Calcolo differenziale: Matematica generale

IR

0 ≥ ∀x ∈ ⇒

1) Se (x) 0, la funzione risulta

f I f

non decrescente in I;

0 ≤ ∀x ∈ ⇒

2) Se (x) 0, la funzione risulta

f I f

non crescente in I;

∀x ∈ ⇒

0

3) Se (x) 0, la funzione risulta

f > I f

crescente in I;

0 ∀x ∈ ⇒

4) Se (x) 0, la funzione risulta

f < I f

decrescente in I.

Osservazione. Si

Il test di monotonia vale solo su intervalli.

1 che

consideri al proposito la funzione (x) =

f x

∪

risulta definita in = (−∞, 0) (0, +∞). Si ha

A

1

0 − ∈

(x) = 0 per ogni ma la funzione

f < x A

2

x

non risulta decrescente in A.

18

Corollario 2: Caratterizzazione funzioni costanti

→

intervallo aperto, : derivabile in

I f I I.

IR,

La funzione risulta costante in se e solo se

f I

∀x ∈

0 (x) = 0,

f I.

La caratterizzazione vale solo su

Osservazione.

intervalli. Si consideri come controesempio la fun-

zione  −

1 per 1 0

< x <



(x) =

f 2 per 1 2

< x <



0

Si ha (x) = 0 per ogni del campo di esistenza,

f x

ma non è costante.

f 19

Corollario 3: Teorema del limite della derivata

Sia un punto interno ad un intervallo I. Sia

x 0

→

: una funzione continua in e derivabile

f I I

IR

\ {x }.

in I 0 0

Se lim (x) esiste finito, allora risulta deri-

f f

x →x 0

vabile in e

x 0 0 0

(x ) = (x).

f l i m f

0 x →x 0

Esempio.

Determinare per quale valore del parametro reale

la funzione:

k  2

kx − − 1 per 0

e k x x <



(x) =

f 2 ≤

ln(1 + per 0 1

k x) x <



risulta derivabile in = 0.

x 20 0

Quando lim (x) non esiste

Osservazione. f

x →x 0

è sbagliato concludere che la funzione non è

f

derivabile in . Bisogna in questo caso ricorre-

x 0

re al calcolo del limite per tendente a zero del

h

rapporto incrementale.

Si consideri al proposito la funzione

 1

2 · 6

sin per = 0

x x

 x

(x) =

f 0 per = 0

x



0 0

Si ha (0) = 0 ma lim (x) non esiste.

f f

x →0

21

Corollario 4: Primitive

→

Sia : intervallo aperto.

f I I

IR,

Una funzione derivabile in viene detta primi-

g I

di in se

tiva f I 0 ∀x ∈

(x) = (x),

g f I.

Esempi

• ∈

(x) = = (∞, +∞) ammette come

f x, x I 12 2 , ma anche

primitiva la funzione = x

g(x)

12 2

la funzione (x) = + con costante

g x c, c

1

reale arbitraria.

1

• ∈

(x) = = (0, +∞) ammette come

f , x I

x

primitiva la funzione = ln ma anche

g(x) x,

la funzione (x) = ln + con costante

g x c, c

1

reale arbitraria.

La primitiva di una funzione non è quindi unica.

Si dimostra infatti che

Se ammette una primitiva in

Teorema. f g I

allora ne ammette infinite e sono tutte della forma

+ con costante reale arbitraria.

g(x) c c 22

I grafici di tutte le primitive di una funzione si ot-

tengono uno dall’altro per traslazione lungo l’asse

delle ordinate. Un modo per selezionare una primi-

tiva di consiste nell’assegnare il suo valore in

f y 0

∈

corrispondenza ad un punto ossia imporre

x I,

0

che il punto (x ) appartenga al suo grafico.

, y

0 0

Se la funzione ammette una primitiva (e quindi

f

infinite primitive), viene detta integrabile.

Non tutte le funzioni sono integrabili. Si può

dimostrare che le funzioni continue in sono

I

Osserviamo però

sicuramente integrabili in I.

che non è sempre facile determinare una primiti-

va di una funzione continua in quanto le primitive

di funzioni non sono necessariamente

elementari

a loro volta funzioni elementari. Ad esempio la

primitiva della funzione 2

−x

(x) =

f e

non si può esprimere come combinazione finita di

funzioni elementari (funzione degli errori).

23

Una funzione si dirà integrabile elementar-

f

se le sue primitive si ottengono combinan-

mente

do un certo numero di funzioni elementari.

L’insieme di tutte le primitive di in un intervallo

f

viene indicato con il simbolo

I Z (x)dx

f

che viene detto di in

integrale indefinito f I.

L’integrale indefinito rappresenta quindi un insie-

me di funzioni. Se è una primitiva di , con un

g f

abuso di scrittura si porrà:

Z (x)dx = +

f g(x) c

24

Primitive immediate

1

α α+1

R 6 −1.

• + se =

= x c, α

x dx α+1

R

⇒

i) = 0 = +

α dx x c

2

x

R

⇒ +

ii) = 1 = c

α xdx 2 √

√

1 23

R 3

⇒

iii) = = +

α xdx x c

2 √

1

1 R √

− ⇒

iv) = = 2 +

α dx x c

2 x

1 1

R −

−2 ⇒ = +

v) = dx c

α 2

x x

1

R

• | |

= ln +c, per 0 o per 0.

dx x x > x <

x x

a

R x 6

• + con 0, = 1.

= c, a > a

a dx ln a

x x

R

• = +

e dx e c

R

• −

sin = cos +

xdx x c.

R

• cos = sin +

xdx x c.

1

R

• = tan +

dx x c.

2

cos x

1

R

• = arctan +

dx x c.

2

1+ x 25

Metodi di integrazione

1. Integrazione per scomposizione

Se e sono funzioni integrabili su un intervallo

f h

allora la funzione (αf + risulta integrabile

I, βh)

in e

I

Z Z Z

(αf (x) + = (x)dx+β

βh(x)) dx α f h(x)dx

2. Integrazione per parti

Siano ed funzioni derivabili su un intervallo

f h 0

Se la funzione (x)h(x) è integrabile in lo è

I. f I

0

anche la funzione (x)h (x) e si ha

f

Z Z

0 0

−

(x)h (x)dx = (x)h(x) (x)h(x)dx

f f f

La funzione viene detta mentre la

fattore finito,

f

funzione Il fattore finito

fattore differenziale.

h

si deve semplificare con la derivazione ed il fattore

differenziale deve essere facilmente integrabile.

26

3. Integrazione per sostituzione

Sia una funzione integrabile su un intervallo e

f I

sia una sua primitiva:

F Z (t)dt = (t) +

f F c.

→

Sia : una funzione derivabile nell’interval-

h J I

lo Allora la funzione composta

J. 0

(h(x))h (x)

f

ammette come primitiva in la funzione (h(x)):

J F

Z 0

(h(x))h (x)dx = (h(x)) +

f F c

Casi particolari: sostituzioni immediate

α 6 −1 ⇒

i) (t) = =

f t , α α+1

Z h(x)

α 0 +

(x)dx = c.

h(x) h +1

α

1 ⇒

ii) (t) =

f t 0 (x)

Z h |h(x)|

= ln +

dx c.

h(x) 27

t 6 ⇒

iii) (t) = 0, = 1

f a , a > a 1

Z ) )

h(x h(x

0 (x)dx = +

a h a c

ln a

⇒

iv) (t) = sin

f t

Z 0 −cos(h(x))

(x)dx = +

si n(h(x))h c.

⇒

v) (t) = cos

f t

Z 0 (x)dx = +

cos(h(x))h si n(h(x)) c.

1 ⇒

vi) (t) =

f 2 (t)

cos

1

Z 0 (x)dx = tan(h(x)) +

h c.

2

cos h(x)

1 ⇒

vii) (t) =

f 2

1 + t

1

Z 0 (x)dx = arctan(h(x)) +

h c.

2

1 + (x)

h 28

Punti di massimo e minimo locali

→ ∈ ∩ 0

Sia : Un punto è un punto

f A x A A

IR. 0

se esiste 0 tale che

di minimo locale per f ε >

≥ ∀x ∈ ∩

(x) (x ), (x ).

f f A I

0 0

ε

Se il punto è ad si può scegliere

interno

x A,

0

⊂

(x )

I A.

0

ε

La definizione di si ot-

punto di massimo locale

tiene cambiando il verso della disuguaglianza.

Osservazioni

1) Un punto di minimo /massimo assoluto è an-

che un punto di minimo/massimo locale ma

non è vero il viceversa.

2) La definizione di punto di massimo/minimo lo-

cale non richiede nessuna ipotesi di regolarità

della funzione . Nei seguenti esempi il punto

f

è sempre un punto di minimo locale.

x 0 29

Esempio 1.

Funzione continua ma non derivabile in :

x 0

y x x

0

Esempio 2.

Funzione discontinua in :

x 0

y bc b

x x

0

Cosa si può dire invece se la funzione risulta deri-

vabile in ?

x 0 30

Teorema di Fermat

→

Sia : ed un punto di minimo (massi-

f A x

IR 0

mo) locale ad Se risulta

interno derivabile

A. f

in allora

x 0 0 (x ) = 0.

f 0

I punti che annullano la derivata prima di una

funzione vengono detti punti stazionari.

Osservazioni.

1) In un punto di frontiera del campo di esistenza

che risulta di massimo (minimo) locale non è detto

che la derivata prima si annulli. x

Si consideri ad esempio la funzione (x) = per

f e

∈ [0, 2].

x

2) Un punto stazionario non risulta necessaria-

mente un punto di massimo o di minimo locale.

3

Si consideri ad esempio la funzione (x) = ed

f x

il punto = 0.

x 0 31

Studio della natura di un punto critico

→

Sia : I intervallo aperto.

f I IR,

∈

Un punto viene detto se è

punto critico

x I

0

un punto stazionario oppure se è un punto in cui

la funzione è continua, ma non derivabile.

I punti critici non sono necessariamente punti di

massimo o minimo locale: si considerino al pro-

√

3

posito le funzioni (x) = e (x) = ed il

3

f x f x

punto = 0.

x 0 Sia continua in un intorno ) e

Teorema. f I(x 0

\ {x }

derivabile in ) con punto critico. Se

I(x x

0 0 0

 ≥ ∈

0 (x) 0 per ),

f x I(x x < x

 0 0

≤ ∈

0 (x) 0 per ),

f x I(x x > x

 0 0

allora è un punto di massimo locale.

x 0 32

Sia continua in un intorno ) e

Teorema. f I(x 0

\ {x }

derivabile in ) con punto critico. Se

I(x x

0 0 0

 0 ≤ ∈

(x) 0 per ),

f x I(x x < x

 0 0

≥ ∈

0 (x) 0 per ),

f x I(x x > x

 0 0

allora è un punto di minimo loc