(t))

L'esistenza di questo limite è un fatto sperimentale ed implica che il moto DEVE essere continuo e non "a salti".

La velocità è l'ente fisico che rappresenta l'esistenza del limite e quindi la continuità del movimento.

Il segno della velocità indica il VERSO del moto:

• v(t₁) > 0
• v(t₂) = 0
• v(t₃) < 0

6. Se è nota x(t) è possibile calcolare v(t) (infatti v(t) = x'(t))

Esempio 2:

Corpo lanciato da terra verso l’alto con velocità iniziale v₀

Condizioni iniziali: x₀ = 0, v₀ > 0, t₀ = 0, a = g

x(t) = v₀ t - ¹/₂ g t², v(t) = v₀ - g t

• TEMPO DI SALITA (v = 0)
• t (_v=0) = ^v₀/_g
• x (_v=0) = ^v₀2/_2g

* Il tempo di salita è uguale al tempo di caduta

* L'altezza raggiunta di punta è v₀²

* La velocità al suolo è uguale alla v₀

(2) MOTO ARMONICO SEMPLICE

Questo moto è un MOTO PERIODICO

f(t) = cost. fa le che f (t + T) = f(t) → T = PERIODO

Possiamo collegare questo moto a quello di una ruota verticale

IR punto descrive un'oscillazione, più precisamente un moto sinusoidale

FORMA DELLA LEGGE ORARIA:

x(t) = A sin (ωt + φ)

dove A = AMPIEZZA = MAX VALORE Δx

ωt + φ: FASE

φ: FASE INIZIALE = FASE PER t = 0

ω: PULSAZIONE

da cui si ha

\[ \vec{v}^2 = \left( \frac{dz}{dt} \right)^2 = \frac{dc}{dt} \cdot \frac{dc}{dt} = \left(\frac{dc}{dt} \right)^2 = c \cdot \text{derivata di } c \text{ sul lungo }\]

\[\text{oppure } \; \dot{z}(\hat{u}_c) \; \cdot \vec{v} = \vec{u}_c\]

\[ \vec{v}^2 = \left(\frac{dr}{dt}\right)^2 + c\cdot \dot{z}^2\]

dove \( \vec{u}_{\mathrm T} \) per l'asse Tangente \(\vec{\phi}\)

\[\vec{a} = \frac{dc}{dt} = \frac{d}{dt} \frac{dt}{dt} = \left( \frac{dt}{dt} \right)^2 \cdot \vec{u}^2_{\mathrm T} = 2\frac{du^{2}_{\mathrm T}}{dt}\]

ACCELERAZIONE NEL PIANO

\[ \vec{a} = \frac{dc}{dt}^2 - \frac{c^\mathrm N}{dt^2} = \^u^\mathrm N \cdot \^u_{\mathrm T} - \^u^\mathrm N \]

con \( 4\vec{u}_{\mathrm T} = 4 \vec{u}_c \)

\[\Rightarrow \vec{a}(t) = \frac{d(\vec{r}\hat{u}_{\mathrm T})}{dt} = \frac{du_{\mathrm T}}{dt} + v \frac{d\hat{u}_{\mathrm T}}{dt}\]

(VERSORI CAMBIANO NEL TEMPO) Si ricorda che \(\frac{d\hat{u}_{\mathrm T}}{dt} = \frac{d\beta}{dt} \hat{u}_{\mathrm N}\)

La curva può essere approssimata ad un arco di circonferenza di centro C e raggio CP=R\[ \quad \frac{ds}{R\cdot dp} = rd\phi \quad e \quad \frac{d\hat{u}_{\mathrm T}}{dt} = \frac{d\phi}{dt} \hat{u}_{\mathrm N} = \frac{1}{R} \] \[\quad \hat{u}_{\mathrm N} = \frac{\hat{t}}{\vec{u}}\]

\[\Rightarrow \dot{\hat{u}}^{2}(t) = \frac{d\vec{v}_{\mathrm T}}{dt} + \frac{v^{2}_{\mathrm T}\hat{t}^{2}_{\mathrm N}}{R} = a_{\mathrm T}\hat{u}_{\mathrm T} + a_{\mathrm N}\hat{u}_{\mathrm N} = a_{\mathrm T} + a_{\mathrm N}\]

ACCELERAZIONE TANGENTE

ACCELERAZIONE NORMALE

Teorema:

\[\left|{\mathbf{a}} \right|=\sqrt{a_{\mathrm{x}}^{2} + a_{\mathrm{y}}^{2}}\]

NUOVO:

Se \( R \rightarrow \pm\infty \) ci troviamo in una direzione perché la circonferenza diventa una RETTA

in coordinate cartesiane: \(\vec{a}(t) = \frac{d^2 \hat{u}_{\mathrm T}}{dt} = \frac{d\vec{u}_{\mathrm T}}{dt} \cdot \frac{dv(t)}{dt}\hat{u}_{\mathrm y}\) \[ = a_{\mathrm x} \hat{u}_{\mathrm x} \cdot a_{\mathrm y}\hat{u}_{\mathrm y} = a_{\mathrm x} + a_{\mathrm y}\]

Se il mutuo è curvilineo, \(a_{\mathrm N} \neq 0\) ed è diretto verso la concavità,

il corpo tenderà ad andare diritto, ma \(a_{\mathrm N}\) cambia la direzione del moto (velocità), mentre \(a_{\mathrm T}\) è legato alla variazione del modulo di \(\vec{v}\)

Da x(t) mi ricavo t e si ha

t = x_x / v_i cosθ

e sostituendo questa espressione in x(t) si trova L’EQUAZIONE DELLA TRAIETTORIA (PARABOLA)

y(x) = x tgθ - _gx² / _2vi²cos²θ

La parabola interseca l’asse x in

con (1) y(x) = 0

(2) x_G = GITTATA

x_G = v_i² cosθ senθ / g = x_f

dove x_H è H

dove x_H è la posizione in cui le punto sorvola alla massima altezza

Per cui H = ALTEZZA MASSIMA

In x_H si ha che y_H = 0 ( dy / dx = 0) per cui

y_H = y(x_H) = _vi²sen²θ / _2g

Il TEMPO DI VOLO , tempo in cui le punto percorre tutta la traiettoria

t_G = x_G / x_f - 2t_H dove t_H è il tempo che le punto ci mette ad arrivare alla altezza max.

GITTATA MASSIMA

dk_G / dθ = 0 => θ = 45° => x_GR = v_i² / g

Per cui:

• Il tempo di salita è uguale al tempo di discesa
• La velocità al suolo è uguale a quella iniziale
• v_(xH) = v_o