Campi elettrici di particolari simmetrie

Campi elettrici di particolari simmetrie

Distribuzione di carica su filo infinito

Consideriamo inizialmente un filo con una distribuzione lineare costante, λ. I singoli campi elettrici saranno ortogonali al nostro filo. Per calcolare il campo elettrico totale sfruttiamo il teorema di Gauss e la prima equazione di Maxwell per la definizione del flusso del campo elettrico. Per semplificare la situazione, disegniamo un cilindro avente una sezione del filo come asse passante per le due basi. Il flusso del campo elettrico totale sarà:

❑ ❑∬ ∬⃗ ⃗ ⃗ ⃗+E ∙ d S E ∙ d S
Superficie laterale Superficie di base

Ma i vettori superficie delle due basi sono perpendicolari rispetto al vettore campo elettrico, quindi non danno nessun contributo. Nel primo integrale, dato che il vettore campo elettrico è costante e parallelo al vettore superficie sempre (la distanza da ciascun punto della superficie laterale dal filo è la stessa per tutti i punti), esso andrà fuori, risultando:

❑ ❑∬ ∬⃗ ⃗ =⃗ ⃗ ⃗= =Φ E ∙ d S E d S E 2 πrh⃗E
Superficie laterale Superficie laterale

Applichiamo ora il teorema di Gauss alla distribuzione di carica su filo infinito:

❑Q 1 ∫tot= =Φ λdl⃗E ε ε0 0 L

Ma lambda è costante per ipotesi, quindi va fuori dall’integrale sulla linea L, che a sua volta è uguale all’altezza h del cilindro, combinando all’equazione di prima avremo:

λh λ⃗= E 2 πrh→∨E∨¿ε 2 πr ε0 0

Si intende il modulo del campo elettrico perché è uguale per ogni punto della superficie. Se si vuole indicare il vettore va messo il versore corrispondente.

Distribuzione di carica su superficie

Consideriamo adesso un piano carico con una distribuzione sempre costante (cambierebbe l’integrale altrimenti, stessa cosa con gli altri casi). Ipotizziamo che questo piano secchi in due parti uguali un cilindro trasversalmente. Ciascun vettore campo elettrico è perpendicolare alla superficie, quindi in questo caso l’integrale corrispondente alla superficie laterale non dà contributo (il cilindro è secato ortogonalmente), risultando il tutto:

❑ ❑∬ ∬⃗ ⃗ ⃗| |=2 =2 =2∨E∨AΦ E ∙ d S E d S⃗E
Superficie di base Superficie di base