Calcolo delle probabilità fino al valore atteso

:

8. Leggi di De Morgan

´ ´

= ;

∩

( ) Á B́ A ∩B= Á U B́

∪B

A

PROBABILITA’

1. Approccio frequentista: La probabilità è il limite a cui tende la frequenza relativa con cui un dato

( )

lim n A

evento si è manifestato in un certo numero di repliche dell’esperimento n→∞ ( )

=P A

n

2. Approccio soggettivista: La probabilità esprime il grado di fiducia che un soggetto ha nel verificarsi di

un evento A

3. Approccio assiomatico: La probabilità è una funzione che deve sottostare ad alcuni assiomi

a. 0 ≤ P(A) ≤ 1 per ogni evento A

b. P(S) = 1 ¿ i=1

∞ SIGMA-ADDITTIVITA’

Si ha : ∑ ( )

∞ A

¿ =

P P A

( )

i i

i=1

REGOLE DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA’

1. P ( ) = 1 – P(A)

Á

∅

2. P( ) = 0

3. A c B = P(A) <= P(B)

4. P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A B)

∩

P(A) = P(A B) + P(A )

∩ ∩ B́

da cui P(A U B) = P(A ) + P(B)

∩ B́

5. P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) – P(A C) - P(B C) + P( A B C)

∩ ∩ ∩ ∩ ∩

6. Principio di inclusione ed esclusione

k k κ

∑ ∑ ∑

( ) ( )

¿i=1 ¿ − +

P k A ≤ P A P A ∩ A

i i i j

=1

i=1 i=1 J ¿ i=1

k

Disuguaglianza di Boole:

7. ∑

k A ( )

¿ ≤ P A

( )

i i

i=1 ¿ i=1 κ

Disuguaglianza di Bonferroni:

8. ∑ ( )

k A

¿

P ≥ 1− P Á

( )

i i

i=1

ASSEGNAZIONE DI UNA MISURA DI PROBABILITA

{ }

⋯e

s= e ,

1 n

Assegniamo probabilità ad ogni evento in modo che:

 { }

( )

0< ρ e ≤ 1

1. i

n

∑ ( })

{ =1

2. e i

i= P

Assegniamo probabilità ad ogni evento A

 ∑ { }

( )

( )=

P A P e

i

MODELLO PROBABILISTICO UNIFORME

n esiti favorevoli di A

( )=

P A n esiti dell ' esperimento

PROBABILITA’ CONDIZIONATE

Dati due eventi A e B si definisce probabilità condizionata di A dato B il seguente rapporto

P( A ∩ B) =P( A∨B)

P( B)

Oss: P(A B) = P(A|B) • P(B)

∩

TEOREMA DELLE PROBABILITA’ CONDIZIONATE E DI BAYES

Teorema probabilità totali : P(A) = P(A|B) • P(B) + P(A| ) • P(B)

 B́

Teorema delle probabilità totali generalizzato :

 n n

∑ ∑ ( )

|

( ) ( )

( )= =

P A P A ∩ B P A B • P B

i i i

i=1 i=1 ( )

P( A∨B)• P B

Teorema di Bayes : P(B|A) =

 ( ) +

P( A∨B)• P B P( A∨ B́) • P( B) |

( ) ( )

P A B • P B

J J

)

P( A ∩ B J

∨ ¿

B A

Teorema di Bayes generalizzato: P( = = n

 ∑

J P( A) ( )

P A ∩ B i

i=1 B

(N.B. l’effetto si è già verificato, ovvero evento A, bisogna capire la probabilità che una causa, evento , lo abbia

J prodotto)

ODD RATIO (rapporto tra il fatto che si verifichi e il fatto che non si verifichi)

P( A∨B) P(B)

Odd ratio iniziale : •

 P( A∨ B́) P( B́)

P( A∨B)

Odd ratio finale :

 )

P( B́∨A

REGOLA DEL PRODOTTO PER PIU’ EVENTI A

¿

( ) n∨ A ∩ A ∩… ∩ A

=¿ )

P A ∩ A ∩… ∩ A P(¿

P 1 2 n−1

1 2 n ( )• ∨ )• ∨ )… ¿

A P( A A P( A A ∩ A

1 2 1 3 1 2

INDIPENDENZA TRA EVENTI ∩

Due eventi A e B si dicono indipendenti se P(A B) = P(A) • P(B)

Conseguenze : ( )

P A ∩ B ⊥

A B

i

1. P(A|B) = = P(A) (indipendenti)]

¿

P( B)

⊥

A B

2. ⇔ ⊥

A B́

⊥

A B ⇔ ⊥

Á B

⊥

A B ⇔ ⊥

Á B́

MUTUA INDIPENDENZA ∩

: P(A B) = P(A) • P(B)

Tre eventi si dicono mutuamente indipendenti se ∩

P(A C) = P(A) • P(C)

∩

P(B C) = P(B) • P(C)

∩ ∩C

P(A B ) = P(A) • P(B) • P(C)

N.B. devono valere tutte e quattro le condizioni

A , A , A , … , A

n

Dati eventi essi si dicono mutuamente indipendenti se ogni loro sottoinsieme è

1 2 3 n

costituito da eventi indipendenti

PROBABILITA’ CONDIZIONATA COME MISURA DI PROBABILITA’

P( • | E)

1. P(A|E) >= 0 per ogni evento A

2. P(S|E) = 1 =∅

A , A , A , … , A A ∩ A

3. tali che

1 2 3 n i j