Autovettori e autovalori

Autovettori e autovalori

Definizioni

Diagonalizzabilità di applicazioni lineari: Data un’applicazione lineare T: Rⁿ → Rⁿ, questa si dice diagonalizzabile se e solo se esiste una base ordinata per Rⁿ tale che la matrice associata all’applicazione rispetto alla base (nel dominio e nel codominio) sia una matrice diagonale.

Diagonalizzabilità di matrici: Data una matrice quadrata qualsiasi, quest’ultima si dice diagonalizzabile se e solo se esiste una matrice invertibile P tale che P^-1AP sia diagonale.

Autovettore e autovalore: Data un’applicazione lineare T: V → W, diciamo che un vettore non nullo v ∈ V si dice autovettore di T di autovalore λ se e solo se T(v) = λv.

Matrici simili

Due matrici A e B si dicono simili se e solo se esiste una matrice invertibile P tale che B = P^-1AP.

Matrici simili (definizione alternativa)

Due matrici A e B si dicono simili se le seguenti condizioni sono verificate:

• Trace(A) = Trace(B)
• La ‘trace’ di una matrice è semplicemente la somma dei numeri presenti sulla diagonale principale della matrice stessa.
• Det(A) = Det(B)
• Rk(A) = Rk(B)
• Stessi autovalori per le due matrici

Polinomio caratteristico

Data una matrice quadrata A, si definisce polinomio caratteristico di A il seguente polinomio: p_A(λ).