Campi vettoriali e trasformazioni

Campi vettoriali e trasformazioni

Concetti fondamentali

Nell'elettromagnetismo le espressioni vettoriali di solito sono tali che i coefficienti dei versori contengono le variabili. L'espressione muta quindi intensità e direzione punto per punto, in tutta la regione interessata. Consideriamo per esempio il vettore:

E = -xa_x + ya_y

Sostituendo nell'espressione, dei valori ad x ed y, troviamo E nelle varie collocazioni. Dopo avere esaminato un certo numero di punti, l'andamento risulta evidente. Il campo è quello di fig.

Un campo vettoriale può anche variare rispetto al tempo. Al campo bidimensionale appena visto potremmo allora assegnare una variazione rispetto al tempo, così:

E = (-xa_x + ya_y) sin ωt
o anche
E = (-xa_x + ya_y) e^jωt

I campi elettrici e magnetici che esamineremo sono tutti variabili nel tempo: e come è naturale, saranno tutti derivati e integrati rispetto a questa grandezza. Ma saranno operazioni naturali, e raramente presenteranno difficoltà.

Le trasformazioni

In qualsiasi problema il vettore, o il campo vettoriale, è qualcosa che esiste nel mondo fisico: il sistema di coordinate in cui lo si esprime è un semplice riferimento, ma se lo scegliamo oculatamente finiremo con l'ottenere una più diretta soluzione del problema, e un'espressione finale concisa, che mostra la simmetria presente. Talvolta può risultare necessario trasformare un campo vettoriale da un sistema di riferimento ad un altro.

Esempio 1

Consideriamo:

A = 5r_a + 2 sin φ θ_a + 2 cos θ φ_a

in coordinate sferiche. Le variabili r, θ, φ potranno essere trasformate in cartesiane applicando i fondamenti della trigonometria. Si ha:

• r = √(x² + y² + z²)
• cos θ = z / √(x² + y² + z²)
• tan φ = y / x

Adesso le componenti sferiche del campo vettoriale A possono essere scritte in funzione di x, y, z:

A = 5√(x² + y² + z²) r_a + (2y / √(x² + y²)) θ_a + (2z / √(x² + y² + z²)) φ_a