Appunti Campi elettrici e magnetici quasi stazionari

Matrici

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri: [ ]

3 1

[ ]

1 2 3 B=

A= −7

8

4 5 6 1 0

Più formalmente una matrice m X n a coefficienti in K è una funzione.

m = numero di righe

n = numero colonne M

L'insieme delle matrici con m righe e n colonne si indica con mentre per indicare un elemento della matrice

m ×n

a

A usa la notazione ij

I e j indicano rispettivamente la riga e la colonna dell’elemento.

Operazioni tra matrici:

• Somma

∈ ∈ ∈ =a +b

A M e B M Allora A+ B è la matrice C M tale che c

se entrambi con le stesse

m ×n m × n m × n i × j i × j i × j

dimensioni

[ ] [ ] [ ]

−2

2 3 1 3 1

+ =

−2

1 3 8 4 6

• Moltiplicazione per uno scalare

∈

A M )

tA=(t a

Se t è un numero e allora ij

m×n

[ ] [ ]

2 3 6 9

=

3 × −2 −6

1 3

Casi particolari di matrice:

(4 11−2)∈ M

Se m = 1 si parla di vettore riga

 1× 3

( )

4 ∈ M

2

Se n=1 si parla di vettore colonna

 3 × 1

1 (−9)∈ M

Se m=n=1 la matrice è “sostanzialmente” un numero

 1 ×1

Determinante matrice:

∈

A M

Ad ogni matrice a coefficienti reali è possibile associare un numero reale detto determinante di A,

m ×n m× n

generalmente indicato con DetA è possibile definire il determinante di una matrice riconducendolo a quello

¿ −1)

N−1 ×( M

di una matrice ( adottando un approccio “ricorsivo”:

∈ =a

A M detA

=( )

M a

se ovvero se , allora

11

1 ×1 11

esempio: =2

detA

A=(2)

se allora ( )

a a

=

M

∈ =a −a

A M detA × a × a

11 12

se , ovvero se , allora

2 ×2 11 22 12 21

a a

21 22

esempio: ( )

−3 1

∈

A M =

M =−3

detA ×(−2)−4 × 1=2

se , ovvero se , allora

2 ×2 −2

4

∈

A M

Sia una generica matrice quadrata di ordine n:

m ×n a M

si definisce minore complementare dell’elemento , e lo stesso si indica con , il determinante

 ij ij

della matrice ottenuta da A eliminando la riga i e la colonna j i+ j

a =( )

−1

A × M

si chiama complemento algebrico dell’elemento il numero

 ij ij ij

esempio: ( )

3 2 3

A= 1 4 1

−1

2 5 [ ]

1 4

1+3

=(−1) =

A ×det 1 ×(−1−8)=−9

13 −1

2

Rango e Algoritmo di Gauss:

L'algoritmo di gauss si basa sulle seguenti operazioni elementari tra le righe:

Scambiare 2 righe tra loro

 Moltiplicare una riga per uno scalare non nullo

 Sommare ad una riga un multiplo di un'altra riga



Soluzioni Matrice:

Se uno dei pivot si trova sull’ultima colonna b’, allora il sistema non ha soluzioni.

 Se invece ogni colonna di U contiene un pivot, però non c’è pivot sulla colonna b’ allora sistema ammette

 una unica soluzione

[U /b ]

'

Se tutti i pivot si trovano in U, ma almeno una colonna di U non contiene pivot allora il sistema

 ammette infinite soluzioni