Calcolo delle probabilità fino al valore atteso

Probabilità e calcolo combinatorio

Permutazioni

Permutazioni: (in quanti modi posso cambiare l’ordine)

( ) ( )n n−1 n−2 ... = n!

Disposizioni

Disposizioni: (scelte di r oggetti a partire da n oggetti tra loro distinti; rilevante l’ordine)

• Disposizioni senza ripetizione: ( ) ( ) n n−1 n−2 ... (n−r + 1)
• Disposizioni con ripetizione: n^r

Combinazioni

Combinazioni: (oggetti distinti; non interessa l'ordine; sempre senza ripetizioni)

( )n! / ( r! (n−r)! )

Coefficiente multinomiale

n! / (n₁! n₂! ... n_r!)

Eventi

Un evento è una qualunque proposizione verificabile, ossia che può assumere 2 valori logici: vero e falso. Dato un esperimento casuale, si dice spazio campionario l’insieme di tutti i suoi esiti di base (detti punti campionari o eventi elementari). Ogni evento è dunque un sottoinsieme dello spazio campionario.

Algebra degli eventi

Proprietà: (valgono allo stesso modo per intersezione e unione)

• Commutativa: A ∩ B = B ∩ A
• Associativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• Distributiva: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• Complemento: (A^-)^- = A
• Identità: A ∩ ∅ = ∅; A ∪ S = S
• Domino: A ∪ ∅ = A; A ∩ S = A
• Leggi di De Morgan:
  • (A ∩ B)^- = A^- ∪ B^-
  • (A ∪ B)^- = A^- ∩ B^-

Probabilità

Approccio frequentista

La probabilità è il limite a cui tende la frequenza relativa con cui un dato evento si è manifestato in un certo numero di repliche dell’esperimento.

\( \lim_{n \to \infty} P(A) = \frac{n(A)}{n} \)

Approccio soggettivista

La probabilità esprime il grado di fiducia che un soggetto ha nel verificarsi di un evento A.

Approccio assiomatico

La probabilità è una funzione che deve sottostare ad alcuni assiomi:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 per ogni evento A.
• P(S) = 1

Sigma-additività

Si ha:

\( \sum_{i=1}^{\infty} P(A_i) = P(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i) \)

Regole del calcolo delle probabilità

• P(A^-) = 1 – P(A)
• P(∅) = 0
• A ⊆ B implica P(A) ≤ P(B)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B^-) da cui P(A ∪ B) = P(A ∩ B^-) + P(B)
• P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Principio di inclusione ed esclusione