Calcolo differenziale e derivate

CALCOLO DIFFERENZIALE

Com'è frequente il comportamento della funzione:

Considero la retta passante per i punti:

y₁ = ax + b

Ho la funzione f, il punto x₀ appartenente al dominio di definizione e la domanda è: vicino ad x₀ qual è la retta che meglio approssima la funzione f?

L’equazione della retta passante per x₀ e x₁ è:

Se x = x₀ allora (y - f(x₀)) / (g(x₁) - g(x₀)) = 0

Quindi: y = f(x₀)

Se x = x₁

(y - f(x₁)) / (g(x₁) - g(x₀)) = 1

Quindi y - f(x₀) = g(x₁) - g(x₀)

⇒ y = f(x₀)

y = [f(x₁) - f(x₀)] / (x₁ - x₀) · x + [f(x₀) - (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀) · x₀]

Se fisso due punti del grafico di f₁ (x₀, f(x₀)) e (x₁, f(x₁)) la retta passante per i due punti è quella descritta in primo e macroincidente, tanto più x₁ è vicino a x₀, tanto più il grafico della retta assomiglia al grafico della funzione vicino a x = x₀.

Questo è il miglior approssimazione del grafico della mia funzione f vicino al punto (x₀, f(x₀)).

La retta secante ha equazione y = f(x₁) + (f(x₁) - f(x₀))/(x₁ - x₀) * (x - x₀), la retta tangente avrà equazione:

f(x₁) = f(x₀) + s(x - x₀) dove

s = lim_{x1 → x0} (f(x₁) - f(x₀))/(x₁ - x₀)

Nomenclatura:

• Rapporto incrementale relativo a x₁ e x₀.
• (f(x₁) - f(x₀))/(x₁ - x₀)

Derivata di f nel punto x₀ = lim_{x1 → x0} (f(x₁) - f(x₀))/(x₁ - x₀) se esiste ed è finito.

Derivata

• Analiticamente: lim_{x1 → x0} (f(x₁) - f(x₀))/(x₁ - x₀)
• Geometricamente: è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto (x₀, f(x₀)) e la retta tangente è la retta che meglio approssima la funzione f vicino x₀.

Quindi può non esistere? In quali situazioni esiste?

I^o Caso: → NB: Le derivate non esistono in x₀ = 0

f(x) = 3√x x₀ = 0

y = a x + b → definisce tutte le rette tranne quelle verticali.

lim_{x^-→0 x^1/3 - y^1/3 / x}

1/x^1/3 tende a ∞ ma non è finito.

II^o Caso: → NB: Le derivate non esistono in x₀ = 0

f(x) = |x| x₀ = 0

lim_{x⁺→0 |x| - |0| / x → 1}

lim_{x^-→0 |x| - |0| / x → -1}

Limite finito.

Derivate Composte:

f(g(x)) ⇒ Derivata ➔ f'(g(x)) · g'(x)

È la derivata della funzione più esterna, per la derivata di quella interna

Esercizi:

I FUNZIONE:

• f₁(x)=log_et ⇒ D[f₁(x)]=D(log_et) · 1/t
• g₁(x)=log_e(1+x²) ⇒ f'₂(x)=1+x²...D[f₂(x)]=D(1+x²)=2x
• Quindi:
• f(g₂(x))=f₁(g₂(x)), f'₁(x)=1/f_g(x)
• f'₂(x) ⇒ f'₁og₂ ⇒ 2x/(1+x²)

II FUNZIONE:

• g(x)=sin√x ⇒ f₃(t)=sin t
• g(x)=√x ⇒ g'(x)=1/(2√x)
• f(x)=f'(x) · cos(f₂(x))=cos√x/(2√x)

III FUNZIONE:

• g(x)=e^-x ⇒ g₃(t)=e^t ⇒ f₂(t)=e^t
• g(x)=f₂(x)=-x ⇒ f₂'(x)=-2x
• f(g₂(x))=e^b·x(-2x)=-2x·e^-2x

IV FUNZIONE:

• g(x)=2^1+√x3 ->1/x
• g₂(x)=1+x³ ⇒ g₁(g₂(x))=g'(x)
• FUNZIONE COMPOSTA A UNA NOTA.
• g₁(t)=√t, g₂(x)=1+x³

Quindi:

• f(g₁g₂(x))=f₁(x)=3x²/2√1+x³
• log_e2,2^1+x3=3x²/2√1+x³

Funzione arctg

Si tratta della funzione inversa della tangente ed è stretta nell'intervallo ⟨-π/2,+π/2⟩

• f₂(b)=f(arctg x)=x
• Proprietà delle funzioni inverse e
• f'(x)(g₂(x))=f'(x)-f₃
• f'(arctg x)=1-(1+x²)