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S
all’altro della membrana. Indicando con S il carrier e con S S
k
M lo ione; il funzionamento può schematizzarsi come
+ S
segue k k
R D ′
k
MS
Associazione ione carrier e formazione del
• − + +
MS MS
complesso MS ;
+ ′′
k
MS
Migrazione del complesso attraverso la membrana;
• Dissociazione e liberazione dello ione;
• 36 4.2. Trasporto a carrier
A questi processi si può aggiungere la diffusione del solo carrier tra i due lati
della membrana con velocità di reazione uguale per entrambi i sensi. Tutti
k
S
questi processi, come si vede nello schema in figura, possono avvenire in entrambi i
sensi di percorrenza della membrana. Si suppone che la migrazione del complesso
da un capo all’altro sia determinato da una sola barriera energetica e sia e
′
k
M S
le velocità di reazione, rispettivamente, da sinistra verso destra e viceversa.
′′
k
M S
L’associazione dello ione al carrier si può supporre avvenire secondo una reazione
del tipo k R
+ +
S
M MS
+ ⇋
(mem)
(H (mem)
O)
2 k D
e sia e , rispettivamente, le costanti di associazione e di dissociazione dello
k k
R D
ione al carrier. Tale reazione avviene vicino alla membrana e può dipendere dalla
concentrazione dello ione nelle immediate vicinanze della membrana oltre che dalla
concentrazione del carrier all’interno della membrana.
Procediamo con lo scrivere le varie equazioni di flusso e di densità di corrente
elettrica per il carrier e per il complesso. Indicando con e le concentrazioni
′ ′′
N N
S S
del carrier all’interfaccia di sinistra e di destra della membrana, si ha
′ ′′
J = k (N − N ) j = 0
S S S
S S
per il carrier la densità di corrente elettrica è ovviamente nulla dato che di per
j
S
se è complessivamente neutro. Per quanto riguarda il complesso MS si ha
+
′ ′ ′′ ′′
J = k N − k N j = zF J
M S M S M S
M S M S M S M S
Sia l’energia della barriera a riposo, nell’approssimazione di Goldman di
0
∆G
campo elettrico costante, il potenziale elettrico è lineare, allora l’energia libera di
attivazione, sommando il potenziale elettrico alla barriera a risposo, si può scrivere
←−−
−−→ V
V 0
0 ‡
‡ ∆G = ∆G + F
∆G = ∆G − F 2 2
dove si è fissato a zero il potenziale a destra della membrana, a sinistra e per
V
semplicità si è posto uguale a lo spessore della membrana; la direzione della freccia
1
indica, inoltre, il verso di percorrenza della membrana. Da queste considerazione
possiamo usare l’espressione di Eyring per il calcolo delle velocità di reazione
Φ/2
′ ′′ −Φ/2
k = k e k = k e
M S M S
M S M S
dove si è usata la definizione del potenziale ridotto e il fatto che è uguale in
0
∆G
entrambi i casi: Φ k T
FV b 0 /RT
−∆G
= k = e
M S
2RT 2 h
Nello stato stazionario, la variazione nel tempo delle concentrazioni all’interfac-
cia della membrana, del carrier e del complesso, sono naturalmente nulle, dunque
abbiamo a disposizione un set di quattro equazioni da poter combinare; quello che
37
4. Meccanismi di trasporto passivo
si vuole scrivere è la variazione della concentrazione, per esempio, del carrier di
sinistra: all’interfaccia della membrana avverranno i processi di associazione e di
dissociazione dello ione per cui si dovrà tenere conto del flusso positivo di carrier
dovuto alla dissociazione e il corrispettivo negativo dovuto all’associazione, che pe-
rò dipenderà anche dalla concentrazione degli ioni all’interfaccia ; e poi vi sarà
C M
il processo diffusivo dei carrier che migrano da sinistra verso destra e viceversa per
cui si dovrà tenere conto, con i segni opportuni, del flusso diffusivo del solo carriere
tra i due capi delle membrana. In breve
′
δN S ′ ′ ′′ ′
= k N − k C N + k N − k N = 0
D R M S S
M S M S S S
δt
ragionando in modo analogo per le altre tre concentrazioni all’interfaccia si otten-
gono le seguenti equazioni
′
δN
S ′ ′ ′′ ′
= +k N − k C N + k N − k N = 0
D R M S S
M S M S S S
δt
′′
δN
S ′′ ′′ ′ ′′
= +k N − k C N + k N − k N = 0
D R M S S
M S M S S S
δt
′
δN
M S ′ ′ ′′ ′′ ′ ′
= −k N + k C N + k N − k N = 0
D R M
M S M S M S SM M S M S
δt
′′
δN
M S ′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′
= −k N + k C N + k N − k N = 0
D R M
M S M S M S M S M S M S
δt
Risolvendo il sistema e facendo alcune sostituzioni si può trovare un espressione
per la densità di corrente elettrica sinh Φ/2
zF δkC γ C
t M S M
j = j =
M S 1+A
kC + 1 cosh Φ/2
M k M S
dove A k C 2
R M
= +
k k k k
M S S M S D
e , è lo spessore della membrana e è il coefficiente di
C = C + C δ γ
t S M S M S
partizione del complesso MS . La costante è la costante di reazione della reazione
+ k
di associazione ione carrier che avviene in soluzione acquosa: il carrier potrebbe
−
trovarsi nella soluzione acquosa fuori dalla membrana con una certa concentrazione
, che essendo un ambiente sfavorevole sarà molto minore della concentrazione
C S
del carrier all’interno della membrana, questi può ovviamente reagire con gli ioni
M che si trovano in soluzione con concentrazione per formare il complesso
+ C M
MS secondo la reazione
+ k +
+ MS
S
M + ⇋
(H O) (H
(H O)
O) 2 2
2 −1
k
allora C M S
k = C C
M S
38 4.2. Trasporto a carrier
Se dividiamo la densità di corrente per la differenza di potenziale otteniamo
la conduttanza specifica: . In particolare se il potenziale tende a zero
λ = j/V
troviamo la conduttanza a zero corrente
2
F δkC C γ k
t M M S M S
λ =
0 2RT (kC + 1)(1 + A)
M
Da misure di a diversa differenza di potenziale ai capi della membrana,
λ/λ 0
mediante tecniche di fit, si risale al valore della costante Inoltre facendo variare
A.
la concentrazione dello ione posso ottenere qualche altra costante o gruppo
C M
di costanti presenti nell’espressione di tuttavia sarebbero comunque quattro le
A;
costanti da determinare e dunque le equazioni, oppure le misure indipendenti che
si possono fare, non sono sufficienti.
4.2.1 Caso non stazionario
Per risolvere completamente il sistema è necessario trovare un altro set di tre equa-
zioni che dipendano dai parametri suddetti. Se al tempo non è applicata
t = 0
nessuna differenza di potenziale si può scrivere
′ ′′
′′
′ N = N
= N
N M S
S S M S
le concentrazioni ai capi della membrana, del carrier e del complesso, sono le stesse
in modo da avere nullo il gradiente elettrico e di concentrazione. Se per t > 0
immaginiamo di dare un impulso di potenziale a gradino, si otterrà una variazione
nel tempo delle concentrazioni , , e secondo il sistema di quattro
′ ′′ ′ ′′
N N N N
S S M S M S
equazioni scritte precedentemente; tuttavia adesso non possiamo porle uguali a zero
in quanto il sistema non è più in uno stato stazionario. Malgrado ciò si osserva che
effettuando la somma membro a membro delle quattro equazioni si ha
δN
X ′ ′ ′ ′
= K N − K C N + K N − K N +
D R M S S
M S M S S S
δt ′′ ′′ ′′ ′′
+ K N − K C N + K N − K N +
D R M S S
M S M S S S
′ ′ ′′ ′′ ′ ′
− K N + K C N + K N − K N +
D R M
M S M S M S SM M S M S
′′ ′′ ′ ′ ′′ ′′
− K N + K C N + K N − K N
D R M
M S M S M S M S M S M S
e si trova l’equazione differenziale δN
X =0
δt
integrando si ha ′ ′′ ′ ′′
N + N + N + N = N 0
S S M S M S
dove è una costante. Si può concludere che il sistema differenziale per il caso
N 0
non stazionario è in realtà un sistema di tre equazioni differenziali che, in aggiunta
alle quattro equazioni per il caso stazionario, permettono di chiudere il problema.
39
4. Meccanismi di trasporto passivo
In modo qualitativo, risolvendo tale sistema si trova un’espressione per la densità
di corrente del tipo
−t/τ −t/τ
j(t) = j(∞) 1 + α e + α e
1 2
1 2
dove sono le ampiezze della corrente (che dipende dal tempo) e i rispettivi
α τ
1,2 1,2
tempi caratteristici di smorzamento. Ovviamente tutte questi parametri dipendono
dalle costanti da determinare.
Da misure sperimentali si è ottenuto che la corrente di carrier è dell’ordine dei
ioni/s il che equivale ad una corrente elettrica A; viceversa la
4 −15
10 ≈ 1.6 · 10
corrente elettrica di un canale è dell’ordine dei A. Come preannunciato
−9
10 · 10
il canale permette un trasporto più massivo di ioni, mentre il carrier si è scoperto
essere molto più specifico del canale.
4.3 Propagazione su una fibra nervosa
Un altro punto di vista del meccanismo di trasporto degli ioni, se vogliamo più
macroscopico, è lo studio della propagazione passiva del segnale nervoso di tipo
elettrico lungo una fibra nervosa.
Un segnale nervoso si genera a seguito di uno stimolo di tipo elettrico prove-
niente dall’esterno, per esempio, un neurotrasmettitore attiva un canale ionico che
provoca l’ingresso di sodio nella membrana