Elettrotecnica - Campi

Elettromagnetismo

Equazioni di Maxwell (forma integrale) E = campo elettrico B = campo magnetico

Legge di Faraday - Neumann - Lenz

∮_γ E ˆt dℓ = -d/dt ∬_SR B ˆn dS

La circolazione del campo elettrico è uguale a meno la derivata rispetto a t del flusso del campo magnetico.

Legge di Ampère - Maxwell

∮_Σ B ˆt dℓ = µₒ Iₓ + εₒ d/dt ∬_SX E ˆn dS

d/dt ∬_S E ˆn dS

Legge di Gauss (per il campo elettrico)

∯_S E ˆn dS = Qs / εₒ

Il flusso del campo elettrico è uguale alla carica interna e diviso εₒ.

Qs = q₁ + q₂ + q₃ + q₄ + q₅

Legge di Gauss (per il campo magnetico)

∯_S B ˆn dS = 0

Il flusso dell'induzione magnetica in una superficie chiusa è nullo (non ho cariche magnetiche).

Eq. di continuità della carica elettrica

-d/dt Qs = Iₛ

Densità di carica elettrica

Misura macroscopica di quanta carica c'è in una certa regione.

1. Distribuzione volumetrica

Sistema di riferimento: abbiamo un volume di spazio, prendo un volume V_i e la carica in un certo V_i è la carica volumetrica.

\(\rho = \frac{c}{m^3}\) → \(q = \sum_{i=1}^{N} \Delta q_{i} = \sum_{i=1}^{N} \rho_{i} \Delta V_{i} \) → \(\int \rho dV \)

2. Distribuzione superficiale

Il rapporto tra carica e superficie è detto densità superficiale di carica.

\(\sigma = \frac{c}{m^2}\) → \(q = \sum_{i=1}^{N} \Delta q_{i} = \sum_{i=1}^{N} \sigma_{i} \Delta S_{i} \) → \(\int \sigma dS \)

3. Distribuzione lineare

Considero un intervallo della curva in cui sono distribuite le cariche. Tale rapporto è la distribuzione lineare di carica.

\(\lambda = \frac{c}{m}\) → \(q = \sum_{i=1}^{N} \Delta l_{i} \) → \(\int \lambda dl \)

4. Carica puntiforme

Non è una densità di carica, si distribuisce in un punto dello spazio.

Supponiamo un flusso di carica. Quanta attraversa una sezione di tale flusso?

* le cariche hanno un moto stocastico, pertanto la loro velocità è la risultante media del loro vero moto.

Considero un Δt percorrono delle cariche con velocità V_r in un Δt c, calcolo che la densità volumetrica della carica che rientra in questo cilindro. \(V_rΔt = Δr\)

\(\psi_\rho = \psi_{\rho_0} - \frac{\lambda_0}{2 \pi \epsilon_0} ln (\frac{\rho}{\rho_0})\)

Piano con spessore 0

\(E(z) = \frac{\sigma_0}{2 \epsilon_0} \hat{\imath} z \geq 0 \)

E(z) = -\(\frac{\sigma_0}{2 \epsilon_0} \hat{\imath} z \leq 0\)

\(\psi(z) = \psi_0 + \int E \cdot \hat{\imath} dl\)

\(\psi(z) = \psi(0) + \frac{\sigma_0}{2 \epsilon_0} \cdot z \; z \geq 0\)

\(\psi(z) = \psi(0) - \frac{\sigma_0}{2 \epsilon_0} \cdot z \; z < 0\)

\(\psi = \infty\) con legge lineare

Elettrostatica in presenza di materiali isolanti o dielettrici

• Isolante = materiale senza elettroni di conduzione
• Polarizzazione in equilibrio.

L’abilità dell’elettrone di spostarsi è la base di un Dipolo elettrico (il dielettrico diviene polarizzato).

Momento del Dipolo: P = qd

[P] = C m^-1

∮_S E ⋅ n̂ ds = 0

L’azione di un campo “ordina” i dipoli:

• polarizzazione E
• l’azione del campo genera una coppia di forze

Se E = 0 il momento del Dipolo è diverso:

P = Σ( ^N_i=1 q_i d_i )

Supponendo tutti i dipoli con stesse coppie di carica:

P = media aritmetica degli spostamenti

Allora:Q_S = ∯_S P ⋅ n̂ ds

P = densità di dipolo elettrico

Dim.

Consideriamo una porzione di S:

Allora:

Elettrostatica in Dielettrici

∮_S E ⋅ t̂ ds = 0

∮_S D ⋅ n̂ ds = Q_S

Vettore spostamento elettrico

D = ε₀ E + P

C.R. 00

Legge del circuito semplice

Pensiamo questo circuito fittizio con materiale all'interno:

_γc curva del campo ellissoidale

_γm curva del conduttore

I^{^} è uguale per i tubi di flusso

Vediamo una relazione fra V ed I

V_γc = ∮_γc E^↑ t dℓ = ∮_γc E^↑ t dℓ + ∮_γm E^↑_m t dℓ = 1/σ ∮_γc I^{^} dℓ + ∫_γm (∑_{I = 0}^{I = ε̅_I}) I^{^} dℓ - ∮_γm E^↑_m t dℓ

Se prendiamo sezioni trasverse utilizzando un'asse curvilinea:

I = ∫_SE J_n m_E dS = ∑_E t A_E m_E = i^{^}

V_γc = ∫_γc J_ε t_g dℓ + ∫_γm J_ε t_g dℓ - ∫_γm E^↑_m t_m dℓ = ∫_γm (∑_{ε = ε̅m}

= ∫_γc 1/σ G_ε A_E dℓ + ∫_γm 1/σ G_m A_E dℓ - ∫_γm E^↑_m t_m dℓ = I_c 1/G dℓ + I_M 1/G dℓ - ∫_γm E^↑_m t_m dℓ =

= I ⋅ R_c + I ⋅ R_m - ε_m R_c = ∫ dℓ/(χ_cG_eA_E) R_m = ∫ dℓ/(√m G_eE) ε_m = ∫_γm E^↑_m t_m dℓ

Conduttore monofase

∑ I_in = ∑ I_out I* = ∑ ∆I_K = ∑ V_K ΔV_K = V^-2/2 dV_K = V*