Carattere delle serie numeriche, Analisi matematica

Criteri di convergenza per le serie a termini positivi

Criterio del rapporto

Sia una successione tale che {a_n > 0} definitivamente per n → +∞. Se esiste q ∈ (0, 1) tale che a_n+1/a_n ≤ q definitivamente per n, allora la serie ∑_n=0^∞ a_n converge.

Se a_n+1/a_n ≥ 1 definitivamente per n ≥ 1, allora la serie ∑_n=0^∞ a_n diverge.

Dimostrazione

Supponiamo che a_n+1/a_n ≤ q, con q ∈ (0, 1), per n > n₀. Allora, se n > n₀, la sequenza rispetta la proprietà di essere minore di q.

Quindi si ha: a_n < a_n-1q < a_n-2q² < ... < a_n0q^n-n₀.

La serie ∑_n=0^∞ a_n0q^n-n₀ è una serie geometrica di ragione q < 1, quindi converge.

Il termine generale di una serie che converge è tale che a_n ≤ a_n+1. Quindi, la serie ∑_n=0^∞ a_n converge se e solo se converge anche la serie di confronto:

Supponiamo che a_n+1/a_n ≥ 1 definitivamente per n, allora lim_n→+∞ a_n+1/a_n ≠ 0 e la successione è definitivamente crescente. Se la serie non converge, dato che non è una serie a termini positivi, allora diverge. ■

Corollario del criterio del rapporto

Sia una successione tale che {a_n > 0} definitivamente per n → +∞. Se lim_n→+∞ a_n+1/a_n = L ∈ R, allora:

• Se L < 1, la serie ∑_n=0^∞ a_n converge.
• Se L > 1, la serie ∑_n=0^∞ a_n diverge.

Osservazione: Se L = 1, non si può concludere nulla sulla convergenza o divergenza della serie.

Criterio della radice

Sia una successione tale che {a_n ≥ 0} definitivamente per n.