Calcolo vettoriale

Vettori

Un vettore è un ente relativo descritto da un numero (modulo, non negativo), una direzione e un verso. Se ad una grandezza fisica è associabile un vettore, essa risulta matematicamente ben definita e si dice grandezza vettoriale.

Proprietà generali:

• Un vettore di modulo unitario si dice versore (â), uno di modulo 0 si dice vettor nullo (0).
• Nello spazio, dato un vettore ā, tutti i vettori EQUIPOLLENTI ad ā, cioè con stesso modulo, direzione e verso, e si ha che: b ∈ ℤ₃ ⇒ b = ā ⟺ ā e b sono equi pollenti.
• Siano A, B due pti dello spazio:Il vettore ā che congiunge da A a B B si può scrivere come B - A. Si ha inoltre che:

|ā| = √((x_a - x₀)² + (y_a - y_b)² + (z_a + z_b)²)

• La direzione è indipendente tra due vettori, se di un stesso vettore si possa essere indistintamente luomo nello spazio senza che perda di generalità. Perciò esso si dica VETTORE LIBERO.NB: Un vettore è diverso da un segmento diretto per questo motivo.

Se si parla di vettori in generale, si intende un vettore libero.

Se un vettore libero è posto con origine in un punto A, esso si dice vettore applicato al punto A => _A(^B/ _A) (A, P)

Si due vettori unitari come differenza di punti sono congruenti, si ha che:

A = B = C = D

Definizione #1

Si dice prodotto fra il vettore ā e un numero reale m un vettore di modulo |m| |ā|, direzione uguale a quella di ā e verso uguale o opposto a ā a seconda del segno di m.

Si dice parallelismo se i due vettori hanno ugual direzione

Teorema #1

Se b e ā sono vettori paralleli, si ha che:

b ║ ā <=> / ā = m ϵ R ; = mā

La dimostrazione segue immediatamente dalla definizione precedente

Poichè _Q¹ = Bᵣ-Aᵣ+(C-A)t (B'-C) = _ā₁ + _ā₂

= _ā₁+_ā₂ = _ā₁ + ℇ̄₂ + ℇ̄₃

(poiché _Q¹ si può scomporre in _ā₁+_ā₂)

Osservazione

Sia π il piano individuato da _ā₁, _ā₂ e sia

=> Si ha che _ā₃ è la componente normale

a π di _ā, mentre _ā₁, _ā₂ si dicono componenti

lungo il piano π.

Rappresentazione cartesiana dei vettori

Si consideri il riferimento cartesiano Oxyz ed i tre

vettori _ā₁, _ā₂, _ā₃ sulle direzioni

dei tre assi e siano vettori fondamentali ı̂ j ̂k ̂ i

vettori unitari nelle direzioni

degli assi cartesiani.

Si ha che: _ā_x = > ℇ_ax∈R : _āβε_ax î

_ā₂∥y = > ℇ_aⱼ∈R : _ā₂= ℇ_ⱼ j ̂ e _ā₃∥z =

> ℇ_aⱼ∈R : _ā₃= ℇ_ⱼ k ̂

Definizione: Limite per funzioni vettoriali

Si dice che sia

\(\lim_{{t \to t_0}} \underline{u}(t) = u_0 \Leftrightarrow \, \forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0 : \forall t \in (t_0 - \delta, t_0 + \delta) \, / \, {t \neq t_0}\)

\\exists t_0 \in A(I)\perché ogni\(\epsilon > 0 \, \forall t \in I\) si ha che,

\(|u(t) - u_0| \leq |u(t) - u(t_1)| < \epsilon )

Definizione:

Un vettore si dice continuo se e solo se:

\(\exists \lim_{{t \to t_0}} \underline{u}(t) = \underline{u}(t_0)\)

Definizione: Derivata della funzione vettore

\(u'(t_0) = \frac{{du}}{{dt}}|_{t = t_0} = \lim_{{t \to t_0}} \frac{{u(t+h) - u(t_0)}}{h}\)

In particolare il differenziale del vettore è definito come:

\(du = u'(t_0)dt\)

• \(\frac{{du^2}}{{dt}} = \frac{d}{dt} ( \underline{u} \cdot \underline{u} ) = \underline{u} \cdot \frac{{d\underline{u}}}{dt} + \underline{u} \cdot \frac{{d\underline{u}}}{dt} = 2 \underline{u} \cdot \frac{{d\underline{u}}}{dt}\)
• \(\frac{d\underline{u}}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{{d\underline{u}}}{dt} \; \underline{u} \; \forall(t \in I)\) se \(u = cost\)