Calcolo delle probabilità e statistica

Calcolo delle probabilità e statistica

Simone Belli

Indice

1 Introduzione 3

1.1 Principio fondamentale del calcolo combinatorio . . . . . . . . . . 3

1.2 Principio fondamentale del calcolo combinatorio generalizzato . . 3

1.3 Permutazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Combinazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Teorema del binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Teorema multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Spazi campionari ed eventi 7

2.1 Leggi di De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Assiomi della probabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Principio di inclusione/esclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 La probabilità come insieme di funzione continua . . . . . . . . . 10

2.5 Probabilità condizionata e indipendenza . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Regola del prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.7 La formula di Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Variabili aleatorie 16

3.1 Variabili aleatorie discrete e densità . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 Valore atteso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Bernoulli e Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.5 Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6 Binomiale negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.7 Ipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Variabili aleatorie continue 23

4.1 Valore atteso e varianza di una variabile aleatoria continua . . . 24

4.2 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.4 L’approssimazione normale della binomiale . . . . . . . . . . . . 30

4.5 Esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.6 Funzioni di rischio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.7 La distribuzione di una funzione di una variabile aleatoria . . . . 32

4.8 Altre distribuzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

4.8.1 Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.8.2 Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.8.3 Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.9 Variabili aleatorie congiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.9.1 Funzioni di distribuzioni marginali e densità marginali . . 35

4.9.2 Variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.10 Somma di variabili aleatorie indipendenti . . . . . . . . . . . . . 36

4.11 Distribuzioni congiunte condizionate . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.11.1 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.11.2 Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.12 Funzioni di variabili aleatorie congiuntamente continue . . . . . . 37

5 Proprietà del valore atteso 38

5.1 Covarianza di due variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1.1 Proprietà della covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Valore atteso condizionato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 Varianza condizionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Funzioni generatrici dei momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4.1 Normale standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4.2 Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.5 Legge debole dei grandi numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.6 Teorema centrale del limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6 Statistica 45

6.1 Inferenza statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Media, mediana e moda campionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.3 Varianza campionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.4 Raggruppamento dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.5 Campione aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.6 Stime parametriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.7 Intervalli di confidenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2

1 Introduzione

Introduciamo il corso con un esempio per cominciare a capire cosa tratta.

Prendiamo un sistema di comunicazioni di n antenne apparentemente identiche

e allineate. Denoteremo con:

• 0 le antenne difettose.

• 1 le antenne funzionanti

Il sistema sarà funzionante se non ci sono 2 antenne difettose consecutive.

Poniamo n = 4 e m = 2 dove n sono le antenne totali e m le antenne difettose.

Qual è la probabilità che il sistema funzioni? Vediamo i 6 casi:

0 0 1 1 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 1 0

0 1 1 0 1 1 0 0

12

3 = (dove 3 sono le configurazioni funzionanti e 6 sono

P(sistema funzioni) = 6

le configurazioni totali).

1.1 Principio fondamentale del calcolo combinatorio

Si realizzino 2 esperimenti. Il 1° avente m esiti distinti ed il 2° avente n esiti

distinti. Allora se sequenze distinte di esiti dei due esperimenti producono esiti

finali distinti, i 2 esperimenti avranno mxn esiti distinti.

Dimostrazione. Elenchiamo gli esiti nel seguente modo:

(1,1), (1,2), ... , (1,n)

(2,1), (2,2), ... , (2,n)

| | |

(n,1), (n,2), ... , (n, m)

ho n esiti per ogni riga (che sono in numero di m).

E’ come se fosse una matrice n x m =⇒ n x m esiti distinti

1.2 Principio fondamentale del calcolo combinatorio ge-

neralizzato

Si realizzino r esperimenti e si supponga che il 1° abbia n esiti distinti, il 2°

1

abbia n esiti distinti, l’r-esimo n esiti distinti.

2 r

Allora se sequenze distinte degli r esperimenti producono esiti finali tutti distin-

ti, il numero degli esiti possibili sarà: 3 r

Y

· · ·

n n ... n = n

1 2 r i

i=1

1.3 Permutazioni

Supponiamo di voler ordinare le lettere i, j, k. Elenchiamo i casi possibili:

i, j, k j, k, i

i, k, j k, i, j

j, i, k k, j, i

I casi possibili sono 6. Ognuno di tali ordinamenti si dice permutazione.

Per il principio fondamentale generalizzato del calcolo combinatorio avrò 3·2·1 =

6 casi possibili (sono proprio le 6 permutazioni).

In generale, se vogliamo ordinaren elementi avremo:

· − · − · · ·

n (n 1) (n 2) ... 2 1 = n!

Sfruttando la ricorsività del fattoriale possiamo scrivere:

− − −

n! = n(n 1)! = n(n 1)(n 2)! ecc.

Quest’ultima relazione ci dice che ogni fattoriale è multiplo del suo precedente

(ad esempio 8! è multiplo di 7!). Inoltre:

n! = n

−

(n 1)!

Infatti, −

n! n(n 1)!

= = n

− −

(n 1)! (n 1)!

Ricordiamo inoltre che, per definizione, 0! = 1. Come lo ottengo?

·

Ponendo n=1, 1! = 1·0! =⇒ 1 = 1 0! =⇒ 0! = 1

1.4 Combinazioni

Vogliamo determinare il numero di sottoinsiemi di r oggetti presi da un insieme

≥

di n oggetti (con n r ovviamente).

Ad esempio, prese 5 lettere ABCDE, quanti sono i sottoinsiemi composti da 3

lettere? (ovviamente intendiamo lettere che non si ripetono)

· ·

5 4 3 = 10

3! prodotto delle scelte

5·4·3

In quest’ultima relazione il termine rappresenta il

3! numero di ripetizioni

In generale il numero di r oggetti scelti da n è dato da:

− −

n(n 1)...(n r + 1)

r!

4 −

Se moltiplico numeratore e denominatore per (n r)! otterrò:

n!

−

r!(n r)!

Vediamo perchè: − −

− − − n(n 1)...(n r + 1)!

n(n 1)...(n r + 1)(n r)! =

− −

r!(n r)! r!(n r)!

iterando ottengo:

n! n

= r

−

r!(n r)!

(si pronuncia ”n scelgo r”) .

n

≤

Ovviamente deve essere r n. Se r < n, =0

r

∈ ≤

Vediamo 3 proprietà. Siano r, n con r n.

N,

n n

• = =1

0 n

n n

• = −

r n r

− −

n n 1 n 1

• = +

−

r r 1 r

1.5 Teorema del binomio di Newton

∈ ∈ ̸

Ipotesi: x, y e n Inoltre vogliamo che x, y = 0 (perchè non possiamo

R N.

0

fare 0 ). n

n

X

n k n−k

·

(x + y) = x y

r

k=0

Dimostrazione (per induzione). Caso base: poniamo n = 1.

n

1 1 1

X

1 k 1−k 0 1−0 1 1−1

(x + y) = x y = x y + x y = y + x

k 0 1

k=0 −

Ipotesi induttiva: l’uguaglianza vale per n 1 (come esponente)

Passo induttivo: verifichiamo se è vera per n: n−1

−

n 1

X

n 1 n−1 k n−1−k

· ·

(x + y) = (x + y) (x + y) = (x + y) x y =

k

k=0

5

n−1 n−1

− −

n 1 n 1

X X

k+1 n−1−l k n−k

= x y + x y

k k

k=0 k=0

−

Ora poniamo k = j 1.

n n

− −

n 1 n 1

X X

n j n−j j−1 n−j+1

(x + y) = x y + x y =

− −

j 1 j 1

j=1 j=1

n n

− −

n 1 n 1

X X

n j n−j j−1 n−j

(x + y) = x y + x y =

−

j 1 j

j=1 j=0

n n

− −

n 1 n 1

X X

n n j n−j j−1 n−j n

(x + y) = y + ( x y + x y ) + x =

−

j 1 j

j=1 j=0

Ricordiamo che

− −

n 1 n 1 n

+ =

−

j 1 j j

n−1

n

X

n n j n−j n

(x + y) = x + ( x y ) + y

j

j=1

n

n

X j n−j

n x y )

(x + y) = j

j=0

1.6 Teorema multinomiale

Notazione: Sia n + n + ... + n = n, si definisce:

1 2 r

n!

n!

n =

= r

· · ·

n n ... n Q · · ·

n ! n ! ... n !

(n !)

1 2 r 1 2 r

j

j=1

coefficiente multinomiale: rappresenta il numero di suddivisione di n oggetti

distinti in r gruppi distinti, ognuno dei quali con n , n , ..., n oggetti.

1 2 r

Teorema multinomiale (al posto di un binomio abbiamo un polinomio):

n

X n n n

· · · ·

x x ... x

1 2 r

r

1 2

n , n , ..., n

1 2 r

n ,...,n :

1 r

n +...+n =n

1 r

La somma al secondo membro è cioè estesa ai vettori di interi non negativi

(n , n , ..., n ) tali che n + n + ... + n = n

1 2 r 1 2 r

6

2 Spazi campionari ed eventi

Supponiamo un esperimento il cui risultato non può essere previsto con certezza.

Definizione. Lo stazio campionario S di un esperimento è l’insieme di tut-

ti i suoi possibili esiti. {m, }.

Il sesso di un nascituro =⇒ S = f In questo caso la cardinalità

Esempi:

dello spazio campionario S è 2.

• Lancio di due monete =⇒ S=(C,C), (C,T), (T,C), (T,T). Card(S) = 4

• | ∈

Lancio di due dadi =⇒ S={(i,j) i,j = 1,...,6 e i, j N}.

·

Card(S) = 6 6 = 36 ⊆

Definizione. Un evento di S è un qualunque sottoinsieme di S (E S) ∪

Definizione 1. Dati due eventi E ed F, l’unione di essi è l’evento E F

(ossia si verifica sia E che F) ∩

Definizione 2. Dati due eventi E ed F, l’intersezione di essi è l’evento E F

(ossia si verifica sia E che F) C

Definizione 3. Dato un evento E, il suo complementare è l’evento E (ossia

non si verifica E). C −

Osservazione. E = S E

C C C

∩ ∩ ∅

Osservazione. L’evento E è tale che E E = E E =

C C

∪ ∪

E E = E E = S

∩ ∅

Definizione. Due eventi E ed F tali che E F = si dicono incompati-

bili. {esce

Un esempio è il lancio di un dado, in cui E = un numero pari}. F={esce

un numero dispari}

E ed F sono incompatibili perché non può uscire un numero che è sia pari che

∩ ∅.

dispari. =⇒ E F =

Due eventi incompatibili possono anche essere uno il complementare dell’altro.

Inoltre, le definizioni si possono essere a più eventi:

n

[ ∪ ∪ ∪

E = E E ... E

i 1 2 n

i=1

n

\ ∩ ∩ ∩

E = E E ... E

i 1 2 n

i=1 7

̸ ∀i ̸ ⇐⇒

con E = E = j (o meglio E = E i = j)

i j i j ⊂

Osservazione. Se gli esiti di E sono contenuti in F, scriveremo E F (oppure

⊃

F E), ossia se si verifica E si verifica anche F.

Proprietà:

• ∪ ∪ ∩ ∩

Commutativa: E F = F E, E F = F E

• ∪ ∪ ∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩

Associativa: (E F ) G = E (F G); (E F ) G = E (F G)

• ∪ ∩ ∩ ∪ ∩

Distributiva: (E F ) G = (E G) (F G)

∪ ∩ ∪ ∩ ∪

E (F G) = (E F ) (E G)

2.1 Leggi di De Morgan

• n n

C

[ \ C

E = E

I i

i=i i=1

• n n

C

\ [ C

E = E

i i

i=1 i=1

2.2 Assiomi della probabilità

La probabilità di un evento può essere definita in termini di frequenza relativa.

Supponiamo che un esperimento (il cui spazio campionario sia S) venga ripetuto

più volte sotto le medesime condizioni. Per ogni evento E, definiamo:

• n(E) = numero di volte in cui E si verifica.

• n = numero di ripetizioni dell’esperimento.

Definizione. Con la notazione scritta sopra definiamo:

n(E)

P (E) = lim n

n→+∞

n(E) → →

Come sappiamo che P (n) (per n +∞) dà sempre lo stesso valore per

n

ogni successione di ripetizioni dell’esperimento?

Dobbiamo introdurre degli assiomi, detti assiomi della probabilità. Sia P(E)

la probabilità dell’evento E, allora:

• ≤ ≤

0 P (E) 1 (0 è l’evento impossibile, 1 l’evento certo)

• P (S) = 1 (l’unico evento con probabilità 1 è lo spazio campionario)

• ∀{E } ∩ ∅

successione di eventi disgiunti E , E ... (ossia E E =

i i=1,...,n 1 2 i j

̸

con i = j) allora: 8

+∞ +∞

[ X

P E = P (E )

i i

i=1 i=1

Proprietà: C −

1) P (E ) = 1 P (E)

⊂ ≤

2) Se E F =⇒ P (E) P (F )

∪ − ∩

3) P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F )

Dimostrazione 1: dal 2° assioma della probabilità sappiamo che 1 = P (S).

C

Dal 3° assioma invece sappiamo che E e E sono incompatibili.

C C

∪

P (S) = P (E E ) = P (E) + P (E )

C C −

1 = P (E) + P (E ) =⇒ P (E ) = 1 P (E)

⊂

Dimostrazione 2: E F =⇒ scrivo F come

C

∪ ∩

F = E (E F )

C ∩

E ed E F sono ovviamente disgiunti. Ora, C ∩

P (F ) = P (E) + P (E F )

C ∩ ≥ ≥

Ma poichè P (E F ) 0 (è non negativa), necessariamente P (F ) P (E)

∪ ∪ ∩

Dimostrazione 3: E F = E (E F ) disgiunti anche essi.

C C

∪ ∪ ∩ ∩

P (E F ) = P (E (E F )) = P (E) + P (E F )

Ora, C C

∩ ∪ ∩ ∩ ∩

F = (E F ) (E F ) =⇒ P (F ) = P (E F ) + P (E F )

∪ − ∩

P (E F ) = P (E) + P (F ) P (E F )

Osservazione. Se E ed F sono incompatibili, la 3) diventa:

∪

P (E F ) = P (E) + P (F )

∩

P (E F ) = 0

∩ ∅

questo perchè E F = (P (∅) = 0)

Proposizione. Siano E, F , G tre eventi di uno spazio campionario S. Allora:

9

∪ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

P (E F G) = P (E)+P (F )+P (G)−P (E F )−P (E G)−P (F G)+P (E F G)

Dimostrazione.

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ − ∪ ∩

P (E F G) = P [(E F ) G] = P (E F ) + P (G) P [(E F ) G] =

∪ − ∩ ∪ ∩

= P (E F ) + P (G) P [(E G) (F G)] =

∪ − ∩ − ∩ ∩ ∩ ∩

= P (E F ) + P (G) P (E G) P (F G) + P (E G F G) =

∪ − ∩ − ∩ ∩ ∩

= P (E F ) + P (G) P (E G) P (F G) + P (E F G) =

− ∩ − ∩ − ∩ ∩ ∩

= P (E) + P (F ) P (E F ) + P (G) P (E G) P (F G) + P (E F G)

2.3 Principio di inclusione/esclusione

∪ ∪ ∪

Se andiamo a calcolare P (E E ... E ) otteniamo che essa sarà pari a:

1 2 n n n

n

\ \

X X X n+1

r+1 ·P

− ∩E · E +...+(−1) E

P (E ) P (E )+(−1) P

i i,1 i,2 i,j i

j=1 i=1

i=1 i <i i <i <i

1 2 1 2 r

Definizione. Due eventi E, F si dicono indipendenti se

∩ ·

P (E F ) = P (E) P (F )

ovvero se la probabilità che si verificano entrambi gli eventi è il prodotto delle

probabilità.

Più in generale, gli E per i = 1, 2, ...n si dicono indipendenti se

i n

Y

∩ ∩ ∩

P (E E ... E )) P (E )

1 2 n i

i=1

2.4 La probabilità come insieme di funzione continua

{E }

Definizione. Una successione di eventi si dice crescente se

n n≥1

⊂ ⊂ ⊂ ⊂

E E E ... E

1 2 3 n

10 ⊃ ⊃ ⊃ ⊃

La successione si dirà invece decrescente se E E E ... E ;

1 2 3 n

{E }

Se è crescente definiamo:

n n

[

lim P (E ) = E

n i

n→+∞ i=1

{E }

Se è decrescente definiamo

n n

\

lim P (E ) = E

n i

n→+∞ i=1

{E }

Proposizione. Sia una successione crescente (o decrescente) di eventi,

n n≥1

allora lim P (E ) = P ( lim E )

n n

n→+∞ n→+∞

Dimostrazione.

{E }

- Caso 1 : crescente. Definisco i seguenti eventi:

n n≥1 n−1 C

[ C C

∩ ∩ ∩

∩ E = E E ... E

F = E , ..., F = E i n

1 1 n n n−1 1

i=1 C

∩

F = E E

n n n−1

questo perchè la succe