Calcolo Differenziale Integrale - teoria suntiva, prof. Gramtchev

1)Criteri di convergenza di successioni di funzioni

Data una serie di potenze

, si verifica sempre una delle seguenti condizioni:

=

1) la serie converge solo per .

x 0

∀x∈ℝ

2) la serie converge .

ρ ρ ρ −ρ ρ

∃ > ∈ℝ ⇔ < <

3) , con , tale che la serie converge per e non converge per

0 | x |< x |

ρ

x |> −ρ ρ

⇔ < > .

(x )∪(x )

Dunque, l’insieme di convergenza di una serie di potenze è sempre un intervallo reale di

centro −ρ

l’origine che si riduce a nel caso (1), ad nel caso (2) ed ad un intervallo di estremi

{0} ℝ

ρ nel

,

caso (3). A seconda dei casi, si dice rispettivamente che la serie di potenze ha raggio di

convergenza

ρ ρ ρ

= = +∞, .

0,

Per trovare il raggio di convergenza utilizzo uno dei metodi sotto citati:

-Criterio della radice ( o cauchy)

Consideriamo una serie a termini non negativi per la quale esista il limite

.

Il carattere della serie risulta:

convergente se

• divergente se

• non si può stabilire il carattere della serie se

•

-Criterio del rapporto ( o d'alambert)

Consideriamo una serie a termini positivi tale che esista il limite

converge se

• diverge se

• non stabilisce il comportamento della serie se

•

- Criterio di Leibnitz

Si dicono serie a termini di segno alterno le serie a termini reali tali che due termini consecutivi

hanno segno opposto.

La serie è dunque a termini di segno alterno, infatti:

per n pari il termine è positivo;

• per n dispari il termine è negativo.

•

Per queste serie vale il seguente criterio di Leibniz:

Data la serie di termini a segno alterno , se la successione è

definitivamente positiva, decrescente e tende a 0, cioè:

•

•

allora si ha che:

la serie è convergente ad

• Le somme parziali di ordine pari e quelle di ordine dispari sono monotone e tendono ad

• , il resto n-esimo è minore al termine

•

2)Differenza tra convergenza puntuale e uniforme

Criterio di Cauchy per la convergenza puntuale

(f(n))n∈

N converge puntualmente a f in I se e solo se

∀ ∈I, ∀ ∃m ∀h,

x ε > 0, : |fk(x) − fh(x)| < ε, k > m (1.1)

criterio di Cauchy per la convergenza uniforme

(f(n))n∈

N converge uniformemente a f in I se e solo se

∀ε ∃m ∀x ∈I, ∀h,

> 0, : |fk(x) − fh(x)| < ε, k > m (1.2)

la differenza sostanziale tra convergenza puntuale e uniforme sta nel fatto

che, fissato un valore ε ≥ 0 piccolo a piacere, si può trovare in corrispondenza

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ad esso un indice n0 che non dipende da x (la convergenza è quindi uniforme

e non puntuale, cioè dipendente dal punto). Quindi, una volta fissato ε ≥ 0

, ogni funzione fn con n ≥ n0(ε) approssima globalmente su tutto X la

funzione f a meno di un errore ε. Intuitivamente, si può considerare la

convergenza uniforme come il fatto che le funzioni della successione non si

allontanano dalla funzione limite f per una distanza maggiore di ε (vedi

figura).

3)Equazioni differenziali del primo o del secondo ordine <- schema di

risoluzione

primo ordine:

se è dell' altro tipo utilizzo cambio semplicemente il segno di e ^- nella prima e ^+ nella seconda.

Secondo ordine : ∈R

ay + by + cy = 0 con a, b, c

′′ ′

Che si scriverà in questo modo: ⇒Δ

aλ + bλ + c = 0 (equazione caratteristica = b − 4ac)

2 2

⇒λ

Δ > 0 ̸= λ2 y(x) = = λ y(x) = c e + c e

1 2 1 x 2 x

1 2

⇒λ

Δ = 0 (= λ ) y(x) = c e +c xe

1 2 1 x 2 x

la x serve a renderle lin. indipend.)

( ⇒λ ∈C ⇒λ

Δ < 0 , λ , λ = α + iβ perciò la soluziione

1 2 1 2

sarà:

y(x) = ex[c1cos(βx) + c2sin(βx)]

4)calcolo del volume di un solido di rotazione e calcolo del suo bordo esterno

(formule e disegno - e dirgli quando una superficie è regolare)

Per il calcolo del volume utilizziamo la formula:

dove a è il pirmo punto e b il secondo.

Per il terzo punto:

Prima di tutto esprimo y(z) nella forma z(y) e mi trovo 2 punti y[0,6] ( nel caso in cui z era [-2,0] )

la retta y(z)=-3z diventa z(y)=-1/3y

utilizzo le equazioni parametriche risulta :

rifaccio il disegno con z su ,y sx e x dxgiu.

Ora la superficie ha equazioni parametriche:

ora..

5)integrale curvilineo di seconda specie