Campi elettrici di particolari simmetrie

Il due davanti sta a indicare che le basi coinvolte sono due, e ci troviamo,

facciamo lo stesso ragionamento di prima anche qui con il teorema di Gauss.

Indichiamo con A l’area di base.

❑ ❑

Q 1 σ σ

∬ ∬

tot

= =

Φ σdS= dS= A

⃗

E ε ε ε ε

0 0 0 0

Superficie Superficie

Quindi, combinando:

σ σ

| | | |

=

A=2 E A → E

ε 2 ε

0 0

Valgono le stesse considerazioni di prima.

Distribuzione sferica

In questo caso, ci sono due modi per calcolare la distribuzione, consideriamo

per primo quello in cui si fa uso di una sfera con un raggio minore rispetto a

quella di cui si vuole calcolare la distribuzione. Considerando sempre una

distribuzione uniforme e un vettore campo elettrico sempre parallelo al vettore

superficie:

❑ ❑

∯ ∯

⃗ ⃗ 2

| | | |

= =

Φ E ∙ d S E dS= E 4 π r

⃗

E Superficie totale Superficie totale

❑ ❑

Q 1 ρ 4

∰ ∰

tot 3

= = = = (R )

Φ ρdV dV ρπ o r

⃗

E ε ε ε 3 ε

0 0 0 0

V V

Con V = volume della sfera.

R se r > R, r se r < R. 3 3 ⃗

)

ρ(R o r ρ R r

4 ⃗

2 3

| | | | =

= (R ) = E

E 4 π r ρπ o r → E , o in forma vettoriale (r > R) o

3

2

3 ε 3 r ε

3 r ε

0 0

0

⃗

ρ r

⃗ =

E (r < R).*

3 ε 0

Se moltiplico e divido l’equazione risultante per , verrà fuori:

4 π

Q tot

| |

=

E 2

4 π r ε 0

Ossia il caso più generale, in cui magari non vi è una distribuzione volumica

uniforme, con r maggiore di R. Ossia nei punti esterni il campo viene calcolato

come se la carica fosse tutta concentrata nel centro della sfera.

Per ripetere l’analisi in questo caso, ecco in cosa può essere scomposto

quell’integrale triplo curvilineo, se ad esempio rho fosse uguale a una funzione

del raggio: 2 π π R

❑

1 1

∰ ∫ ∫ ∫ 2

=

ρdV dϕ sin θ dθ ρ( r) r dr

ε ε

0 V 0 0 0 0