Cartografia numerica

Capitolo 1 - GEODESIA

Movimenti della Terra: La Terra è un corpo celeste che fa parte del sistema solare e avvolge la massa limitata da una superficie chiusa denominata litosfera. I movimenti della Terra sono numerosi ma certamente i più importanti e più interessanti per gli studi geodetici sono la rotazione attorno all’asse polare e la rivoluzione attorno al sole. Il primo si realizza in un giorno siderale (pari circa a 24 h), il secondo si realizza in un anno siderale (= 365 giorni descrivendo un’orbita) chiamata eclittica. Tra gli altri movimenti: precessione equinozi, migrazione poli.

Forze di gravità, Equazione del geodete: Sulla Terra esiste una direzione vol immediato individuale strumentale, denominata verticale si definita velocemente dalla direzione della forza di gravità nel generico punto e risulta sempre ortogonale al piano orizzontale, direzione e verso.

Poche essa viene identificata attraverso il filo a piombo, risulta insorte generato pensare che esista una superficie di riferimento ad essa collegabile; superficie di riferimento che non modifica minimamente la reale forma della Terra visto e considerato che le più importanti asperità terrestri non superano quasi mai i 10 km (trascurabili rispetto ai 6000 km del raggio terrestre).

Ebbene lo scopo della geodesia è proprio la ricerca di questa superficie di riferimento, il cui studio viene effettuato substituendo le forze seguirli in un generico punto della superficie terrestre.

Si osserva che il vettore g in un punto può essere considarato come somma delle diverse forze conseguenti ai diversi movimenti terrestri totali: a contributi preparati derivati sono quelli dell’attrazione newtoniana e della forza centrifuga.

Adesso sappiamo che l’attrazione newtoniana è regolata da una legge: la legge di attrazione newtoniana la quale afferma che: una massa M₁ concentrata in un

punto a e punto a distanza d da un punto P in cui si suppone concentrata la massa m₁, esercita su quest'ultima una forza F diretta secondo la congiungente i punti a e P pari a:

F = G · m₁m₂/d²

Per la Terra questa formula non è direttamente applicabile perché non è possibile considerare la sua massa concentrata in un solo punto. Ma se decomponiamo tale massa in tanti elementi infinitesimi dm, la forza di attrazione che ogni elemento dm esercita sulla massa m₁ posta in P sarà data da:

dF = G · dm·m₁/d²

Le masse legate alla Terra sono sottoposte, inoltre, all'azione della forza centrifuga. Il moto rotatorio causa un'accelerazione centrifuga espressa da A c.w.r.

Ogni elemento di massa m viene, quindi, sottoposto ad una forza centrifuga data da F = mw ovvero da F = mA

Definita quindi la forza di attrazione newtoniana e la forza centrifuga, si può quindi definire la forza di gravità g come la risultante delle due forze sopra citate, ovvero come:

g = F_t + F_c

Composizione delle forze di gravità

(rappresentazione grafica)

Sulla Terra però esiste un ben determinato valore di g, pertanto si può dedurre che la gravità costituisce un campo di forze conservativo, assumere quindi un potenziale le cui linee di forza sono tangenti in ogni loro punto alla direzione del campo.

Campo conservativo: Campo di forze in cui il lavoro fatto per spostarsi da un punto ad un altro non dipende dal tragitto ma dagli stati iniziale e finale.

Lo sferoide mostra è una superficie di rotazione molto simile ad un ellissoide purche presenti gli stessi valori di a e c. Infatti, partendo dalla generica equazione dell'ellissoide:

^x₂/a² + ^y₂/b² + ^z₂/c² = 1

si arriva all'espressione dello sferoide data prima.

Conoscenza del campo della gravità:

Le semplificazioni introdotte per passare ad una superficie di riferimento più semplice (l'ellissoide) sostituiva del geoide, non devono meravigliare perché lo scopo non è di determinare il geoide bensì quello di determinare una superficie utilizzabile per i rilievi topografici, anche se bisogna comunque dire che nella reale applicata la posizione del geoide viene determinata misurando gli scostamenti dell'ellissoide.

Il problema della determinazione del campo della gravità Terrestre più essere semplificato se si tiene conto che la Terra, con buona approssimazione, più essere considerata un ellissoide di rivoluzione. Con questa ipotesi, è possibile suddividere il campo gravitazionale Terrestre in una parte di riferimento norm le ed una di disturbo che rappresenta la deviazione del campo gravitazionale da quello normale. Si ha quindi che W(p) = U(p) + T(p) , cioè che:

potenziale effettivo W(p) =

potenziale normale U(p) + potenziale anomalo T(p)

In particolare, avendo definito "geoide" la superficie equipotenziale a valore W: W₀ passante per il livello del mare, si chiama "ellissoide a riferimento" quella superficie equipotenziale del campo normale avente U₀ = W₀ costante.

A causa delle relative semplicazioni, è usato comunemente come sup. di riferimento per definire una rete geodetica e qualunque punto dello spazio di cui siano definite la latitudine, la longitudine e la quota.

Teorema di Eulero:

1 / R_c = cos²α / ρ + sen²α / N

Inoltre, il Teorema di Meusnier dimostra che se si considera una generica sezione obliqua di una superficie, il raggio di curvatura è uguale a quello della sezione normale (nel punto considerato, la quale la sezione obliqua ha tangente in comune) moltiplicato il coseno dell’angolo formato dai 2 piani.

Ovvio anche: r = Ncosφ (Teorema di Meusnier)

Perché lav max. diff. tra N e ρ (si riscontra all’equatore) è dell’ordine di 10^-2 ***** e tenuto conto che ½ R _w sempre valore compreso tra ρ ed N, si deduce che *****

l’ellissoide nell’interno dell’invece sia discosta, poco da una sfera scevra nel *****;

per R la media tra ρ ed N cioè *****:

R_w = √ρ - N

Questa sfera viene detta sfera locale e tangente all’ellissoide e proprio non ***** gli si discosta molto può essere comodamente vista per molti calcoli in

sostituzione dell’ellissoide.

Linee geodetiche:

La linea geodetica è la linea di lunghezza minima che congiunge due punti qualsiasi dell’ellissoide.

Essa gode della proprietà che in ogni suo punto la normale alla superficie coincide con la normale principale. (Proprietà)

• a) Coordinate geodetiche polari (s, α): la lunghezza s dell’arco di geodetica AP e l’angolo α formato dal la tangente alla geodetica e da quella il meridiano.
• b) Coordinate geodetiche rettangolari (x,y): si considera la geodetica per P, insieme al meridiano per Q che lo interseca in Q; le coordinate *****

stessi lati di quello sferico, si possono derivare dagli angoli di quest'ultimo

sottraendo a ciascuno un terzo dell'eccesso sferico

Si dimostra che l'area del Triangolo sferico, a meno di errori nell'ordine

di (R⁵), si può calcolare con le formule della Trigonometria piana ri-

vedosi ad un Triangolo avente come lati quelli del Triangolo sferico e

come angoli quelli depurati di 1/3 dell'eccesso.

• Rivedere:

1. Potenziali delle forze di attrazione newtoniane e centrifuga;
2. Definizioni di sezione normale e raggi di curvatura;
3. Coordinate geodetiche polari e rettilineari. Triangolo geodetico;
4. Eccesso sferico obliquo. Teorema di Legendre.