Cenni matematica finanziaria

Funzione di produzione di Cobb-Douglas

f(x,y) = β * x^a * y^1-a

x = capitale

y = lavoro

f^o = omogenea di grado 1

Le aziende che hanno una produzione, che si può esprimere con questa funzione, dove x e y rappresentano due fattori produttivi principali, hanno rendimenti di scala costanti. Se raddoppiamo i fattori produttivi impiegati come produzione, otteniamo esattamente il doppio della produzione originaria, se triplichiamo avremo il triplo della produzione, ecc...

Cenni di Matematica Finanziaria

La matematica finanziaria studia i criteri per la valutazione di importi monetari che si trovano a scadenza diversa [€500 oggi ≠ €500 tra due anni], in generale studia quindi le operazioni finanziarie. Un operazione finanziaria è un qualsiasi contratto (o accordo) che dà origine allo scambio tra somme di denaro riferite ad epoche diverse. Un'operazione finanziaria può essere semplice se sono coincidenti due scadenze, o complessa se sono coincidenti più scadenze. L'esempio: inserisco €5mila tra 2 anni euro €5mila+interessi=maturati, complessa effettua o mutuo ogni tot devo pagare la rata.

INTERESSE

t₁ → t₂ "Asse dei tempi"

C M

• C = capitale iniziale o capitale all'epoca t₁ (con t_o si indica "oggi il tempo presente")
• M = capitale finale o montante all'epoca t₂
• I = M - C, interesse

• M > C → focalizzazione: possibilità economica
• Ipotesi di comportamento razionale degli agenti
• Variamo con Inter... il momento...
• Capitale mon... investimento minimo

SCONTO

C - CAPITALE FINALE all'epoca t2VA - VALORE ATTUALE all'epoca t1S = C - VA ^SCONTO

VA < C →

• fondamentali postulati economici
• ipotesi di comportamento razionale degli agenti

CAPITALIZZAZIONE - ATTUALIZZAZIONE

• CAPITALE - INTERESSE - MONTANTE
• VALORE ATTUALE - SCONTO - CAPITALE

LEGGI FINANZIARIE DI CAPITALIZZAZIONE

Dato una funzione, non è detto che questa sia adatta per le operazioni di capitalizzazione e attualizzazione: deve rispettare alcune condizioni.

Nonostante le condizioni da rispettare, infinite sono le funzioni possibili.

Le funzioni atte a definire il montante M(t) accumulato al tempo generico t da un capitale iniziale C, si dicono LEGGI FINANZIARIE DI CAPITALIZZAZIONE

M(t) = F (C, t)

Condizioni che la funzione deve rispettare

1. F(C, t₂) ≥ definito per ogni C ≥ 0 e per ogni t₂ ε intervallo [0, T]
2. F(C, 0) = C per ogni C ≥ 0
3. t₁ ≤ t₂ → F(C, t₁) ≤ F(C, t₂)
4. F(C₁ + C₂, t) = F(C₁, t) + F(C₂, t)

es oggi € 3750 dopo tre mesi € 3942 ? i(t) e d(t)

i(t) = _M-C/^C = _3942-3750/³⁷⁵⁰ = 0,0512 = 5,12%

d(t) = _M-C/^M = _3942-3750/³⁹⁴² = 0,0487 = 4,87%

RELAZIONE TRA TASSO DI INTERESSE E TASSO DI SCONTO

Periodicità del tasso di interesse:

• tasso mensile: 1 mese
• tasso trimestrale: 1 trimestre
• tasso quadrimestrale: 1 quadrimestre
• tasso semestrale: 1 semestre
• tasso annuale: 1 anno
• tasso biennale: 1 biennio

REGIMI FINANZIARI DI CAPITALIZZAZIONE

I principali fattori di montante si rappresentano matematicamente mediante tre diverse tipologie di funzioni, caratterizzate dal parametro k:

• FUNZIONI AFFINI → f_t(t) = 1 + kt ↔ è una retta
• FUNZIONI ESPONENZIALI → f_t(t) = e^kt
• FUNZIONI IPERBOLICHE → f_t(t) = ₁/^1-kt

con k > 0 e R. Il parametro k è legato al tasso di interesse caratteristico della capitalizzazione. A un dato valore di k corrisponde una ben determinata funzione di montante che caratterizza una legge di capitalizzazione.

t = 0,96 anni → 0,96 ∙ 12 = 11,52 → 0,52 ∙ 30 = 15,6 → 11 mesi e 15 giorni

t = _d/^1-d

_t/¹ = 0,92 → 0,92_0,08 = 0,12869 → 8,03 %

CONFRONTO TRA FATTORI DI MONTANTE DEI REGIMI A INTERESSE SEMPLICE, COMPOSTO E ANTICIPATO

• INTERESSE SEMPLICE
• INTERESSE COMPOSTO
• INTERESSE ANTICIPATO

A parità di capitale iniziale, indipendentemente dall’interesse, dopo un anno (t=1) essi

donano lo stesso montante. Per tempi inferiori a un anno, l’interesse semplice

dà montante maggiore di quello composto, che sarà maggiore di quello anticipato.

Per tempi superiori a un anno, l’interesse anticipato dà montante maggiore di

quello composto che sarà maggiore di quello semplice.

REGIMI FINANZIARI DI SCONTO

• REGIME A SCONTO SEMPLICE O RAZIONALE: regime coniugato a quello della capitalizzazione semplice.

  VA₌C_/(1+t_i)

  g(t)₌1_/(1+t_i) → FATTORE DI SCONTO RAZIONALE

• REGIME A SCONTO COMPOSTO: regime coniugato a quello della capitalizzazione composta.

  VA₌C(1+t_i)^_t

  g(t)₌1_/(1+t_i)^_t → FATTORE DI SCONTO COMPOSTO

• REGIME A SCONTO COMMERCIALE: regime coniugato a quello della capitalizzazione a interesse anticipato.

  VA₌C(1-dt)

  g(t)₌(1-dt) → FATTORE DI SCONTO COMMERCIALE