Autovalori e autovettori - Dimostrazioni teoremi spiegate

Autovalori e Autovettori

Proposizione

Sia \( T: V \to V \) un endomorfismo di uno spazio vettoriale \( V \) (di dimensione \( n \)) e \( v_1, \ldots, v_k \neq 0 \) (\( k \leq n \)) autovettori di \( T \) corrispondenti ad autovalori distinti \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \in \mathbb{R} \).

Allora \( v_1, \ldots, v_k \) sono linearmente indipendenti.

Oss.

Avere autovalori distinti significa che \( \lambda_i \) ha molteplicità 1 \(\forall i = 1, \ldots, k \), ovvero \( \lambda_i \neq \lambda_j \) per \( i, j = 1, \ldots, k \).

Dimostrazione:

Procediamo per induzione su \( K \).

Per \( K=1 \), non c'è nulla da dimostrare.

Per \( K-1 \), invece, supponiamo che \( v_1, \ldots, v_{K-1} \) siano linearmente indipendenti.

Siano \( \alpha_1, \ldots, \alpha_K \in \mathbb{R} \) t.c.

\(\alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_K v_K = 0\)

Applicando l'endomorfismo \( T \), abbiamo

\(0 = T(\alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_K v_K)\)

\(0 = \alpha_1 T(v_1) + \ldots + \alpha_K T(v_K)\)