Carattere delle serie numeriche, Analisi matematica

Criterio del rapporto

Sia una successione {a_n} di termini positivi. Se esiste un numero q < 1 tale che per n sufficientemente grande si abbia:

a_n+1 < q * a_n

Allora la serie ∑ a_n converge.

Se invece non esiste un numero q < 1 che soddisfa la condizione sopra, allora la serie diverge.

Dimostrazione:

Supponiamo che per ogni n > n₀ si abbia:

a_n+1 < q * a_n

Dove q < 1 (e quindi qⁿ → 0 per n → +∞).

Allora, per n > n₀:

a_n < q^n-n₀ * a_n0

La serie ∑ a_n < ∑ q^n-n₀ * a_n0

La serie ∑ q^n-n₀ è una serie geometrica di ragione q, quindi converge.

Il termine generale di una serie che converge tende a 0.

converge se e solo se converge+a 1 an nn=0 n=0(stessa cosa per il criterio del confronto in quanto abbiamo maggiorato il termine generale della nostra serie con il termine generale di una serie che è convergente).+1aSupponiamo che definitivamente per , allora ≥ 1 n →+∞an(si ottiene moltiplicando entrambi i membri per a ≥ a+1n n nlim a ≠ 0), è definitivamente crescente (il limite non{a } nn n →+∞può essere 0).Se la serie non converge, dato che non è una serie a termini positivi, allora diverge. □Negli esercizi utilizziamo il corollario del criterio del rapporto.Sia una successione tale che , definitivamente{a } >0an nper .n →+∞lim a n+1Se , allora:→+∞∃ =L∈ Ra n + ∞∑Se , allora la serie converge. L<1 a nn=0+ ∞∑Se , allora la serie diverge. L>1 a nn=0Osservazione:Se , non si può concludere nulla sulla convergenza oL=1divergenza della serie.

serie.[Esempi di esercizi svolti su carta].

Criterio della radice

Sia una successione tale che , definitivamente{a } a ≥ 0n nper .n →+∞

Se tale che e , definitivamente per√n∃q ∈ <1R 0<q a ≤qn,n →+∞ + ∞∑allora la serie converge.a nn=0 + ∞∑

Se , definitivamente per , allora la serie√n n →+∞ aa ≥1n nn=0diverge.

Dimostrazione

Supponiamo che esista tale che ,√n( )∈q 0,1 a ≤qndefinitivamente per . Allora , definitivamentenn →+∞ <a qnper .n →+∞ + ∞∑

Dato che la serie (serie geometrica di ragione 0 < qnqn=0 + ∞∑< 1) converge, per il criterio del confronto, anche a nn=0converge.

Sia , allora , definitivamente per .√n n n →+∞a ≥1 a ≥ 1n nlim a ≠ 0

Allora se , la serie non converge, quindi può solonn →+∞divergere. □

Negli esercizi utilizziamo il corollario del criterio delrapporto.

Sia una successione tale

che convergono semplicemente ma non assolutamente. Per studiare la convergenza di una serie con termini di segno variabile, possiamo utilizzare il criterio del confronto. Criterio del confronto: Siano {a_n} e {b_n} due successioni non negative. Se esiste un intero N tale che per ogni n >= N si ha a_n <= b_n, allora: - se la serie di {b_n} converge, allora la serie di {a_n} converge; - se la serie di {a_n} diverge, allora la serie di {b_n} diverge. Possiamo anche utilizzare il criterio del confronto asintotico. Criterio del confronto asintotico: Siano {a_n} e {b_n} due successioni non negative. Se esiste un intero N tale che per ogni n >= N si ha a_n/b_n = L, dove L è un numero reale positivo finito, allora: - se la serie di {b_n} converge, allora la serie di {a_n} converge; - se la serie di {a_n} diverge, allora la serie di {b_n} diverge. Infine, possiamo utilizzare il criterio del rapporto. Criterio del rapporto: Sia {a_n} una successione non negativa. Se esiste un numero reale positivo L tale che per ogni n >= N si ha a_(n+1)/a_n <= L, allora: - se L < 1, la serie di {a_n} converge; - se L > 1, la serie di {a_n} diverge; - se L = 1, il criterio non fornisce informazioni sulla convergenza o divergenza della serie. Ricorda che questi criteri sono validi solo per serie a termini non negativi. Per serie con termini di segno variabile, è necessario utilizzare il criterio del confronto o il criterio del confronto asintotico.

checonvergono semplicemente ma non convergonoassolutamente.

Ricorda: se una serie è a termini positivi, convergenzasemplice e convergenza assoluta sono la stessa cosa.

Osservazione: se vogliamo studiare la convergenzaassoluta di una serie possiamo utilizzare i criteri che