Autovettori e autovalori

Proprietà delle matrici diagonalizzabili

Se consideriamo una matrice A di dimensione n x n, l'autospazio relativo all'autovalore λ di A è definito come:

λ T n = {v ∈ Rⁿ | T(v) = λv}

La molteplicità algebrica di un autovalore è il numero di volte che l'autovalore appare nel polinomio caratteristico rispetto alla matrice dell'applicazione in analisi.

La molteplicità geometrica di un autovalore λ di una matrice A è la dimensione del Ker(A - λI).

Proposizione: Data un'applicazione lineare T: Rⁿ → Rⁿ e la matrice A ad essa associata una volta fissata la base canonica in Rⁿ, l'applicazione T è diagonalizzabile se e solo se lo è la matrice A e la base che rende A diagonalizzabile corrisponde alle colonne della matrice.

“diagonalizzibilità di matrici”)Un’applicazione è diagonalizzabile (o la matrice ad essa associata) se e solo seesistono due vettori (linearmente indipendenti) che mantengono la stessa direzionev v,di partenza; ovvero, per un’applicazione e per devono esistere due scalariT 1 2v v, (v ) = (v ) =tali che e .λ λ T λ T λ1 21 2 1 1 2 2: →Un’applicazione lineare è diagonalizzabile se e solo se esiste una baseT V Vdi costituita da autovettori di .β V TUna matrice quadrata di ordine è diagonalizzabile se e solo se la somma delleA nmolteplicità geometriche di ogni singolo autovalore è uguale ad .n{v , … , }Si consideri un’applicazione lineare e un’insieme di autovettori diT v T1 n{λ , … , } {v , … , }di autovalori distinti tra loro . Allora i vettori sonoλ v1 1n nlinearmente indipendenti.∈ (R)Una matrice con autovalori distinti

è diagonalizzabile (dato che M ha n autovettori relativi agli autovalori 2 che sono linearmente indipendenti (per il teorema sopra citato) e formano quindi una base di R)