Calcolo differenziale per funzioni di due variabili - parte 1

Continuità di una funzione

Sia f : A e sia (x , y ) A. Si dice che f (x, y) è nel punto (x , y ) se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che |(x, y) - f (x , y )| < ε per ogni (x, y) (x , y )\A ovvero per ogni (x, y) A con (x - x )^2 + (y - y )^2 < δ^2.

Osserviamo che se (x , y ) A è un punto di accumulazione per A, allora f (x, y) risulterà continua in (x , y ) se e solo se lim f (x, y) = f (x , y ).

Se invece (x , y ) A è un punto isolato di A, allora f (x, y) risulterà continua in (x , y ), poiché, per ogni ε > 0 sufficientemente piccolo risulterà (x , y ) A = {(x , y )}.

Dato un sottoinsieme B ⊆ A, diremo che f (x, y) risulta B, e scriveremo f ∈ C(B), se risulta continua in ogni (x , y ) ∈ B.

Osserviamo che se g(x) è una funzione continua in un insieme I, allora la funzione f (x, y) = g(x) risulta continua in I così come la funzione h(x, y) = g(y) risulta continua in I.

continua in I.D'altra parte, osserviamo che se f (x, y) risulta continua in (x , y ), punto di0 0accumulazione, alloralim f (x, y ) = lim f (x , y) = f (x , y )0 0 0 0x!x y!y0 0e le funzioni f (x, y ) e f (x , y), di una variabile reale, risulteranno continue ri-0 0 parzialmentespettivamente in x e y . Diremo in tal caso che f (x, y) risulta0 058 2. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI DUE VARIABILIcontinua rispetto alle due variabili x e y in (x , y ). Non vale però il viceversa.0 0Ad esempio la funzione ( xy 6se (x, y) = (0, 0)2 2x +yf (x, y) = 0 se (x, y) = (0, 0)risulta parzialmente continua nell'origine (si osservi difatti che f (x, 0) = f (0, y) =R)20 per ogni x, y ma non risulta (globalmente) continua in quanto non esisteil limite lim f (x, y).(x,y)!(0,0)Dai risultati visti per i limiti si ha inoltre che somma, prodotto e quoziente difunzioni continue risulta funzione continua. Sono quindi ad esempio continue nel23 xloro dominio le funzioni f (x, y) = x + log(y 2),

f (x, y) = e sin y

f (x, y) = log y .2 2x +y R R2✓

Riguardo alla composizione di funzioni continue, abbiamo che se f : AR R2 ✓ ! 2è continua in (x , y ) A e g : I è continua in z = f (x , y ) I, allora0 0 0 0 0la funzione G(x, y) = g(f (x, y)) risulta continua in (x , y ).0 0 2

Ad esempio, risultano continue nel loro dominio le funzioni f (x, y) = log(1 x2 x sin y+2y ) e f (x, y) = e . R R2✓ ! ✓

Abbiamo inoltre che se f : A è funzione continua in (x , y ) e ' : I0 0R R 2! 2è continua in t I con '(t ) = (x , y ), allora la funzione composta0 0 0 0F (t) = f ('(t)) (a variabili e valori scalari), risulta continua in t .0

Per le funzioni continue di due variabili reali potranno tradursi i principali risul-tati visti per funzioni continue di una variabile reale. Abbiamo quindiTeorema 2.2. (della permanenza del segno)2Se f (x, y) risulta continua in (x , y ) Dom f e f (x , y ) > 0, allora esiste > 00 0 0 02 I \tale che f (x, y) > 0 per ogni (x, y) (x ,

y ) A.0 02 ✓ massimo minimo)Diciamo che (x , y ) A Domf è un punto di (risp. per0 0 2 f (x, y) in A se per ogni (x, y) A risulta f (x , y ) f (x, y) (risp. f (x , y )0 0 0 0f (x, y). Vale allora

Teorema 2.3. (di Weierstrass)✓ 2Sia f (x, y) continua in A Dom f . Se A è compatto allora esistono (x , y ) Am m2e (x , y ) A rispettivamente punti di minimo e di massimo per f (x, y) in A.M MAl Teorema di esistenza degli zeri (o equivalentemente dei valori intermedi), pre-R n✓ connessomettiamo le seguenti definizioni. Un insieme aperto A è detto se4. FUNZIONI CONTINUE 59[non è unione disgiunti di aperti non vuoti: se A = A A con A e A aperti1 2 1 2; ;.disgiunti allora A = oppure A =1 2 R nLa condizione di connessione, per insiemi aperti di è equivalente alla condi-R n✓ connesso per archizione di connessione per archi, dove un insieme A è detto R R n2 ✓ !se presi comunque due punti P , P A esiste una curva ' : [0, 1] con0 1 (c)⇢sostegno '([0, 1]) A tale che

'(0) = P e '(1) = P .0 1 convessi

Sono esempi di insiemi aperti connessi (per archi) gli insiemi e gli insiemi2stellati. I primi sono insiemi per i quali, presi comunque due punti P , P A, il0 1segmento che li congiunge P P risulta contenuto in A. Gli insiemi stellati sono0 1 2 2invece insiemi per i quali esiste un punto P A tale che per ogni P A, il0segmento P P che congiunge P con P risulta contenuto in A.0 0 AB CA è convesso, B è stellato ma non convesso, C è connesso ma non è convesso ne’ stellato

RAd esempio, in sono convessi tutti e soli gli intervalli della retta reale. Un discoR nI {P 2 | d(P,aperto (P ) = P ) < r} è un esempio di insieme convesso (e stel-r 0 0 R n{P 2 | d(P,lato) e dunque connesso. Una corona circolare 0 < r < 0) < R}è un aperto connesso (per archi) ma non risulta invece ne’ convesso ne’ stellato.R 2 \ {xL’insieme A = = 0} è invece un esempio di aperto non connesso. Osser-R 2[ {(x, 2 | ±viamo

che A = A A essendo A = y) x > 0} aperti connessi±+disgiunti non vuoti.(c) [Infatti se A non fosse connesso, siano A , A aperti non vuoti tali che A = A A e1 2 1 2\ ;. 2 2A A = Allora, preso P A e P A , una qualunque curva congiungente i due punti1 2 1 1 2 2non potrà avere sostegno contenuto in A e quindi A non potrà risultare connesso per archi.2 2Viceversa, fissato P A, consideriamo l’insieme A dei punti P A per i quali esiste una0 1 \curva con sostegno in A congiungente P con P , ed il suo complementare A = A A . Si può0 2 1[ \ ;.allora provare che A e A sono aperti con A A = A e A A = Se A è connesso avremo1 2 1 2 1 2;allora che A = e dunque che A = A , da cui segue che A è connesso per archi.2 160 2. CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI DUE VARIABILIR n✓In generale, si può provare che ogni insieme aperto non vuoto A è unione{A }di una famiglia di insiemi aperti connessi, a due a due disgiunti:i i2I [ \ ;, 8i 6A = A , A A = = j.i i ji2I2 I,

componente connessa

Ogni insieme A_i verrà detto dell'aperto A_i

Vale allora

Teorema 2.4. (dei valori intermedi)

Sia f (x, y) continua in A Domf, insieme aperto connesso (per archi). Allora

2 presi comunque (x , y ), (x , y ) A, la funzione assume tutti i valori compresi

tra i valori f (x , y ) e f (x , y ).

Dim. Per quanto osservato sopra, se A è un aperto connesso allora risulta con-

R R 2

!

nesso per archi. Dati P (x , y ), P (x , y ) A sia allora ' : [0, 1]

0 0 0 1 1 1

⇢

con sostegno '([0, 1]) A tale che '(0) = P e '(1) = P e consideriamo la

0 1 2

funzione F (t) = f ('(t)), t [0, 1]. Essendo f (x, y) continua in A e '(t) continua

⇢

in [0, 1] con '([0, 1]) A, avremo che F (t) risulta continua in [0, 1] e dal Teorema

dei valori intermedi per funzioni di una variabile reale, F (t) assume tutti i valori

compresi tra F (0) = f (x , y ) e F (1) = f (x , y ) e quindi f (x, y), assume tutti i

0 0 1 1

⇤

valori compresi tra f (x , y ) e