Calcolo delle probabilità e statistica

C C

∪ ∪

E E = E E = S

∩ ∅

Definizione. Due eventi E ed F tali che E F = si dicono incompati-

bili. {esce

Un esempio è il lancio di un dado, in cui E = un numero pari}. F={esce

un numero dispari}

E ed F sono incompatibili perché non può uscire un numero che è sia pari che

∩ ∅.

dispari. =⇒ E F =

Due eventi incompatibili possono anche essere uno il complementare dell’altro.

Inoltre, le definizioni si possono essere a più eventi:

n

[ ∪ ∪ ∪

E = E E ... E

i 1 2 n

i=1

n

\ ∩ ∩ ∩

E = E E ... E

i 1 2 n

i=1 7

̸ ∀i ̸ ⇐⇒

con E = E = j (o meglio E = E i = j)

i j i j ⊂

Osservazione. Se gli esiti di E sono contenuti in F, scriveremo E F (oppure

⊃

F E), ossia se si verifica E si verifica anche F.

Proprietà:

• ∪ ∪ ∩ ∩

Commutativa: E F = F E, E F = F E

• ∪ ∪ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩

Associativa: (E F ) G = E (F G); (E F ) G = E (F G)

• ∪ ∩ ∩ ∪ ∩

Distributiva: (E F ) G = (E G) (F G)

∪ ∩ ∪ ∩ ∪

E (F G) = (E F ) (E G)

2.1 Leggi di De Morgan

• n n

C

[ \ C

E = E

I i

i=i i=1

• n n

C

\ [ C

E = E

i i

i=1 i=1

2.2 Assiomi della probabilità

La probabilità di un evento può essere definita in termini di frequenza relativa.

Supponiamo che un esperimento (il cui spazio campionario sia S) venga ripetuto

più volte sotto le medesime condizioni. Per ogni evento E, definiamo:

• n(E) = numero di volte in cui E si verifica.

• n = numero di ripetizioni dell’esperimento.

Definizione. Con la notazione scritta sopra definiamo:

n(E)

P (E) = lim n

n→+∞

n(E) → →

Come sappiamo che P (n) (per n +∞) dà sempre lo stesso valore per

n

ogni successione di ripetizioni dell’esperimento?

Dobbiamo introdurre degli assiomi, detti assiomi della probabilità. Sia P(E)

la probabilità dell’evento E, allora:

• ≤ ≤

0 P (E) 1 (0 è l’evento impossibile, 1 l’evento certo)

• P (S) = 1 (l’unico evento con probabilità 1 è lo spazio campionario)

• ∀{E } ∩ ∅

successione di eventi disgiunti E , E ... (ossia E E =

i i=1,...,n 1 2 i j

̸

con i = j) allora: 8

+∞ +∞

[ X

P E = P (E )

i i

i=1 i=1

Proprietà: C −

1) P (E ) = 1 P (E)

⊂ ≤

2) Se E F =⇒ P (E) P (F )

∪ − ∩

3) P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F )

Dimostrazione 1: dal 2° assioma della probabilità sappiamo che 1 = P (S).

C

Dal 3° assioma invece sappiamo che E e E sono incompatibili.

C C

∪

P (S) = P (E E ) = P (E) + P (E )

C C −

1 = P (E) + P (E ) =⇒ P (E ) = 1 P (E)

⊂

Dimostrazione 2: E F =⇒ scrivo F come

C

∪ ∩

F = E (E F )

C ∩

E ed E F sono ovviamente disgiunti. Ora, C ∩

P (F ) = P (E) + P (E F )

C ∩ ≥ ≥

Ma poichè P (E F ) 0 (è non negativa), necessariamente P (F ) P (E)

∪ ∪ ∩

Dimostrazione 3: E F = E (E F ) disgiunti anche essi.

C C

∪ ∪ ∩ ∩

P (E F ) = P (E (E F )) = P (E) + P (E F )

Ora, C C

∩ ∪ ∩ ∩ ∩

F = (E F ) (E F ) =⇒ P (F ) = P (E F ) + P (E F )

∪ − ∩

P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F )

Osservazione. Se E ed F sono incompatibili, la 3) diventa:

∪

P (E F ) = P (E) + P (F )

∩

P (E F ) = 0

∩ ∅

questo perchè E F = (P (∅) = 0)

Proposizione. Siano E, F , G tre eventi di uno spazio campionario S. Allora:

9

∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

P (E F G) = P (E)+P (F )+P (G)−P (E F )−P (E G)−P (F G)+P (E F G)

Dimostrazione.

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ − ∪ ∩

P (E F G) = P [(E F ) G] = P (E F ) + P (G) P [(E F ) G] =

∪ − ∩ ∪ ∩

= P (E F ) + P (G) P [(E G) (F G)] =

∪ − ∩ − ∩ ∩ ∩ ∩

= P (E F ) + P (G) P (E G) P (F G) + P (E G F G) =

∪ − ∩ − ∩ ∩ ∩

= P (E F ) + P (G) P (E G) P (F G) + P (E F G) =

− ∩ − ∩ − ∩ ∩ ∩

= P (E) + P (F ) P (E F ) + P (G) P (E G) P (F G) + P (E F G)

2.3 Principio di inclusione/esclusione

∪ ∪ ∪

Se andiamo a calcolare P (E E ... E ) otteniamo che essa sarà pari a:

1 2 n n n

n

\ \

X X X n+1

r+1 ·P

− ∩E · E +...+(−1) E

P (E ) P (E )+(−1) P

i i,1 i,2 i,j i

j=1 i=1

i=1 i <i i <i <i

1 2 1 2 r

Definizione. Due eventi E, F si dicono indipendenti se

∩ ·

P (E F ) = P (E) P (F )

ovvero se la probabilità che si verificano entrambi gli eventi è il prodotto delle

probabilità.

Più in generale, gli E per i = 1, 2, ...n si dicono indipendenti se

i n

Y

∩ ∩ ∩

P (E E ... E )) P (E )

1 2 n i

i=1

2.4 La probabilità come insieme di funzione continua

{E }

Definizione. Una successione di eventi si dice crescente se

n n≥1

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

E E E ... E

1 2 3 n

10 ⊃ ⊃ ⊃ ⊃

La successione si dirà invece decrescente se E E E ... E ;

1 2 3 n

{E }

Se è crescente definiamo:

n n

[

lim P (E ) = E

n i

n→+∞ i=1

{E }

Se è decrescente definiamo

n n

\

lim P (E ) = E

n i

n→+∞ i=1

{E }

Proposizione. Sia una successione crescente (o decrescente) di eventi,

n n≥1

allora lim P (E ) = P ( lim E )

n n

n→+∞ n→+∞

Dimostrazione.

{E }

- Caso 1 : crescente. Definisco i seguenti eventi:

n n≥1 n−1 C

[ C C

∩ ∩ ∩

∩ E = E E ... E

F = E , ..., F = E i n

1 1 n n n−1 1

i=1 C

∩

F = E E

n n n−1

questo perchè la successione di eventi è crescente fondamentalmente.

C −

E = S E 1

1

C −

E = S E 2

2

C −

=⇒ E = S E

n−1

n−1

Inoltre, C

∩

E = E E

2 2 1

da cui C

∩

F = E E

n n n−1

Quindi: +∞ +∞

[ [

F = E

i i

i=1 i=1

e n n

[ [ ∀n ≥

F = E 1

i i

i=1 i=1

11

Di conseguenza +∞

+∞

[ [

P F = P E

i i

i=1 i=1

+∞ +∞

[ X

P F = P (F )

i i

i=1 i=1

vero per l’assioma 3 della probabilità, una volta notato che i due eventi sono

disgiunti. n n

[ X

=⇒ P F = lim P (F ) =

i i

n→+∞

i=1 i=1

n n

[ [

= lim P F ) = lim P E

i i

n→+∞ n→+∞

i=1 i=1

{E }

Ma siccome è crescente, posso scriverlo come:

n lim P (E )

n

n→+∞

Questo poichè n

[ E = E

i n

i=1 C

{E } {E }

- Caso 2 : è decrescente, e quindi è crescente.

n n≥1 n≥1

n

+∞

[ C C

P E = lim P (E )

i n

n→+∞

i=1

(dimostrata poco fa). Ora,

+∞ +∞ C

[ \

C

E E

P = P (per De Morgan)

i

i

i=1 i=1 C

= lim P (E )

n

n→+∞

Ma +∞ +∞

C

\ \

−

P E = 1 P ( E )

i i

i=1 i=1

Ora − −

lim [1 P (E )] = 1 lim P (E )

n n

n→+∞ n→+∞

ossia +∞

\

lim P (E ) = P E

n i

n→+∞ i=1

12 {A }

Proposizione (Disuguaglianza di Boole). Sia una successione

i i=1,2,...

infinita di eventi, allora +∞ +∞

[ X

≤

P A P (A )

i i

i=1 i=1

2.5 Probabilità condizionata e indipendenza

Definizione. Sia F un evento tale che P (F ) > 0 (cioè è un evento non

impossibile). Definiamo la probabilità di E dato F come

∩

P (E F )

|

P (E F ) = P (F )

Osservazione. ∩

P (F E)

|

P (F E) = P (E)

∩ · | · |

=⇒ P (E F ) = P (F ) P (E F ) = P (E) P (E F )

2.6 Regola del prodotto

Proposizione. Se n−1

\ E

P > 0

i

i=1

allora n n−1

\ \

· | · | ∩ · · |

E E

P = P (E ) P (E E ) P (E E E ) ... P E

i i

1 2 1 3 1 2 n

i=1 i=1

I termini nel mezzo (quelli che vanno dal secondo al penultimo) sono del tipo

| ∩ ∩ ∩

P (E E E ... E )

K 1 2 k−1

Dimostrazione.

· | · | ∩ · · | ∩ ∩ ∩

P (E ) P (E E ) P (E E E ) ... P (E E E ... E ) =

1 2 1 3 1 2 n 1 2 n−1

∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

P (E E ) P (E E E ) P (E E ... E )

1 2 3 1 2 n

1 2

· · · ·

= P (E ) ... =

1 ∩ ∩ ∩ ∩

P (E ) P (E E ) P (E E ... E )

1 1 2 1 2 n−1

n

\

∩ ∩ ∩

= P (E E ... E ) = P E

1 2 n i

i=1

dove abbiamo semplificato molti termini.

13

2.7 La formula di Bayes

Siano E ed F eventi tali che 0 < P (F ) < 1 (eventi nè impossibili, nè certi).

C C

∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩

Ricordando che E = (E F ) (E F ) e che P (E) = P (E F ) P (E F ),

possiamo scrivere la seguente formula di Bayes: c c

| · | ·

P (E) = P (E F ) P (F ) + P (E F ) P (F ) (1)

C −

Sapendo che P (F ) = 1 P (F ), la (1) può anche essere cosı̀ riscritta:

C

| · | · −

P (E) = P (E F ) P (F ) + P (E F ) (1 P (F ))

Quest’ultima è dunque la formula di Bayes per due eventiE ed F .

Osservazione. C

| ̸ |

P (E F ) = P (E F )

Proposizione. | ·

P (E F ) P (F )

i i

| F = 1, 2, ..., n

P (F E) = i

i n

P | ·

P (E F ) P (F )

i i

i=1

Questa appena scritta è la formula di Bayes per più eventi.

Osservazione. C | − |

P (R E) = 1 P (R E) ∩ ·

Ricordiamo che E ed F si dicono indipendenti se P (E F ) = P (E) P (F )

| ̸

Osservazione. Generalemente P (E F ) = P (E)

Proposizione. Siano E ed F due eventi indipendenti, allora lo saranno an-

C

che gli eventi E ed F .

Dimostrazione. C

∩ ∪ ∩

E = (F E) (F E)

(e i due eventi tra parentesi sono disgiunti).

C C

∩ ∩ · ∩

P (E) = P (F E) + P (F E) = P (F ) P (E) + P (F