Campi elettrici di conduttori

Distribuzione di carica su piano infinito

Data una distribuzione di carica superficiale su un piano infinito, il vettore campo elettrico è uguale a:

σ = E⃗ n / 2 ε₀

Dove n è il versore del vettore da considerare.

Confronto tra due punti A e B

Prendiamo due punti A e B a una certa distanza (diversa) dal piano. La differenza di potenziale tra A e B, se prendiamo il punto B come riferimento, può essere espressa come:

−V_A = − E ∙ dl = − E dx

Risolvendo l'integrale otteniamo:

V_A − V_B = −(x_A − x_B)σ / 2 ε₀

Se prendiamo il punto B come riferimento, in modo che V_B = 0, avremo:

V_A = −x_Aσ / 2 ε₀

Ricordiamo però che la formula generale della differenza di potenziale dice che scala sull’inverso del raggio (distanza dal piano in questo caso), quindi l’applicazione classica non è valida, in quanto andando all’infinito, vi sono pur sempre cariche (essendo un piano infinito).

Conduttori e distribuzione di carica

I conduttori sono materiali i cui elettroni sono debolmente legati agli atomi, quindi hanno possibilità di muoversi. Data una carica Q, essa si addensa sulla superficie di un conduttore, quindi ρ = 0 e σ ≠ 0.

Il flusso del campo elettrico all’interno del conduttore è nullo:

∯ E ∙ dS = 0

Questo perché, all'interno del conduttore, e dati due punti, essi avranno differenza di potenziale nulla in quanto non c’è un campo elettrico che ostacoli il movimento.

Comportamento del campo elettrico

Quando si passa da un tipo di superficie a un’altra (per esempio conduttore ad aria), il campo elettrico potrebbe essere deviato. Tuttavia, se consideriamo una linea chiusa, la circuitazione del campo elettrostatico è uguale a 0:

⃗_E1 = ⃗_E2 t t

All’esterno del conduttore, il campo elettrico è normale alla superficie, quindi la componente tangenziale del campo elettrico è sempre uguale a zero.

Analisi del flusso in un conduttore

Dato un cilindro che penetra nel conduttore, la superficie di base all’interno del conduttore avrà flusso uguale a zero poiché sta dentro. La superficie laterale avrà flusso uguale a zero perché il vettore superficie è perpendicolare al campo elettrico. Invece, la superficie di base fuoriuscente dal conduttore è uguale a:

Q / ε₀ = σ dS / ε₀

Semplificando dS, il campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore è uguale a:

σ⃗ = E n / ε₀

Questo è il teorema di Coulomb.

Conduttore sferico cavo

Prendiamo adesso un conduttore sferico cavo all’interno, con dentro una carica positiva. In questo caso specifico, il comportamento del campo elettrico e della distribuzione di carica seguiranno le stesse leggi e principi descritti, adattati alla geometria specifica della sfera cavo.