Calcolo integrale - teoria

Calcolo integrale

Integrali indefiniti

Ogni funzione F derivabile in I tale che F(x) = f(x) ∀ x ∈ I, F si dice primitiva di f su I.

∫f(x) dx = F(x) + C

Integrali fondamentali

• ∫x^a dx = ^xa+1/_a+1 + C, a ≠ -1
• ∫k dx = Kx + C
• ∫¹/_x dx = log|x| + C, x > 0
• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ e^x dx = e^x + C
• ∫ ¹/_{1 + x²} dx = arctan x + C
• ∫ ¹/_√(1-x²) dx = arcsin x + C
• ∫ a^x dx = ^ax/_{log a} + C
• ∫ f(x) * f'(x) dx = ^fn+1/_n+1
• ∫ k dx = Kx + C

Principi di calcolo

∫ (αf(x) + βg(x)) dx = α ∫ f(x) dx + β ∫ g(x) dx

∫ f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

∫ f(φ(x)) φ'(x) dx = ∫ f(y) dy, y = φ(x), dy = φ'(x) dx

Esempi

∫ (aⁿ) → y = aⁿ

∫ (tan x) → y = tan x

∫ (log₁₀ x) → y = log₁₀ x

∫ (sin x, cos x) → y = tan ^x/₂

sin x = ^2y/_1+y², cos x = ^1-y2/_1+y²

x = 2 arctan y, dx = ²/_1+y² dy

∫ (sin² x, cos² x, tan x) → y = tan x

sin² x = ^y2/_1+y², cos² x = ¹/_1+y²

x = arctan y, dx = ¹/_1+y² dy

∫ √(x² - a²) dx → x = a cosh y

∫ ¹/_{(a² - x²)} dx → x = a y

∫ √(a² - x²) dx → x = a sin y

∫ √(a² + x²) dx → x = a sinh y

∫ ¹/_1+(f(x))² dx → arctan f(x)

∫ f(x; √(a₁² + bx + c)) dx

a > 0, √(a₁²+bx+c _t = √(a₁² - bx+c)

a < 0, √((a₁²+bx+c) _t = √(-a ^b-c/_{(x-x)(x - β)})

Divisione di polinomi

P / Q = D + R / Q

∫ P(x) / Q(x) dx = ∫ D(x) dx + ∫ R(x) / Q(x) dx

Integrali definiti

∫_a^b f(x) dx = Area Trapezoide

Integrali secondo Cauchy

• n → S_n entrambi convergenti
• n → S_n' e convergono allo stesso limite
• ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ S_n = lim_n→∞ S_n'
• ∫_a^x* f(x) dx - ∫_a^x' f(x) dx + ∫_x'^b f(x) dx

f(x) continua a tratti sull'intervallo [a, b]

∫_a^b f(x) dx = ∑ⁿ_i=1 ∫_xi-1^x_i f_i(x) dx

Integrale secondo Riemann

Funzione a scala f : [a, b] → ℝ se esistono una suddivisione dell'intervallo [a, b] indotta da punti a = x₀ < x₁ < ... < x_n = b

∀x ∈ (x_i-1, x_i), k ∈ 1, ..., n

∫_I f = ∑_k=1ⁿ c_k (x_i - x_i-1) c = valore costante sull'intervallo (x_i-1, x_i)

g(x) ≤ h(x) ⇒ ∫_I g ≤ ∫_I h

s_f = sup [x ∈ [a, b]] f(x) ∈ ℝ

i_f = inf [x ∈ [a, b]] f(x) ∈ ℝ

S_+f = {h ∈ ℭ[a, b] ; f(x) ≤ h(x), ∀x ∈ [a, b]}

S_-f = {g ∈ ℭ[a, b] ; g(x) ≤ f(x), ∀x ∈ [a, b]}

h(x) = s_f, g(x) = i_f

S_-f ≤ S_+f

Integrale superiore

∫_I f = inf {∫_I h ; h ∈ S_+f}

Integrale inferiore

∫^I f = sup {∫_I g ; g ∈ S_-f}

∀ f limitata su [a, b] ⇒ (∫^I f ≤ ∫_I f)

Una f limitata su [a, b] si dice integrabile ⇒ (∫^I f = ∫_I f = ∫_a^b f(x) dx)

Proprietà

Sono integrabili su [a, b]:

• Funzioni continue
• Funzioni continue a tratti su [a, b]
• Funzioni continue su [a, b] e limitate su [a, b]
• Funzioni monotone su [a, b]

Se f integrabile su [a, b]:

• f è integrabile su ogni sottointervallo [c, d] ⊆ [a, b]
• |f| integrabile su [a, b]

∫_d^c f(x) dx = -∫_c^d f(x) dx   c, d ⊆ [a, b]

∫_c^c f(x) dx = 0

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx

(se f > 0 & a < b) ⇒ (∫_a^b f(x) dx > 0)

(se f ≤ g & a < b) ⇒ ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx

|∫_a^b f(x) dx| ≤ ∫_a^b |f(x)| dx

Media integrale

(Se f è continua) ⇒  (∃ x_o ∈ (a, b) : f(x_o) = ∫_a^b f(x) dx • 1/(b-a))

Area trapezoide b=[a, b] h=[0, f(x_o)]

Teorema fondamentale del calcolo integrale

f: I → ℝ e continua

x₀ ∈ I

F(x) = ∫_x0^x f(s) ds

F è derivabile in ogni punto di I e si ha F'(x) = f(x) ∀ x ∈ I

F è una primitiva di f

f continua su [a, b]

G primitiva di f

∫_a^b f(x) dx = G(b) - G(a)

f integrabile [-a, a] → 0

f pari ∫_-a^a f(x) dx = 2 ∫₀^a f(x) dx

f dispari ∫_-a^a f(x) dx = 0

Integrali impropri

Su intervalli illimitati (del tipo [a, +∞))

∫_a^+∞ f(x) dx = lim_{c → +∞} ∫_a^c f(x) dx

Se il limite esiste finito → Convergente

Se il limite esiste infinito → Divergente

Se il limite non esiste → Oscillante

R([a,+∞)) insieme delle funzioni integrabili su [a, +∞) con integrale improprio convergente (cioè finito)

R_loc([a,+∞)) insieme delle funzioni definite su [a,+∞) e integrabili su ogni sottointervallo [a,c] della semiretta

R([a,+∞)) ⊆ R_loc([0,+∞))

Sia f(x) > 0 ∀ x ∈ [a,+∞) ed f(x) ∈ R_loc [a,+∞)

0 ⇒ ( ∫_a^+∞ f(x) dx ) Convergente Divergente a +∞ l'integrale (improprio) ∫_e^+∞ 1/x^α dx =

Converge α > 1 Diverge α ≤ 1 con e > 0

Teorema del criterio del confronto

Siano f, g ∈ R_loc([a,+∞))

0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a,+∞)

0 ⇒ ( ∫_e^+∞ f(x) ≤ ∫_e^+∞ g(x) ) Diverge Converge

Teorema del criterio di convergenza assoluta

Sia f ∈ R_loc([a,+∞)) tale che |f| ∈ R_I ([a,+∞))

0 ⇒ f ∈ R([a,+∞)) e |∫_e^+∞ f(x) ≤ ∫_e^+∞ |f(x)| funzioni assolutamente integrabili

Teorema del criterio del confronto asintotico

Sia f ∈ R_loc ([a,+∞)) e sia infinitesima per x → +∞ con α ordine di infinito rispetto p(x) = 1/x

0 ⇒ ( (se α > 1 ∫_α^+∞ f(x) Converge se α ≤ 1 ∫_α^+∞ f(x) Diverge

∫₂^+∞ 1/ x^α (log^βx) dy =α = 1 → Converge se β > 1 Diverge se β ≤ 1 α > 1 → Converge ∀ β α < 1 → Diverge ∀ β α, β > 0

t = log x