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Calcolo numerico
Risoluzioni numeriche di problemi matematici, cioè risoluzioni che prevedono numeri. Importante è quindi giungere alla formazione di un algoritmo, cioè una sequenza di istruzioni.
L'algoritmo va scritto in un linguaggio di programmazione e va seguito dalla macchina. Aiuto nel calcoliamo nome il valore giusto perchè i calcolatori compiono diversi errori nel calcolo, avendo una memoria finita, cioè un numero finito di registri. I monti, il nostro calcolato è capace di compiere solo operazioni algebriche.
Un numero molto grande di conti tende a fare sì che l'errore si amplifichi, facendo venire meno l'attendibilità del risultato.
Aritmetica di macchina
Problemi relativi all'aritmetica di macchina e generazioni degli errori.
- Dobbiamo, innanzitutto, sapere come la macchina manipola e memorizza i numeri.
- La macchina non usa la base decimale dei numeri. Ci sono molti numeri che non ammettiamo una rappresentazione frazionaria.
- Numero razionali - li rappresenta sottoforma di frazione, e può avere una sequenza infinita ci cifre.
- Numero irrazionali - ha una sequenza infinita di cifre.
- Oggi quasi tutti i calcolatori utilizzano la base 2. In passato o più raramente oggi si utilizza la base 8 o 16.
B ∈ N, B ≥ 2 (basi di numerazione) ∀x ∈ R, x ≠ a ∃n, p ∈ Z , ∑ (di)i=1∞ ai a 1 ≠ 0, ai moltiplicamente uguali a B-1 (un altro rilativo)
t. e. X = Segn(x) B +/- ∑v=1+∞ di B-i
con P: esponenti nella rappresentazione
B-i - cifra nella rappresentazione
X = 0 | 1 10 -1 0 . 1
10-1 0 . 0 1
Metto la condizione che la prima cifra ≠ 0
quindi voglio escludere la seconda rappresentazione
se b0 = 0, cioè mi qualifica l'unicità della
rappresentazione = condizione di normalizzazione
(o rappresenta normalizzata tutta in più)
la prima cifra ≠ 0
0 . 9 ↑ <- atto di normalizzazione
0.9 ≡ 1 Sono due rappresentazioni uguali per indicare lo stesso
numero.
0.9 ≡ 0.999...
∑v=1+∞ gv . 10-i = g . ∑i=1+∞ 10-i
= g ∑i=0+∞ 9 ∑i=0+∞ ( 1 ⁄10 )i
(1 ⁄ 10)
- io o poi ho tirato fuori 10.
Abbiamo ottenuto una serie, cioè una somma infinita.
Dobbiamo eseguire quanto fanno le somme finite.
(poi su valori della serie e illimiti delle
somme finite)
1 + a + a2 + ... ak = Sk
1 + a + a2 +...+ ak + ak+1 = Sk+1
Sk+1 = Sk + ak+1
Sk+1 = a . Sk
Sk+1 + ak+1 = a . Sk
Tale approssimazione già giura un errore.
È il primo errore che fa la macchina, chiamato errore di rappresentazione che nasce quando il numero non ha rappresentazione sulla macchina in modo esatto.
X̂X - X :
- ERRORE ASSOLUTO
- ERRORE RELATIVO
Si considera X≠0, poiché su φ non facciamo errore.
- Preferiamo fare più errori sui numeri grandi che su quelli piccoli, utilizziamo quindi l'errore relativo in modo che l'errore sia commisurato sull'operando.
- Quanto grande può essere l'errore relativo approssimando in macchina con X̂ ?
X̂X - X :
X
Maggioriamo il numeratore e minoriamo il denominatore.
Per i numeri negativi non cambia nulla.
X = BP∑i=1 aiB-i
X̂ = BP∑i=1 aiB-i
|X̂X - X| = |BP∑+∞i=t+1 diB-i| = BP∑+∞i=t+1 diB-i
(come lo maggioro?, visto che tutti gli εi sono ≤ B−1)
≤ BP∑+∞i=t+1 (B−1)B−i = BP(B−1)∑+∞i=t+1 (1/B)i =
Teorema:
ETOT = Em + Ealg
ciò vale in un'analisi del 1° ordine.
ETOT = h( x̅) - f( x̅)/f( x̅) + f( x̅) - f(x)/f(x) = h( x̅) - f( x̅)/f( x̅) + f( x̅) - f(x)/f( x̅) x f( x̅)/f(x)
= Ealg f( x̅)/f(x) + Eui
= Ealg ( Em + 1) + Em
= Ealg + Eui
θ cui f(x) - f(x)/ x : f̅( x)/ f( x̅) = Eui
devo tenere conto dell’approx. dei dati iniziali e dell’approx. alle operazioni in macchina.
- Eui dipende da f, cioè da quanto la funzione è sensibile alla perturbazione dei dati.
- Ealg dipende dall'algoritmo che uso, l’errore alg. varia a seconda dell’algoritmo usato. L'Em non varia.
Se Eui è grande → problema mal condizionato Se Ealg " " → algoritmo numericamente instabile.
f(a,b) = a2 - b2 = (a-b)(a+b)
- a → a2 (a-b)(a-b) b → b2 oppure (a-b)(a-b) a2 - b2 (a-b)(a+b)
εalg = h(x,y) - f(X,y) = x2/x2 + y2 ε1 + y2/x2 + y2 ε2 + ε3 g.
(⸨com'è⸩ anche il problema è ben condizionato)
mettiamo i valori assoluti
| εalg | = | β(x,y) - f(x,y) | = x2/x2 + y2 ε1 + y2/x2 + y2 ε2 + ε3 | ≤
| y2/x2 + y2 2u + y2/x2 + y2 u + u = 2u
L'algoritmo di risoluzione è numericamente stabile rispetto a quanto avverrà per x2 - y2
ESEMPIO 2
f(x) = x - 1/x + 1 εui =?
εui = f'(x) x εx
f'(x) = x + 1 - (x - 1)/(x + 1)2 = 2/(x + 1)2
εui = 2/(x + 1)2 x x + 1/x - 1 x εx
= 2x/x2 - 1 εx
|εui| ≤ 2x/x2 - 1 u
(la stabilità dipende da quanto è grande il coeff. di amplificazione)
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