Appunti di calcolo numerico

Metodo di Newton

Sia f una funzione derivabile su [a,b]. Considero quindi l'equazione della tangente di f in x_k, ovvero:

y(x) = f(x_k) + (x - x_k)f'(x_k)

Come punto x_k+1 considero il punto di intersezione della retta tangente con l'asse delle ascisse. Imponendo questa condizione si ottiene la formula del metodo di Newton:

x_k+1 = x_k - ^f(x_k)/_f'(xk)

E quindi ho approssimato f in x_k+1.

Condizioni per la convergenza globale del metodo di Newton

Teorema: Se f ∈ C²[a,b], intervallo chiuso e limitato, inoltre f(a)f(b) ≠ 0 oppure f'(x) ≠ 0.

Differenze divise della funzione

f(x) = √(x³) + 1 - x sui punti {-1, 0, 1, 2}

Polinomio di interpolazione di Newton

P_n(x) = f(x₀) + f[x₀, x₁](x - x₀) + f[x₀, x₁, x₂](x - x₀)(x - x₁)...

= d₀ + d₁(x + 1) + d₂(x + 1)(x - 0) + d₃(x + 1)(x - 0)(x - 1)

P_n(x) è il polinomio di interpolazione.

Polinomio di Newton delle differenze divise

f(x) = √(x³) + 1 - x per x ∈ [1, 3]

1. Calcolare P_n in forma di Newton:
2. P₂(x) = √2 - 1 + (√5 - √2 - 1)(x - 1) + (√10 - 2√5 + √2)/2(x - 1)(x - 2)
3. Grafico di f(x) e P₂(x)
4. Calcolare e(x_1,4) = |P₂(1,4) - F(1,4)| ≈ |0,355 - 0,320| ≈ 0,03
5. Dov'è l'errore Max? Essendo i punti dell'intervallo equispaziati, uso la formula.
6. max < | x - 0 | x - 1 | x - 2 | >

Fattorizzazione LU

La fattorizzazione LU si basa sulla nozione A = LU, ove L è una matrice triangolare inferiore con elementi diagonali uguali a 1, mentre U è una matrice triangolare superiore.

Teorema: Sia A una matrice quadrata di ordine n, e siano A_k, k=1, n le principali sottomatrici di testa.

Se |A_k| ≠ 0, k=1, ..., n allora esiste unica la fattorizzazione di A nella forma A = LU.

Se A_k è una matrice non singolare (ogni sottomatrice di testa), allora esiste unica la fattorizzazione LU di A.

L’osservazione precedente non esclude che A sia singolare; infatti, se anche fosse A_k singolare, ma det(A_k) ≠ 0 per k=1, ..., n-1 esiste comunque la fattorizzazione: A=LU.

Errore max di interpolazione

max |f(x) - p_n(x)| ≤ ^h_n+1 / _d(n+1)! max |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|

Teorema dei momenti, formula di quadratura di grado esatto

∫(a)^b u(x)F(x)dx = ^{Σ_i=0nu_iF(x_i)}

• u₀ + ... + u_n = ∫^b_a dx
• u₀x₀ + ... + u_nx_n = ∫^b_a x dx
• u₀x₀ⁿ + ... + u_nx_nⁿ = ∫^b_a xⁿ dx

Polinomi di Lagrange

• l₀(x): ^{(x - x₁)(x - x₂)} / _{(x0 - x1)(x0 - x2)}
• l₁(x): ^{(x - x₀)(x - x₂)} / _{(x1 - x0)(x1 - x2)}
• l₂(x): ^{(x - x₀)(x - x₁)} / _{(x2 - x0)(x2 - x1)}

p₂(x) = l₀(x)f(x₀) + l₁(x)f(x₁) + l₂(x)f(x₂)

Metodi numerici

• Metodo di Newton: x_k+1 = x_k - f(x_k) / f'(x_k)
• Metodo delle secanti: x_k+1 = x_k - f(x_k) ^{x_k - x_k-1} / _{f(xk) - f(xk-1)}
• Metodo di Aitken: x_k+1 = x_k - ^{(g(x_k) - x_k)2} / _{g(g(xk)) - 2g(xk) + xk}
• Metodo di Steffensen: x_k+1 = x_k - ^f(x_k) / _f'(xk) ^{(1 - f(x_k) / _2f(xk))}f''(x_k)