CINEMATICA

CINEMATICA

Parte mecc. con cui introdurre strum. mot. x descrivere moto

• Corpo generico -> 6 gradi libertà (6 lonq)
• estensione
• piano rigido -> punto
• poli deformabile -> più gradi di libertà

Corpi infinitesimi rispetto ad un sistema di riferimento 3 gradi di libertà (traslazione x,y,z)

CINEMATICA/DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

oggetti non ha estensione. Applica ndo forze come possibile moto ma massa.

Misurare posizione pt. materiale in f(x) tempo

traiettoria -> luogo dei punti accupati success dal punto in mov

MOTO RETTILINEOstudiare 1 sola dimensione

si svolge lungo una retta

• traiettoria
• luogo pt occupati

un'origine e un verso nello spazio chiamato moto

• legge orario -> come posizione dip dal tempo

X = X_(t)

la posiz punto in fun del tempo

FUNZIONE ANALITICA

v_M = ^ΔX_i/_ti

v_inst = lim ^∆X/_{∆t ->0} = X ^(t)

variazione di posizione lungo farest

Vel identità

Cambio in maniera continua

CINEMATICA

parte mecc. con cui introdurre strum. mat. x descrivere moto

• corpo generico 6 gradi libertà (6 loni): estesa rigida profonfera involuta + rotore
• più deformabile più gradi di libertà

corpi punti: rispette ad un sistema di riferimento 3 gradi di libertà (traslazione X/Y/Z) posizione in funzione del tempo

CINEMATICA/DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE

oggetto ha no estensione spaziale ma ha massa

• misurare posizione pt materiale in funz del tempo

trajettoria => luogo dei punti occupati success dal punto in mov

MOTO RETTILINEO

1/3 del dimensionale

• si svolge lungo una retta nelle finale traiettoria - luogo pt occupati
• verlaqua finati - un origine e un verso nell'spazio definito moto
• leggi orario → come posizione dip dal tempo

x = x(t) posizione punto in funz del tempo

FUNZIONE ANALITICA

V_m = Δx / Δt = x₂ - x₁ / t₂ - t₁

V_ist = lim Δt → 0: Δx / Δt = x'(t) variazione di posizione lungo tavera

punti interpolazione del nodo

x(t) = V_o cost caso particolare MOTO RETTILINEO UNIFORME

moto legge oraria posiz -> si può ricavare legge oraria vel

LEGGE ORARIA VEL

V(t) = dx/dt

dx integrale indefi di 1

ad ogni ist. motivo integrale

devi spazio compresso pezzoni

da vel si può ricavare

posizione

x(t) -> x(0) + int₀^t V(t') dt'

posiz t₁^finale = x₀ + int₀^t_1t V(s) ds

pt di t -> funzione integr

potenziale ->

CONDIZIONE INIZIALE DEL MOTO

necessaria per ricavare x(t)

x(t) = x(t_o) + int_to^t V(t') dt'

caso vel cost -> x(t) = x(o) + int_o^t**(a**t') dt' = x(0) + V_t integr o + x(0) integr 0

= x_o + V_o * [t - t_o] trasf tempo!

se t_o!=0

LEGGE ORARIA ACC

a(t) = dV(t)/dt

du?

dv = a(t) dt du

b V(t) - V(0)/dv = int a(t') dt'

integr t_o^t

V(t) = V(0) + int₀^t a(t') dt'

LIMITE per

velocità

x(t_o) = asse x con direzione e origine

• = 3m sull'c
• asse x - determina unica traiettoria
• ampo raggiung
• verso -> -> O

QUANTO VARIA VEL IN LIM NEL TEMPO

LEGGE ORARIA ACC.

a(t) = dV(t)/dt

velocita

V(t) = V(0) + int₀^t a(t') dt'

= V_o + aT

[_acc t ]_cost

X_o Xt

posiz varia lineare nel tempo

DESCRIZIONE VETTORIALE MOTO

VETTORE - grandezza che fornisce:

• numero/modulo
• direz
• verso

Due vett sono ≤ali se proprietà coincidono.

grandezze vettoriali → è rilevante avere direzione e verso

se nei costi → vettore vel e cost non cambiano modulo, direz, verso

OPERAZIONE CON I VETTORI (dal pt vista grafico)

SOMMA

metodo parallelogrammo

^a₊^b = √(^a2₊^b2)

differeza: sottrazione

tipo de vet

^a_-^b = (√^b2)

es. ²_a = ^a₊^d

elevanto: opposto _a + (_-^a) = 0

stessa direz stessa notifica verso opposto

Separare le 3 caratt vettore

• MODULO |_v| valore
• Vettore di modulo unitario VERSORE
• Versore u^{^} = 1/V v_x = x/|_v|
• Direzione
• Verso

Differsolo da 0 del modulo |_v|√3 = √3/3 û

3D

3 versori per ogni dim spazio

Con modulo unitario possono essere espr. con coord. cont.

x(t) = x(t) î_x + y(t) ĵ_y + z(t) k̂_z      = √(x(t)) vet/

vettore part.

OPERAZIONI

• v  =  v_x î_x + v_y ĵ_y + v_z k̂_z     vettore generico
• w ^{>>= v_x î_x + v_y ĵ_y + v_z k̂_z}
• u*w     = (v_ix î_x + v_y ĵ_y + v_z k̂_z) (v_ix î_x + v_y ĵ_y     + v_z k̂_z) somma singole comp.

Seguito di 'modulo di vettore': |

VERSORE u(î_x + ĵ_y     + cos_z k̂_z)=

MODULO VETTORE SPOST trovato.     |_r| = √(x₁ + y₁ + z₂)

V_x i_x + V_y i_y + V_z i_z

V = √(V_x² + V_y² + V_z²)

2 dimensioni (1 comp = 0)

• cos α = V_x/V
• cos γ = V_y/V
• cos² α + cos² γ = 1

3 dimensioni

• cos α = V_x/V
• cos β = V_y/V
• cos γ = V_z/V
• cos² α + cos² β + cos² γ = 1

μ_v = V_v/|V| = Î_v/|Î| = Î_v^u direttore

|V| = 1/|V|^u

V(t) = dx/dt = dr(t)/dt

drv = rv(t + Δt) - rv(t)

d(t) = x(t)_i + y(t)_j + z(t)_k

d

d(t) = dx(t)_i + V_y(t)_j + V_z(t)_k

d(t) = dx(t)_i + x(t)_d+

d(t) = dx(t)_i + dy(t)_j + dz(t)_k

V = V₁(t)_i + V₂(t)_j + V₃(t)_k

x(t) = dx(t)_i

d(t) = du(t)_l + x(t)_d

moto rettilineo

moto circolare

V(t) = V_x(t)_i

V(t) = dV(t)_x + dr(t)_d

scalare

d(t) = x(t)

* MOTO RETT. UNIF. ACC.

\(\vec{a}(t)=d_o\hat{i}_x\)

COST.

\(a_x(t)=d_o\)

LEGGE ORARIA VEL.

\(\vec{v}(t)=v_x(t)\hat{i}_x\)

\(V_x(t)=V_x(O)+∫_O^t a_o dt\)

= \(V_x(O)+d_o t\)

se acc. cost. → vel cresce con il tempo

LEGGE ORARIA POSIZIONE

\(\vec{r}(t)=x(t)\hat{i}_x\)

\(x(t)=x(O)+ ∫_O^t ψ(t') dt'\)

=\(x_O+V_x(O)t+\frac{1}{2} d_o t^2\)

\(x(t)=x_O+V_ot+\frac{1}{2} a_ot^2\)

\([X(O)=x_O\]

\([V(O)=V_o\]

\[V(t)=V_o+a_ot\]

\[a(t)=d_o\]

{

• \(x_O>0\)
• \(V_o>0\)
• \(d_o>0\)

nel tempo

{

• \(x_O>0\)
• \(V_o>0\)
• \(d_o più

  rapido, v cambia oltre z

  MOTO CIRCOLARE

  - uso sint. rif. in coord. polari r e ψ

  Polo cen. t

  r coordinata radiale

  ψ coordinato angolo

  P(

  = ξ(t)

  y

  R = √ξ₂ + y₂

  tg ψ = y

  ξ = rcosψ

  y = rsin ψ

  t =

  )

  =

  r = r(t) = R

  ψ = ψ(t) = ξ(t)

  (x, y) (r, ψ)

  cost. base coordin x

  descrizione

  moto

  )

  = v

  (t) = d

  θ = v(t). R

  dt

  dψ

  mot. angolo

  dt

  d

  v(t) dψ

  dt dt

  dt2

  a(t) =

  d 2

  s = αR. c’

  anch

  m N

  a_N =

  v2

  r = ω2R

  particolare

  v = cost.

  modulo vel. costante

  du = ω2

  ds = v₀ t + u0t

  a = 0

  (perchè v_el =

  costante)

  a_N =

  w2R

  MOTO CIRCOLARE

  s(t) = θ(t) . R

  v(t) = ω(t) R

  a_t(t) = α(t). R

  a_n(t) = ω2R

  w = d

  u

  dt

  α = d

  ω

  df

  ω = α . t