Calcoli di processo dell'ingegneria chimica

Eliminazione di Gauss

Eliminazione di Gauss: a₁₁ a₁₂ ... a_1m b₁ a₂₁ a₂₂ ... a_2m b₂ ... a_m1 a_m2 ... a_mm b_m

i = righe j = colonne a_ij⁽¹⁾ = a_ij⁽⁰⁾ - l_i1 a_ij⁽⁰⁾ (i = 2,3,...,m), (j = 1,2,...,m) l_i1 = a_i1⁽⁰⁾ / a₁₁⁽⁰⁾ b_i⁽¹⁾ = b_i⁽⁰⁾ - l_i1 b₁⁽⁰⁾ a_ij^(k) = a_ij^(k-1) - l_ik a_kj^(k-1) (i = k+1,...,m) (j = k,m,...,m) b_i^(k) = b_i^(k-1) - l_ik b_k^(k-1)

Moltiplicatori di Gauss

l_in = a_in^(k-1) / a_kk^(k-1) A x = b ⇒ R x = C

Eliminazione di Gauss: a₁₁   a₁₂   ...   a_1m   |   b₁ a₂₁   a₂₂   ...   a_2m   |   b₂ ... a_m1   a_m2   ...   a_mm   |   b_m

i = righe j = colonne

Si procede con l’eliminazione finché sia ottenuta una matrice triangolare:

a_ij⁽¹⁾ = a_ij⁽⁰⁾ - l_i1 a_1j⁽⁰⁾   (i = 2,3,...,m), (j = 1,2,...,m) l_i1 = a_i1⁽⁰⁾ / a₁₁⁽⁰⁾ b_i⁽¹⁾ = b_i⁽⁰⁾ - l_i1 b₁⁽⁰⁾

Si procede con l'eliminazione finché si ottiene una matrice triangolare.

In generale:

a_ij^(k) = a_ij^(k-1) - l_ik a_kj^(k-1) (i = k+1, ..., m) (j = k, ..., m) b_i^(k) = b_i^(k-1) - l_ik b_k^(k-1)

Moltiplicatori di Gauss

l_ik = a_ik^(k-1) / a_kk^(k-1)

All’interazione k = m-1 → MATRICE TRIANGOLARE

M_k MATRICE TRASFORMATA DI GAUSS es. k=1

M₄ = (matrice) A⁽¹⁾ = M₄ A₀ = (matrice) A^(k) = M_k A^(k-1)

Elimino la k-esima colonna tranne dalla 1^a alla i-esima riga (i=k,...,n)

R = A^(n-1) = M_n-1 A^(n-2) = M_n-1... M₄ A₀

M = M_n-1... M₂ M₁

NA = R   A = M^-1R = LRA

A = [    a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄   a₂₁  a₂₂  a₂₃  a₂₄   a₃₁  a₃₂  a₃₃  a₃₄   a₄₁  a₄₂  a₄₃  a₄₄ ]

k = 2

l_i2 = ^A_i2(1)⁄_A22⁽¹⁾ i = k + 1, … i = 3, 4 l₃₂ = ^A₃₂(1)⁄_A22⁽¹⁾ l₄₂ = ^A₄₂(1)⁄_A22⁽¹⁾

↴ M_k = [   1   0   0   0   0   1   0   0  -l₃₂   1   0 -l₄₂    0   1]

Matrice trasformata di Gauss

A^(k) = M_k A⁽⁰⁾ A⁽¹⁾ = M₁ A⁽⁰⁾ = [    a₁₁⁽¹⁾      a₂₂⁽¹⁾      a₃₂⁽¹⁾  a₄₂⁽¹⁾]

Interpolazione

Convertire un insieme di punti in una funzione continua.

Procedura: impongo alla funzione f(x;P) il passaggio per i punti da interpolare.

Ottengo un sistema di eq. risolto risp. a P: ∫(x_i;P) = y_i ∫(x_m;P) = y_m

Scelta della funzione ∫(x;P) fatta per:

1. Minimizzare le oscillazioni;
2. Migliorare la qualità di approssimazione;
3. Semplificare il calcolo di P.

Interpolazione polinomiale di Vandermonde

Polinomio grado N-1: ∫(x;P) = ∑_k=1^N P_k x^k-1

→ [ Δ x^k-1 x_N-4 ... x_N-4 ] [ P₁ y₁ ] [ P_n ... y_n ]

Semplice ed efficiente e usato raramente perché il sistema lineare è mal condizionato.

Interpolazione polinomiale di Newton

Polinomio grado N-1: ∫(x;P) ∑_k=1^N P_k ∏_j=1^k-1 ( x - x_j )

Si ottiene un sistema lineare triangolare buono: → [ 1 0 0 0 0 ] [ 1 ∏_j=l^k-1 (x₁-x_j) 0 0 ] [ P₄ y₄ ] [ 1 ∏_i=1^k-4 (x_N-x_j) ] [ P_k y_k ]

Risolve il problema relativo al carattere e consente interpolazione.

Interpolazione polinomiale di Lagrange

Polinomio grado N-1: g(x,P) = ∑_k=1^N P_k ∏_{j=1, j≠k}^N [(x-x_j) / (x_k-x_j)]

La matrice dei coefficienti è la matrice identità => P=4

Elimina il calcolo di P e risolve il problema nel calcolarlo.

Consente di generare una funzione meno sensibile al problema di precisione di calcolo dei computer.

Interpolazione razionale propria

Rapporto tra 2 polinomi: uno di grado P e l'altro Q t.c. N=P+Q+1 β(x,P) = [∑_k=0^P+1 P_k x^k-1] / [1 + ∑_j=2^Q+1 P_j x^j-1 - 1]

Sistema non lineare: - Matrice complessa da risolvere - I polinomi possono essere Newton o Lagrange - Adatto per funzioni con andamenti asintotici - Approssima meglio, a parità di punti, rispetto un polinomio

Interpolazione a tratti

Si divide in H sub-set ciascuno con N_sub punti Si sceglie una funzione per ogni intervallo e M valori lineari Si cerca di imporre la continuità delle derivate delle interpolanti di sub-set adiacenti

Interpolazione con le spline di cubiche

Polinomio grado 3: f_uni(p_max) = ∑_k=0⁴ p_max (x_max - x_p,max)^k-1

Ogni set contiene solo 3 punti

Imporre il passaggio per i 2 punti Imporre la continuità delle derivate nel secondo punto

Molto efficace e molto apprezzato per disegnare linee curve in molti programmi di disegno (Es. tool AutoCAD)

Interpolare molte funzioni con 4 o più di 2 punti

Azzeramento

Metodo iterativo - Valori opposti ai limiti dell'intervallo, funzione continua, ∃ 1 soluzione o se ∃ più di una soluzione ne basta 1 - Se intervallo sconosciuto, funzione continua - Intervallo e funzione monotona non verificati: - più soluzioni; - discontinuità; - φ in più punti;

Sostituzione e trasforma un'espressione nella forma: t_i = g₁(t_i) → t_i+1 = g(t_i) t_i: g(t_∞) + t_∞ + t₂ = g(t_∞) + t_∞ → t₃ = g(t₂) = t_∞ finora convergenza

• Utile per calcoli manuali;
• Può divergere anche per con funzione semplici;
• Se converge, relativamente converge lentamente
• Necessario fare degli studi per arrivare ad una soluzione di convergenza.

Bolzano

Condizioni necessarie:

1. Segni opposti ai limiti (f(A); f(B))
2. Funzione continua
3. ∃ almeno 1 soluzione

t_M = t_A, ^t_A+t_B/₂ Se A seguo di _Ym = seguo Y_A → t_M sostituisce t_A Se φ ≠ u " → " → t_M " t_B

Si itera fino alla soluzione.

- Converto di un numero esteticamente l'intervallo originale conservando le condizioni necessarie. √₁; interallo invisibile ⋅ L_M = ^L_M/_2^m

Pro:

• Converge sempre a 1 soluzione
• N° Iterazioni conosciuto a priori in base alla precisione richiesta
• Minimizza il massimo intervallo di incertezza

Contro:

• Non dice nulla la funzione
• Può essere penalizzante per funzioni smooth
• Convergenza lineare

Newton

Si usa la tangente alla curva nel punto _i

Si converge, la convergenza quadratica.

Secanti

Come Newton solo che si approssima la derivata prima come segmento che collega (t_i, 4_i) a (t_i+1, 4_i+1-D)

t_i+1 = t_i - C'è bisogno di 2 punti per iniziare l'algoritmo

Derivata prima non è richiesta.

Regula Falsa

Come secanti solo che usa sempre gli esterni dell'intervallo di incertezza

Pro:

• La nuova iterazione cade all'interno dell'intervallo
• La convergenza è assicurata

Contro:

• Convergenza più lenta rispetto al metodo delle secanti

Ottimizzazione

Trovare minimo o massimo di una funzione Unimodale se c'è 1 solo punto di minimo - f non deve essere necessariamente continua e derivabile

La distanza per garantire l'unimodalità

Metodi

1ª classificazione

1. Confronto: si confronta i valori della funzione. Serve per ridurre il valore dell'intervallo, e confrontare diverse strategie per trovare la migliore. È necessario conoscere l'intervallo iniziale ed è necessario conoscere il n° di funzioni da valutare.
2. Approssimazione: si approssima la funzione ad altro più semplice per il calcolo del min/max.

2ª classificazione

1. Sequenziali: ogni valutazione permette di decidere quale misura successiva fare.
2. Paralleli: più valutazioni prima di decidere una strategia.

Strategia attuale porta al Metodo Fibonacci

Per ridurre l'intervallo non sezioni, si usano 2 punti (valori di funzione) e 1 dei 2 punti sarà il limite del nuovo intervallo. Serve solo altro punto per trovare un nuovo intervallo. Dopo N-1 valori, l'intervallo è e deve avere posizionato l'ultimo valore di funzione. Gli ultimi punti devono essere simmetrici rispetto al centro dell'intervallo e con una distanza minima.

In generale e di Fibonacci con j = N-4

1. t₁ e t₂ sono note.
2. Si dà un valore al primo tentativo a _N e si calcola _LN come confrontato con L_F radianta;
3. Si sceglie N ricordo: L_S ≤ L_F ≤ t_N t_N = t₀ - t₁

Se t₃ A; t₃] β(t₃) < β(t) Se t₄ 3; t₄] β(t₄) > β(t) Se t₅ 5; t₆] β(t₅) = β(t)

Pro:

• Garanzia convergente
• Minimizzare il minimo intervallo di incertezza
• Conoscere a priori o dei modi iterazioni per una det. accurata dell'accuratezza

Contro:

• Ci sono condizioni da rispettare
• Si sceglie la peggiore funzione
• Non è possibile conferire con altre alternative efficienti
• Non puoi smettere subito quando è utile

Golden Section

Sfrutta la posizione del punto dentro al nuovo intervallo con un marcatore iterativa.

Ogni nuovo intervallo contiene 2 punti della precedente iterazione.

Affinché il nuovo punto sia in posizione ottimale occorre che i 2 punti interni siano simmetrici rispetto al centro:

l_n = L_i+1 + L_i-1 Si impone che la velocità di riduzione degli intervalli sia costante: L_i-1 = L_i L_i+1 = τ τ = 1,6180

Metodo

1. Identifica l'intervallo [t_i; t₄] = L₄
2. Calcola t₂ = L₄ / τ
3. Posiziona t_A = E - L₂ t₂ = t_A t₃ t₂
4. Restringe l'intervallo eliminando uno dei + più quantità
5. Calcolo il nuovo intervallo
6. Si itera la procedura

Rapporto di riduzione dell'intervallo:

d = L_N / L_o = 1 / τ^N-d

Pro:

• Convergenza garantita
• Mostra a priori se il n° di iterazioni e l'accuratezza
• Può essere fermato in qualsiasi momento

Contro:

• Sempre stessa efficienza per qualsiasi funzione
• Funziona per funzioni complesse, ha problemi per funzioni semplici
• Valore intervallo richiesto

Integrazione

f(x) continua e valori finiti nell'intervallo di integrazione.

Serve quando:

• Impossibile ricavare l'integrale analiticamente
• L'integrale è difficile da calcolare

Come si procede

1. Si divide l'intervallo in N intervallini e si fa una interpolazione a tratti
2. Si calcolano gli integrali delle interpolate e si sommano per ottenere un'approssimazione dell'integrale

La scelta di f_int(x) influisce molto l'efficacia del metodo:

• La primitiva deve essere facile da calcolare;
• L'approssimazione è elevata;
• Calcolo parametri interpolazione è agevole.

Bézout

f_intⁱ(x) è una retta: I_(x0,x1)^f_ch = ^h⁄₂ [ ∫₀ f₀ dN + ∑^N-1_k=1 f_k ]

h = passo d'integrazione

Simpson

f_intⁱ(x) è un polinomio di grado 2 generico I_i = ∫_iⁱ⁺¹ f_int(x) dx = ^h⁄₃ [ f_i^A + 4f_i^C + f_i^B ]

h = ^{x_B - x_A}⁄₂

x_i = x_i^* + h

Lo Sommando: singoli integrali:

I_(xA,xB)^f_ch = ^h⁄₃ [ ∫₀ + ∫_N + ∑^N=2_k=0 ( 2 ∫_2k^(cc) + 4 ∫_(2k+1)^(ck+1) ) ]

Sotto x_A e x_B2 x_C

Bernaut e Simpson sono formule di Newton-Cotes.

In questa formula f_i(x) è un polinomio.

Il polinomio deve essere massimo di grado n perché ciò non garantisce una buona qualità di approssimazione.

Formulo di Gauss usare gli stessi punti di supporto di Newton-Cotes non approssimano meglio l'integrale.

Sono anch'esse polinomi di grado basso.

Si ha una maggior precisione a parità di N e grado delle f_i(x) rispetto a Newton-Cotes.

Sistemi ODE

Sono sistemi di eq. differenziali. Ogni eq. diff. è esplicita sulla derivata di una delle variabili.

Deve essere accoppiato ad un set di condizioni iniziali.

- Autonome: tutte le funzioni f_i non dipendono dal tempo. Se così non fosse si può ricondurre ad un sistema autonomo aggiungendo una variabile e un ulteriore eq. diff.

{ dy₄/dt = f₄(u₄, ... u_n, t)}

{ dy_n+1/dt = 1}

{ y_n+1(t₀) = t₀}

- Integrazione: per risolvere sistemi di eq. diff. non lineari - calcolo autovalori/autovettori è difficile. Come in presenza - soluzione di un sottosistema di sistemi di eq. algebriche.

Sistemi algebrici sono lineari/non lineari se il sistema ODE è lineare/non lineare

3 algoritmi

• Euler
• Runge-Kutta
• Multi-step

Euler

Forward sostituisce la curva con segmenti di rette tangenti a quella curva.

dy_i/dt |_tm = f_i(u_m) = (y_i,m+1 - y_i,m)/h, h = distanza tra 2 segmenti (passo nel tempo).

Si ottiene un sistema di eq. lineari nella incognita y_i,m+1.

y_m+1 = y_m + h*f(y_m) h = (t_n - t₀)/n

es. y₁ = y₀ + h*f(y₀) → y₄ = y₄ + h*f(y₄)