Calcolo differenziale: Matematica generale

Calcolo differenziale

• Rapporto incrementale e derivata

• Linearizzazione di una funzione

• Derivabilità e continuità

• Punti di non derivabilità

• La funzione derivata

• Derivate funzioni elementari

• Operazioni aritmetiche e derivazione

• Derivata funzione composta

• Derivata funzione inversa

• Derivate di ordine superiore

• Teorema di Lagrange e Corollari

- Test di monotonia

- Caratterizzazione funzioni costanti

- Teorema del limite della derivata

1

- Primitive

• Primitive immediate

• Metodi di integrazione

- Integrazione per scomposizione

- Integrazione per parti

- Integrazione per sostituzione

• Punti di massimo e minimo locali

• Teorema di Fermat

• Studio della natura di un punto critico

• Studio della natura di un punto di frontiera

• Punti di massimo e minimo globali

• Funzioni concave e convesse

• Punti di flesso

• Formula di Taylor con resto secondo Peano

• Condizioni sufficienti per l’esistenza di massi-

mi e minimi locali e punti di flesso

• Schema per lo studio di funzione

2

Rapporto incrementale

∈ 6 ∈

Sia = (a, ed = 0 tale che +

I b), x I h x h I.

0 0

→

Data una funzione : la quantità

f I IR, −

4f (x + (x )

(x f h) f

, h) 0 0

0 =

h h

viene detta relativo al pun-

rapporto incrementale

to e all’incremento

x h.

0

Da un punto di vista geometrico, esso rappresenta

il coefficiente angolare della corda congiungente i

punti del grafico (x (x )) e (x + (x +

, f h, f h)).

0 0 0 0

y b

+

(x h)

f 0 b

(x )

f 0 x +

(x x

h)

0 0

3

Si dice che è se esiste il

derivabile in finito

f x 0

−

(x + (x )

f h) f

0 0

lim h

h→0

e tale numero viene detto di in ed

derivata f x 0

indicato con uno dei seguenti simboli:

df

0 (x ), (x ), (x ).

f Df

0 0 0

dx 0

Da un punto di vista geometrico (x ) rappresen-

f 0

ta il coefficiente angolare della retta tangente al

grafico di in (x (x )).

f , f

0 0

Esempi 4f (2, h)

2

• ⇒ ⇒

(x) = = 2 = +4

f x , x h

0 h

0 (2) = 4.

f 4f

1 (1, 1

h)

• ⇒ − ⇒

(x) = = 1 =

f , x 0 1+

x h h

0 −1.

(1) =

f √ 2

• −4 ⇒

(x) = + 3x, =

f x x 0

√ 2

4f − −

(−4, 5h + 4 2

h) h 0

⇒ (−4) =

= f

h h

5

− .

4 4

Linearizzazione di una funzione

Se è derivabile in si ha

f x 0 0 ·

(x + = (x ) + (x ) +

f h) f f h o(h)

0 0 0

Ponendo = + si ottiene

x x h,

0 0 · − −

(x) = (x ) + (x ) (x ) + )

f f f x o(x x

0 0 0 0

e nei punti vicini ad possiamo approssimare

x x 0

la funzione con la funzione lineare

f 0 −

(x) = (x ) + (x )(x )

y f f x

0 0 0

che ammette come grafico la al

retta tangente

grafico di nel punto (x (x )):

f , f

0 0

y b

+

(x h)

f 0 b

(x )

f 0 x +

(x x

h)

0 0

5

Derivabilità e continuità

Se una funzione è derivabile in

Teorema. f x 0

allora è continua in .

x 0

La derivabilità è solo una condizio-

Osservazione.

ne sufficiente per la continuità. Esistono funzioni

continue in un punto che sono ivi derivabili.

non

Le seguenti funzioni sono tutte continue in = 0

x

ma non sono ivi derivabili:

√ (flesso a tangente verticale)

1) (x) = 3 x

f |x|

2) (x) = (punto angoloso)

f √

3 2

3) (x) = (punto di cuspide)

f x

 1

· 6

sin per = 0

x x

 x

4) (x) =

f 0 per = 0

x

 6

Punti di non derivabilità

Sia una funzione continua in un punto interno

f x 0

al suo dominio. Il punto è un punto di non

x 0

derivabilità quando si verifica una delle seguenti

condizioni: −

(x + (x )

f h) f

0 0

1) lim esiste infinito.

h→0 h

Il grafico di ammette in (x (x )) una retta

f , f

0 0

tangente verticale ed il punto viene detto

x 0

punto di flesso a tangente verticale.

y y

(+∞) (−∞)

x x

x x

0 0

− −

(x + (x ) (x + (x )

f h) f f h) f

0 0 0 0

6

2) lim = lim

+

h→0 h h

h→0

−

ed almeno uno esiste finito.

Il punto viene detto punto angoloso.

x 0 7

Se entrambi i limiti sono finiti si pone:

−

(x + (x )

f h) f

0 0 0

lim = (x ) (derivata destra)

f 0

+

h

+

h→0 −

(x + (x )

f h) f

0 0 0

= (x ) (derivata sinistra)

lim f 0

−

h

h→0

− −

(x + (x )

f h) f

0 0

3) lim = +∞ (−∞)

+

h→0 h −

(x + (x )

f h) f

0 0 −∞

= (+∞)

lim

h→0

− h

Il punto viene detto punto di cuspide.

x 0

y y

(−∞) (+∞) (+∞) (−∞)

x x

x x

0 0

4) almeno uno dei due limiti

−

(x + (x )

f h) f

0 0

lim ,

+

h→0 h −

(x + (x )

f h) f

0 0

lim

h→0

− h

non esiste. 8

Quando il punto è un punto del

Osservazione. x 0

dominio della funzione non interno ad esso, si può

calcolare solo il limite destro o sinistro del rap-

porto incrementale in . In questo caso esisterà

x 0

eventualmente solo la derivata destra o sinistra

della funzione in . Una situazione tipica di que-

x 0

sta situazione si ha quando la funzione è definita

f

in un intervallo chiuso [a, b].

9

La funzione derivata

Una funzione è derivabile in un intervallo =

f I

(a, se risulta derivabile in tutti i punti di

b) I.

In questo caso risulta definita una funzione che

associa ad ogni punto di il valore della derivata

I

di in quel punto:

f 0

−→ (x)

x f

Tale funzione viene detta ed

funzione derivata

indicata con uno dei seguenti simboli:

df

0 (x)

(x), (x),

f Df dx

10

Derivate funzioni elementari

α α−1

⇒ ·

0

(x) = (x) =

f x f α x

x x

0

⇒ · 6

(x) = (x) = ln 0, = 1.

f a f a a, a > a

x x

⇒ 0

(x) = (x) =

f e f e . 1

0

⇒ · 6

(x) = log (x) = log 0, = 1.

f x f e, a > a

a

a x

1

0

⇒

(x) = ln (x) = .

f x f x

⇒ 0

(x) = sin (x) = cos

f x f x.

0

⇒ −

(x) = cos (x) = sin

f x f x.

11

Operazioni aritmetiche e derivazione

Siano e due funzioni derivabili in = (a,

f g I b).

· · ∈

1) (x)) = (x),

D(c f c Df c IR.

± ±

2) (x) = (x)

D(f g(x)) Df Dg(x).

· · ·

3) (x) = (x) + (x)

D(f g(x)) Df g(x) f Dg(x)

(si estende anche a più fattori)

· − ·

(x) (x) (x)

f Df g(x) f Dg(x)

4) =

D 2 (x)

g(x) g

Esempi √ 3 x

·

− (x) = log + 3 ,

(x) = 2x 3 x, f x x

f 3

√

x x

x

·

(x) = (x) = ,

f x e , f 2 ln x

sin x

(x) = tan = .

f x cos x 12

Derivata funzione composta

→ → ⊆

Siano : : (A) e si

f A g B f B

IR, IR,

consideri la funzione composta

◦ →

:

g f A IR.

∈

Se è derivabile in e è derivabile in

f x A g

0 ◦

= (x ) allora la funzione composta (g )

y f f

0 0

risulta derivabile in e

x 0

0 0 0 0

◦ · ·

)(x ) = (y ) (x ) = (f (x )) (x ).

D(g f g f g f

0 0 0 0 0

Esempi x

√ 2 +4

x (x) =

(x) = , F

F e 1

1+ e x