Algebra e geometria - autovalori e autovettori

(, , ) = (2x, + , )

Es.

{(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Provare che gli elementi di B sono autovettori per f e che formano

una base

f(1,1,0) = (2,2,0) = 2 * (1,1,0)

f(0,1,0)= (0,1,0)

f(0,0,1) = (0,0,1)

1 1 0 3

ℝ

0 1 0 = 1 != 0 => B è una base di

0 0 1

Scriviamo la matrice associata ad f nella base B

f(1,1,0) = (2,2,0) = 2 * (1,1,0) + 0 (0,1,0) + 0 (0,0,1)

f(0,1,0)= (0,1,0) = 0 * (1,1,0) + 1 (0,1,0) + 0 (0,0,1)

f(0,0,1) = (0,0,1) = 0 * (1,1,0) + 0 (0,1,0) + 1 (0,0,1)

Scriviamo la matrice associata ad f nella base B

2 0 0 Matrice diagonale

0 1 0

0 0 1

Teorema

Se esiste una base di autovettori di una funzione , allora rispetto a questa base f si rappresenta con

una matrice diagonale, in cui gli elementi sulla diagonale sono gli autovalori.

Proposizione

Se f ha n autovalori distinti, allora esiste una base di autovettori.

Def. dim Vλ si chiama MOLTEPLICITÀ GEOMETRICA di λ

MOLTEPLICITÀ ALGEBRICA di λ è il massimo numero n tale che

(λ – λ1)^n divide il polinomio caratteristico det(A-λI)

= (1-λ)(λ-2)^2

Es. Se det(A-λI) allora 1 ha molt. 1

2 ha molt. 2

= (λ-1)^3 (λ-4)

Se det(A-λI) allora 1 ha molt. 3

4 ha molt. 1