Calcolo Differenziale Integrale - teoria suntiva, prof. Gramtchev

Criteri di convergenza di successioni di funzioni

Data una serie di potenze, si verifica sempre una delle seguenti condizioni:

• La serie converge solo per x = 0.
• La serie converge per ∀ x ∈ ℝ.
• Esiste ρ tale che la serie converge per |x| < ρ e non converge per |x| > ρ.

Dunque, l’insieme di convergenza di una serie di potenze è sempre un intervallo reale di centro ρ l’origine che si riduce a nel caso (1), ad ℝ nel caso (2) ed ad un intervallo di estremi {-ম, ম} nel caso (3). A seconda dei casi, si dice rispettivamente che la serie di potenze ha raggio di convergenza ρ = +∞, 0, ম.

Metodi per trovare il raggio di convergenza

• Criterio della radice (o Cauchy)
  • Consideriamo una serie a termini non negativi per la quale esista il limite. Il carattere della serie risulta convergente se |a_n|^1/n < 1.
  • Divergente se |a_n|^1/n > 1.
  • Non si può stabilire il carattere della serie se |a_n|^1/n = 1.
• Criterio del rapporto (o d'Alembert)
  • Consideriamo una serie a termini positivi tale che esista il limite. Converge se a_n+1/a_n < 1.
  • Diverge se a_n+1/a_n > 1.
  • Non stabilisce il comportamento della serie se a_n+1/a_n = 1.
• Criterio di Leibniz
  • Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi hanno segno opposto.
  • Per n pari il termine è positivo; per n dispari il termine è negativo.
  • Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz: Data la serie di termini a segno alterno, se la successione è definitivamente positiva, decrescente e tende a 0, allora si ha che: la serie è convergente ad a.
  • Le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono ad a, il resto n-esimo è minore al termine successivo.

Differenza tra convergenza puntuale e uniforme

Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

(f_n)_n∈N converge puntualmente a f in I se e solo se:

∀ ε > 0, ∀ x ∈ I, ∃ m, ∀ h, k > m: |f_k(x) - f_h(x)| < ε (1.1)

Criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

(f_n)_n∈N converge uniformemente a f in I se e solo se:

∀ ε > 0, ∃ m, ∀ x ∈ I, ∀ h, k > m: |f_k(x) - f_h(x)| < ε (1.2)