Calcolo differenziale e approssimazioni

Analisi matematica: Calcolo differenze e approssimazioni

Sia \(A : (a, b) \to \mathbb{R}\) derivata in un punto \( x_0 \). Si chiama un suo incremento \( dx \) ( \(| dx | \ll 1 \) ). In conseguenza, \( A \) subisce un incremento \( \Delta t = A(x_0 + dx) - A(x_0) \).

Incrementi e tangente al grafico

Sostituiamo al grafico \( A \) vicino al \( x_0 \), la nostra tangente nel punto \( P = (x_0, A(x_0)) \). Se incrementa subito lungo la retta tangente:

• \( dx = i \cdot \cos \alpha \)
• \( dy = i \cdot \sin \alpha \)
• \( i = \frac{dx}{\cos \alpha} \)
• \( dt = \frac{dx}{\cos \alpha} \cdot \sin \alpha = \frac{df}{\cos \alpha} \cdot dy = dt = \ldots \cdot f'(x_0) dx \)

\( \delta t = f'(x_0) dx \), tale incremento proporzionale a \( dx \), prende il nome di differenziale di \( A \) nel punto \( x_0 \) ed è indicato col simbolo \( d f(x_0) = f(x_0) dx \).

Illusione di \( \Delta t - dt \)

Qual è l'errore commesso nella approssimazione? Metà del:

\( \lim_{dx \to 0} \frac{A(x_0 + dx) - A(x_0)}{dx} = f'(x_0) \)

\( ? \non \) dovuto:

\( A(x_0 + dy) - A(x_0) \)

\( \epsilon(dx) = f'(x_0) + \epsilon(dx) \)

\( \epsilon(dx) \) indica una quantità da tendere a zero se \( dx \to 0 \).

Calcolo differenziale e approssimazioni

Sia \( f: (a,b) \to \mathbb{R} \) derivata in un punto \( x_0 \) e scelto un suo incremento \(\Delta x\) (0. In conseguenza si avrà un incremento \(\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\). Sostituiamo al grafico di \( f \) vicino ad \( x_0 \) la sua retta tangente nel punto \( P = (x_0, f(x_0)) \).

Incrementi lungo la retta tangente

Gli incrementi subito lungo la retta tangente il cateto:

• \( dx = i \cdot \cos \alpha \)
• \( i \cdot \cos \alpha \) = \( i \cdot \cos \alpha \) dopo \( i = \frac{dx}{\cos \alpha} \)
• \( df = f'(x_0) dx \)

\( df = f'(x_0) dx \)

Gli incrementi proporzionali a \( dx \), il cui nome è: differenziale di \( f \) nel punto \( x_0 \) e si valuta col simbolo \( df(x_0) = f'(x_0) dx \).

Che dà \(\Delta f = \Delta x\). Qual è l'errore commesso nelle approssimazioni in \(\Delta y\) da \( E(x_0) \)?

\(\lim_{\hat{\iota}\to x_0}=[(f(x_0 + \hat{\iota})-f(x_0) - f'(x_0)] / \Delta x = [ f'( x_0)]\)

Si può scrivere:

\(f(x_0 + dx) - f(x_0) = f'(x_0) + \epsilon(dx)\)

\( \epsilon(dx) \) equivale a una quantità che tende a zero se \( dx \to 0 \).