Assiomi sui numeri reali

Assiomi sui numeri reali

1. Addizione e moltiplicazione sono associative, a+(b+c) = (a+b) +c

2. Addizione e moltiplicazione sono commutative, a+b=b+a

3. Vale la proprietà distributiva, (a+b) c=ac+bc

4. Elementi neutri: 0 e 1 (addizionando 0 si ottiene lo stesso numero, moltiplicando 1 si ottiene lo stesso numero).

5. Esistono opposti, a+(-a) = 0

6. Esistono reciproci, a*(1/a) = 1.

7. Dicotomia, dati due numeri a e b, può essere a maggiore o uguale di b o viceversa.

8. Asimmetria, se si verificano entrambi i casi sopra, a=b

9. a b = a+c b+c ≤ ≤

10. Se a, b>0, a+b>0 e a*b>0

11. (Le dieci proprietà sopra elencate sono valide anche per Q, l'undicesima non lo è).

12. Assioma di completezza (o di Dedekind o di continuità), siano A, B sottoinsiemi di R tali che a minore o uguale di b per ogni elemento preso rispettivamente da A e B, allora esiste un elemento c fra i due insiemi che li separa; questa proprietà non sempre vale per l'insieme Q poiché l'elemento separatore può essere anche un numero irrazionale, tipo radical 2 (il quale a sua volta non può appartenere a Q, dimostrabile).

Dimostrazione non appartenenza di radical 2 a Q: sul quaderno.

Estremo superiore ed inferiore, minimo e massimo

Sia A ⊆ R, il massimo di A è un numero M tale che: M è maggiore o uguale di a per ogni a appartenente ad A ed M appartiene ad A. Invece m è minimo di A tale che: m è minore o uguale di a per ogni a appartenente ad A ed m appartiene ad A.

Osservazione: esistono insiemi senza massimo o minimo o entrambi: insiemi strettamente limitati (non c'è minore/maggiore o uguale), esempio: dato (a, b) = a<x<b, non vi sono massimo e minimo; dato [a, b] = , il minimo ≤ x ≤ b ed il massimo sono rispettivamente a e b. Se l'insieme fosse strettamente limitato a destra, ci sarebbe solo il minimo, viceversa, solo il massimo. Gli insiemi numerici in generale (R, N, Q, Z) non hanno massimo e minimo essendo infiniti, neanche l'insieme vuoto ha né massimo né minimo essendo nullo.

Maggiorante e minorante

Dato un numero L, esso è detto maggiorante di A se è verificato che L è maggiore o uguale ad a per ogni a appartenente ad A (è come massimo, solo che può non appartenere all'insieme A, analogo discorso per il minorante). Il massimo ed il minimo sono solo uno ciascuno, i minoranti e i maggioranti possono essere infiniti e fanno riferimento agli elementi. Un insieme è limitato superiormente se ha un maggiorante, limitato inferiormente se ha un minorante, limitato se ha entrambi.