Algebra e geometria - autovalori e autovettori

Definizione e calcolo degli autovalori

Gli autovalori di una funzione f: ℝ → ℝ sono i valori λ tali che esiste un autovettore v ∈ ℝ per cui f(v) = λv. Per trovare gli autovalori, considero la matrice A associata a f.

Calcolo degli autovalori

Utilizzo il determinante della matrice (A - λI) e risolvo l'equazione det(A - λI) = 0, poiché:

• f(v) = λv
• dim Vλ = n - rg(A - λI)

Esempio

Consideriamo la funzione f: ℝ³ → ℝ³ definita dai vettori {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e la funzione:

f(x, y, z) = (x, -2z, x + 2y + 4z)

Calcoliamo le immagini dei vettori base:

• f(1,0,0) = (1,0,1)
• f(0,1,0) = (0,0,2)
• f(0,0,1) = (0,-2,4)

Calcolo della matrice associata

La matrice associata A è:

Calcolo il determinante det(A - λI):

• (1 - λ)(-4λ + λ² + 4) = 0
• (1 - λ)(λ - 2)²

Gli autovalori sono:

• λ = 1
• λ = 2

Calcolo degli autospazi

Per λ = 1:

• V1 = { v ∈ ℝ³ | f(v) = λv }
• dim V1 = 3 - rg(A - I)

Per λ = 2:

• V2 = { v ∈ ℝ³ | f(v) = λv }
• dim V2 = 3 - rg(A - 2I)

Il rango di (A - I) e (A - 2I) determina la dimensione degli autospazi.