Calcolo numerico - Prof. Gemignani

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Revisionato il 17/05/2026

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Appunti chiari e completi del corso "Calcolo numerico" tenuto dal Prof. Gemignani basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. dell’università degli Studi …

Esame Calcolo numerico

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Gemignani Luca

Università Università degli Studi di Pisa

A.A. 2017-2018

142 pagine

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Estratto del documento

Calcolo numerico:

Risoluzioni numeriche di problemi matematici (cioè risoluzioni che prevedono numeri)

Importante è avere giungla alla formazione di un ALGORITMO, cioè una sequenza di istruzioni

L'algoritmo sarà scritto in un linguaggio di programmazione che verrà seguito dalla macchina.

Aiuto un calcolatore non è il razionale giusto poiché il calcolatore compie diversi errori nel calcolo, avendo una memoria finita, cioè un numero finito di REGISTRI. Inoltre il nostro calcolatore è capace di compiere solo operazioni algebriche.

Un numero molto grande di conti lenta a far sì che l'errore si amplifichi facendo venire meno l'attendibilità di risultato.

Aritmetica di macchina

Problemi relativi all'aritmetica di macchina e generazioni dagli errori

Dobbiamo, innanzitutto, sapere come la macchina manipola e memorizza i numeri.

La macchima non usa la base dieci ma di numeri. Ci sono molti di numeri che non ammettiammo una rappresentazione frazionaria.

Numero razionali: si rappresenta sotto forma di frazione, e ciò può avere una sequenza infinita di cifre.

Numero irrazionale: ha una sequenza infinita di cifre.

Oggi quasi tutti i calcolatori utilizzano la base 2. In passato o più raramente oggi di utilizzata la base 8 o 16.

B ∈ ⁺; B ≥ 2

(basi di numerazione)

∀x ∈ ℝ, x ≠ 0 ∃! p ∈ ℤ , ∃! di⁺¹, ₁a∞, a₁ ≠ 0; di nomalutframentu uguali a b - 1

(un numero naturale)

Calcolo numerico

Risoluzione numerica di problemi matematici (cioè risoluzione che proviene numeri). Importante è avere comunque una formazione di un ALGORITMO, cioè una sequenza di istruzioni. L’algoritmo va scritto in un linguaggio di programmazione che verrà seguito dalla macchina.

Aiuto un calcolatore non e l’atteo giusto poiché i calcolatori compiu diversi errori nel calcolo, avendo una memoria finita, cioè un numero finito di REGISTRI. Inoltre il nostro calcolatori è capare di compiu solo operazioni algebriche.

Un numero molto grande di conti tenta a far sì che l’errori si amplifichi facendo venire meno l’attendibilità del risultato.

Aritmetica di macchina

Problemi relativi all’aritmetica di macchina e generazioni degli errori

Dobbiamo, innanzitutto, sapere come la macchina manipola e memorizza i numeri. La macchina non usa la base decimale di numeri. Ci sono molti di numeri che non ammettono una rappresentazione frazionaria.

Numero razionali - li rappresenta sottoforma di frazione, e ciòe può avere una sequenza infinità di cifre.
Numero irrazionali - ha una sequenza infinita di cifre.

Oggi quasi tutti i calcolatori utilizzano la base 2. In passato o più di recente, oggi di utilizzato la base 8 o 16.

∈ ℕ, ≥ 2
(basi di numerazione)
∀ ∈ ℝ, ≠ 0 ∃!, ∈ ℤ, ∑₌₁^∞ = 0, ai non altresì traamenti uguali a B-1 (un nicro naturivo)

t.e. X=Segn(x) B^p∑_v=1 di B^-i

con P: esponenti sulla rappresentazione

B^-1: cifra sulla rappresentazione

X=0.1

10⁰ ⋅ 0.1

10¹ ⋅ 0.01

Metto la condizione che la prima cifra sia ≠ 0

però voglio studiare la seconda rappresentato

me (b¹ ≠ 0). Cio mi qualifica l'unicità sulla

rappresentazione e condizione di normalizzazione

(o rappresentazioni non normalizzata): questa in cui:

x= 0.^_9 la prima cifra è = 0,

0.^_9 = 1, uguali a B¹: mi qualifica

l’unicità è sempre è data dal numero periodico.

0.^_9 =1 sono due rappresentazioni uguali per indicare lo stesso

numero.

0.^_9 = 0.999…

∑_i=1 9 ⋅ 10^-i = g ⋅ ∑_i=1 10^-i = ⁹/₁₀ ∑_i=0 ( ¹/₁₀ )ⁱ

ho 0 perchè ho tirato fuori 10.

Abbiamo ottenuto una SERIE, cioè una somma infinita.

Dobbiamo capire quanto fanno le somme finite,

1 + a + a² +… a^K = S_K

1 + a + a² + … + a^K + a^k+1 = S_K+1

S_K+1 = S_K + a^K+1

S_K+1 = 1 + aS_K

S_K + a^K+1 = 1+ aS_K

S_k (1 - a) = 1 - a^k+1

S_k = ^{1-a^k+1}/_1-a

S_x = ^{1 - ¹/₁₀ k+1} k = +∞ ¹/_{1 - ¹/₁₀} = ¹⁰/₉

Ripetiamo dalla serie:

⁹/₁₀ ・ ¹⁰/₉ = 1

(Abbiamo dimostrato come 0.9̅ sia uguale a 1)

10⁰ 0.9̅ forma non corretta poichè le cifre sono tutte uguali a 0.9

10⁰ 0.1 forma corretta

Le notazioni sul teorema sono importanti per avere l'unità della rappresent

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