Gruppi campi

Gruppi

Sono note allo studente alcune operazioni elementari sugli insiemi numerici; ad esempio l’addizione e la moltiplicazione su N, Z, Q, R, C. Ciò che tali operazioni hanno in comune è il seguente fatto: ad ogni coppia di numeri viene associato un altro numero (il risultato dell’operazione). Questa semplice osservazione è alla base della seguente definizione di operazione su un insieme.

Definizione 1.

Sia A un insieme non vuoto. Sia

A × A = {(a, b), ∀a ∈ A, ∀b ∈ A}

il prodotto cartesiano di A per se stesso. Ogni applicazione

* : A × A → A

è detta operazione su A. L’operazione * associa quindi ad ogni coppia (a, b) ∈ A × A la sua immagine *(a, b), che, per semplificare le notazioni, denoteremo con a * b. L’operazione * è detta:

• associativa, se risulta:

  a * (b * c) = (a * b) * c, ∀a, b, c ∈ A;

• commutativa, se risulta:

  a * b = b * a, ∀a, b ∈ A.

Inoltre:

• (iii) l’operazione * ammette elemento neutro e ∈ A, se risulta:

  a * e = e * a = a, ∀a ∈ A;

• (iv) l’operazione * ammette reciproco (o opposto o inverso) di ogni elemento se verifica (iii) e se per ogni a ∈ A esiste a' ∈ A [dipendente da a] tale che

  a * a' = a' * a = e.

Esempio 1.

È evidente che l’addizione e la moltiplicazione sono operazioni su N, Z, Q, R, C verficanti le proprietà (i), (ii), (iii) [con 0 elemento neutro dell’addizione e 1 elemento neutro della moltiplicazione]. Relativamente alla proprietà (iv) si osserva subito che: