Calcolo differenziale per funzioni di due variabili - parte 1

Calcolo differenziale per funzioni di due variabili

In questo capitolo studieremo funzioni di due variabili reali a valori scalari \( f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) e vedremo di estendere a tali funzioni i concetti di continuità e derivabilità visti nel corso di Analisi Matematica 1 per funzioni di una variabile reale. A tale studio è necessario premettere alcune proprietà di \(\mathbb{R}^n\), e più in generale di \(\mathbb{R}^n\), come metrica: grazie alla metrica definita su tale insieme è infatti possibile definire in \(\mathbb{R}^n\) una topologia a cui brevemente accenneremo nel seguente paragrafo.

Topologia di \(\mathbb{R}^n\)

1. Intorno (circolare) di raggio del punto: Fissato \( P_0 \) e \( \varepsilon > 0 \), si dice intorno di raggio \(\varepsilon\) del punto \( P_0 \) l’insieme:

\( I(P_0) = \{P \in \mathbb{R}^n | d(P, P_0) < \varepsilon\} \).

In particolare, in un intorno di raggio \(\varepsilon > 0\) di un punto \( x_0 \) è l’intervallo aperto:

\( I(x_0) = (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon) \).

In un intorno di raggio \(\varepsilon > 0\) di un punto \( P_0 = (x_0, y_0) \) sarà il disco:

\( I(P_0) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < \varepsilon^2\} \).

Mentre in un intorno di raggio \(\varepsilon > 0\) di un punto \( P_0 = (x_0, y_0, z_0) \) sarà la sfera:

\( I(P_0) = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 < \varepsilon^2\} \).

Un insieme \( A \) è detto aperto in \(\mathbb{R}^n\) se per ogni \( P_0 \in A \) esiste \(\varepsilon > 0\) tale che:

\( I(P_0) \subset A \).

Si dice invece che \( A \) è chiuso in \(\mathbb{R}^n\) se il complementare \( A^c \) risulta aperto.

Esempio: \( I_r(P_0) = \{P \in \mathbb{R}^n | d(P, P_0) < r\} \) è aperto mentre:

\( B_r(P_0) = \{P \in \mathbb{R}^n | d(P, P_0) \leq r\} \)

è chiuso. Il rettangolo \((a, b) \times (c, d)\) è aperto mentre la striscia \( S = [a, b] \times [c, d] \) è chiusa. L’insieme \([a, b) \times [c, d]\) non è né aperto né chiuso.

Proprietà topologiche

Valgono allora le seguenti proprietà, caratterizzanti una topologia in \(\mathbb{R}^n\):

• L’insieme vuoto e \(\mathbb{R}^n\) sono aperti;
• L’intersezione di due aperti è un aperto;
• L’unione di una qualunque famiglia di aperti è un aperto.

Dalle precedenti proprietà e dalla definizione di insieme chiuso, segue che:

• L’insieme vuoto e \(\mathbb{R}^n\) sono chiusi;
• L’unione di due chiusi è un chiuso;
• L’intersezione di una qualunque famiglia di chiusi è un chiuso.

Limitato e compatto

Un insieme \( A \) è detto limitato in \(\mathbb{R}^n\) se esiste \( R > 0 \) tale che:

\( A \subset B_R(O) \),

ovvero se risulta \( d(P, O) \leq R \) per ogni \( P \in A \). Un insieme \( A \) è detto compatto in \(\mathbb{R}^n\) se risulta chiuso e limitato.

Esempio: \( B_r(P_0) \) è compatto, il rettangolo \( R = [a, b] \times [c, d] \) è compatto, la striscia \( S = [a, b] \times [c, d] \) è chiusa ma non limitata, quindi non è compatta.

Interno, punto di frontiera e chiusura

Dato un insieme \( A \), diremo che un punto \( P_0 \) è interno ad \( A \) se esiste \(\varepsilon > 0\) tale che \( I(P_0) \subset A \). Osserviamo che se \( A \) è aperto, ogni suo punto è interno. Viceversa, dato \( A \), l’insieme:

\( A^\circ = \{P \in A | P \text{ è punto interno di } A\} \)

è aperto e viene detto interno dell’insieme \( A \). Si può provare che \( A^\circ \) è il più grande aperto contenuto in \( A \). Segue allora che \( A \) risulta aperto se e solo se \( A = A^\circ \).

Un punto \( P_0 \) è detto punto di frontiera di un insieme \( A \) se ogni suo intorno contiene sia elementi appartenenti ad \( A \) che al suo complementare: per ogni \(\varepsilon > 0\) risulta:

\( A \cap I(P_0) \neq \emptyset \) e \( A^c \cap I(P_0) \neq \emptyset \).

Osserviamo che se \( A \) è aperto, allora \( A \) non contiene i suoi punti di frontiera, mentre se \( A \) è chiuso allora conterrà tutti i suoi punti di frontiera. L’insieme:

\( \partial A = \{P \in \mathbb{R}^n | P \text{ è punto di frontiera di } A\} \)

viene detto frontiera dell’insieme. L’insieme:

\( \overline{A} = A \cup \partial A \)

è detto chiusura dell’insieme \( A \). Si ha che \(\overline{A}\) è chiuso ed è il più piccolo chiuso contenente \( A \). Segue allora che \( A \) risulta chiuso se e solo se \( A = \overline{A} \).

Esempi

• L’insieme \( A = B_r(P_0) \) è chiuso. Abbiamo \( A^\circ = I_r(P_0) \) mentre:
• \(\partial A = \{P \in \mathbb{R}^n | d(P, P_0) = r\}\).
• L’insieme \( A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 1 \leq x^2 + y^2 < 4\} \) non è né aperto né chiuso. Risulta:

\( A^\circ = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 1 < x^2 + y^2 < 4\} \) mentre:

\( \partial A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = 1 \text{ oppure } x^2 + y^2 = 4\} \)

E dunque:

\( \overline{A} = \partial A \cup A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 1 \leq x^2 + y^2 \leq 4\} \).

• L’insieme \( A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 < x^2 + y^2 < 1\} \) è aperto, dunque \( A = A^\circ \). Risulta:
• \(\partial A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = 1\}\)
• E dunque \(\overline{A} = A \cup \partial A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq x^2 + y^2 \leq 1\}\).

Punto di accumulazione e punto isolato

Infine, dato un insieme \( A \), un punto \( P_0 \) è detto punto di accumulazione di \( A \) se ogni suo intorno \( I(P_0) \) contiene almeno un punto di \( A \) diverso da \( P_0 \):

Per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \( P \in I(P_0) \cap A \) con \( P \neq P_0 \).

Si osservi che un punto di accumulazione \( P_0 \) dell’insieme \( A \) potrà anche non appartenere ad \( A \). Ad esempio, l’origine \( O \) è punto di accumulazione di \( A = \{P \in \mathbb{R}^n | d(P, O) > 0\} \). Ogni punto interno ad \( A \) risulta punto di accumulazione per \( A \), in particolare, se \( A \) è aperto, ogni suo punto è un suo punto di accumulazione.

Dato \( A \), un punto \( P_0 \in A \) è detto punto isolato di \( A \) se esiste un suo intorno \( I(P_0) \) tale che:

\( I(P_0) \cap A = \{P_0\} \).

Ad esempio, l’insieme \( A = \left\{\frac{1}{n} | n \in \mathbb{N}\right\} \) è costituito da infiniti punti isolati. L’origine è invece un punto di accumulazione per \( A \).

Funzioni di due variabili reali

Una funzione di due variabili reali a valori scalari è una funzione che opera tra un sottoinsieme di \(\mathbb{R}^2\) e \(\mathbb{R}\), quindi \( f: A \to \mathbb{R} \). L’insieme \( A \) in cui è definita la funzione verrà detto dominio della funzione e denotato con \( \text{Dom}f \). L’insieme \( f(A) \) dei valori (reali) assunti dalla funzione è detto invece immagine della funzione e verrà denotato con \(\text{Im}f\):

\(\text{Im}f = f(A) = \{z \in \mathbb{R} | z = f(x, y) \text{ per qualche } (x, y) \in A\}\).

L’insieme:

\(\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | (x, y) \in A, z = f(x, y)\}\)

è detto invece grafico della funzione.

Alcuni casi particolari sono:

• le funzioni costanti \( f(x, y) = c \),
• le funzioni lineari (affini) \( f(x, y) = ax + by + c \),
• le funzioni dipendenti da una sola variabile come ad esempio \( f(x, y) = x \) e \( f(x, y) = e^y \).

Funzioni notevoli

• La funzione \( f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} \) ha per grafico il cono ad una falda \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \). Osserviamo che per ogni \( \alpha > 0 \) risulta:

\(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | f(x, y) = \alpha\} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = \alpha^2\}\).

• La funzione \( f(x, y) = x^2 + y^2 \), ha per grafico il paraboloide circolare \( z = x^2 + y^2 \) per il quale risulta:

\(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | f(x, y) = \alpha\} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = \alpha\}\).

• La funzione \( g(x, y) = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} \) ha per grafico il paraboloide ellittico \( z = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} \).
• La funzione \( f(x, y) = y^2 - x^2 \) ha per grafico il paraboloide iperbolico \( z = y^2 - x^2 \) e:

\(\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | f(x, y) = \alpha\} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | y^2 - x^2 = \alpha\}\).

• La funzione \( f(x, y) = \sqrt{r^2 - x^2 - y^2} \) ha per grafico la semisfera \( x^2 + y^2 + z^2 = r^2 \) nel semispazio \( z \geq 0 \).
• La funzione \( g(x, y) = \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}} \) il semiellissoide \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{1} = 1\) in \( z \geq 0 \).

Per descrivere il grafico delle precedenti funzioni abbiamo studiato gli insiemi di livello:

\(\{(x, y) \in \text{Dom}f | f(x, y) = \alpha\}\).

Curva di livello

Risultano particolari insiemi di livello, i sostegni di curve di livello dove una curva \( \gamma: I \to \mathbb{R}^2 \) è detta curva di livello \(\alpha\) se \( f(\gamma(t)) = \alpha \) per ogni \( t \in I \).

Ad esempio, l’insieme di livello \(\alpha > 0\) per il cono \( f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2} \) è la circonferenza \( x^2 + y^2 = \alpha^2 \), mentre per il paraboloide circolare \( f(x, y) = x^2 + y^2 \), la circonferenza \( x^2 + y^2 = \alpha \). Il paraboloide iperbolico \( f(x, y) = y^2 - x^2 \) ha come insieme di livello \(\alpha < 0\) l’iperbole \( x^2 - y^2 = \alpha \).

Per esercizio, dopo averne determinato il dominio, provare a disegnare il grafico e gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

• \( f(x, y) = x^2 + 2x + 1 + y^2 \), cono,
• \( f(x, y) = 1 - y^2 - x^2 + 2x \), paraboloide circolare,
• \( f(x, y) = \frac{x^2}{4} + y^2 + y \), paraboloide ellittico,
• \( f(x, y) = 2 + y^2 - 2yx \), paraboloide iperbolico,
• \( f(x, y) = \sqrt{2x^2 + 2x - y^2} \), semisfera.

Limite per funzioni di due variabili reali

Sia \( f(x, y) \) funzione definita in \( A \) e sia \( P_0 = (x_0, y_0) \) un punto di accumulazione per \( A \). Si dice che \( f(x, y) \) tende al limite \( \ell \) per \( (x, y) \) che tende a \( (x_0, y_0) \), e scriveremo:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = \ell\),

se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta > 0\) tale che risulta:

\(|f(x, y) - \ell| < \varepsilon\)

per ogni \( (x, y) \in A \) con \( (x, y) \neq (x_0, y_0) \), cioè, per ogni \( (x, y) \in A \) con:

\(0 < (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < \delta^2\).

Come per le funzioni di una variabile vale il seguente risultato:

Teorema 2.1: Unicità del limite

Se una funzione ammette limite, questo è unico.

Analogamente, si dice che \( f(x, y) \to +\infty \) (risp. \(-\infty\)) per \( (x, y) \) che tende a \( (x_0, y_0) \), e scriveremo:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = +\infty\) (risp. \(-\infty\)),

se per ogni \( M > 0 \) esiste \(\delta > 0\) tale che risulta \( f(x, y) > M \) (risp. \( f(x, y) < M \)) per ogni \( (x, y) \in A \) con \( (x, y) \neq (x_0, y_0) \), ovvero per ogni \( (x, y) \in A \) con:

\(0 < (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 < \delta^2\).

Osserviamo che dalla definizione se \( f(x, y) = g(x) \) allora:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = \lim_{x \to x_0} g(x)\),

purché esista il secondo limite. Allo stesso modo, se \( f(x, y) = h(y) \) allora:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = \lim_{y \to y_0} h(y)\),

se il secondo limite esiste.

Le proprietà dei limiti di funzioni di una variabile si estendono naturalmente alle funzioni di due variabili. Abbiamo quindi che se \( f(x, y) \) e \( g(x, y) \) ammettono limite per \( (x, y) \to (x_0, y_0) \) allora:

• \(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} [f(x, y) \pm g(x, y)] = \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) \pm \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} g(x, y)\),
• \(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} [f(x, y)g(x, y)] = \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} g(x, y)\),
• \(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} g(x, y)}\),

esclusi i casi \( \frac{0}{0} \) e \( \frac{\infty}{\infty} \).

Risulta ad esempio immediato verificare che:

• \(\lim_{(x,y) \to (2,3)} \frac{x^2}{3y} = \frac{4}{9}\),
• \(\lim_{(x,y) \to (2,0)} \frac{x^2}{3y} = +\infty\),
• \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2xy + 1}{x^2 + y^2} = +\infty\),
• \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = [\text{non esiste}]\), proveremo che il limite non esiste.

Potranno inoltre tradursi per i limiti di funzioni di due variabili i Teoremi della permanenza del segno e del confronto, ma non i risultati riguardanti funzioni monotone (non essendo \(\mathbb{R}^2\) un insieme ordinato).

Si osservi che dalla condizione di limite per una funzione di una variabile si può verificare che se:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = \ell\)

allora per ogni curva \(\gamma: I \to \mathbb{R}^2\) con \(\gamma(t_0) = (x_0, y_0)\) per qualche \( t_0 \in I \) risulta:

\(\lim_{t \to t_0} f(\gamma(t)) = \ell\).

E potremo dire che se:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = \ell\)

allora \( f(x, y) \) tende al limite \(\ell\) lungo una qualunque curva \(\gamma\) passante per \((x_0, y_0)\).

In particolare, considerata la curva \( y = y_0 + m(x - x_0) \), avente per sostegno la retta passante per \((x_0, y_0)\) e coefficiente angolare \( m \), avremo che se:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = \ell\)

allora:

\(\lim_{x \to x_0} f(x, y_0 + m(x - x_0)) = \ell\).

Proviamo ad esempio che la funzione \( f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} \) non ammette limite per \( (x, y) \to (0, 0) \). Infatti, considerata la retta \( y = mx \) passante per l’origine risulta:

\(f(x, mx) = \frac{mx^2}{x^2 + m^2x^2} = \frac{m}{1 + m^2}\).

e dunque \(\lim_{x \to 0} f(x, mx) = \frac{m}{1 + m^2}\) non risulta indipendente da \( m \). Dalla condizione (5) possiamo quindi concludere che il limite non esiste.

Anche la funzione \( f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^4} \) non ammette limite per \( (x, y) \to (0, 0) \). Infatti, considerate le parabole \( y = ax^2 \), risulta:

\(f(x, ax^2) = \frac{ax^4}{x^2 + a^4x^8} = \frac{ax^2}{1 + a^4x^6}\).

e dunque \(\lim_{x \to 0} f(x, ax^2) = a\) non risulta indipendente da \( a \). Dalla condizione (4) possiamo quindi concludere che il limite non esiste. Osserviamo però che considerata la retta \( y = mx \) passante per l’origine risulta:

\( f(x, mx) = \frac{m}{1 + m^2} \).

e dunque \(\lim_{x \to 0} f(x, mx) = 0\) per ogni \( m \); la condizione (5) è quindi necessaria all’esistenza del limite ma non sufficiente.

Per esercizio provare che non esistono i limiti:

• \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(xy)}{x^2 + y^2}\)
• \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\)

Si osservi ora che se \(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = \ell\) allora:

\(\lim_{x \to x_0} \left( \lim_{y \to y_0} f(x, y) \right) = \lim_{y \to y_0} \left( \lim_{x \to x_0} f(x, y) \right) = \ell\),

ma non vale in generale il viceversa. Ad esempio, la funzione \( f(x, y) = \) 1 se \( |x| \leq |y| \) e \( |y| \leq 2|x| \), nulla altrimenti, non ammette limite per \( (x, y) \to (0, 0) \) mentre:

\(\lim_{x \to 0} \left(\lim_{y \to 0} f(x, y)\right) = \lim_{y \to 0} \left(\lim_{x \to 0} f(x, y)\right) = 1\).

Per quanto sopra osservato, per provare che:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x, y) = \ell\)

potremo allora innanzitutto verificare che:

\( \lim_{x \to x_0} f(x, y_0 + m(x - x_0)) = \ell\),

e quindi verificare la validità della condizione di limite.

Esempi

• \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2}\). Posto \( f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2} \), per ogni \( m \) risulta:

\(\lim_{x \to 0} f(x, mx) = \lim_{x \to 0} \frac{m x^3}{x^2(1 + m^2x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{m x}{1 + m^2x^2} = 0\)

• e dunque la condizione necessaria all’esistenza è verificata. Verifichiamo ora la condizione di limite. Per ogni \(\varepsilon > 0\), preso \(\delta \in (0, \varepsilon)\), per \( x^2 + y^2 < \delta^2 \) risulta:

\(\left|\frac{x^2y}{x^2 + y^2}\right| = \frac{|x^2y|}{x^2 + y^2} \leq \frac{|y||x^2|}{x^2 + y^2} < \varepsilon\)

e dunque \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^2 + y^2} = 0\).

• \(\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(y^4)}{x^2 + y^2}\). Osserviamo innanzitutto che per \((x, y) \to (0, 0)\) risulta:

\(\frac{\sin(y^4)}{x^2 + y^2} \leq \frac{y^4}{x^2 + y^2} \leq \frac{y^4}{x^2}\).

• Ne segue che \(\frac{\sin(y^4)}{x^2 + y^2} \leq \frac{y^4}{x^2}\), e quindi:

\(\left|\frac{\sin(y^4)}{x^2 + y^2}\right| \leq \frac{|y^4|}{x^2 + y^2} < \varepsilon\)

per \(\varepsilon > 0\) sufficientemente piccolo.

Come per le funzioni di una variabile, si dice che \( f(x, y) \) è asintotica a \( g(x, y) \) per \((x, y)\) che tende a \((x_0, y_0)\), e scriveremo:

\( f(x, y) \sim g(x, y)\),

se:

\(\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = 1\).

Per tale relazione si possono provare le medesime proprietà viste per le funzioni di una variabile.