Assiomi sui numeri reali

ASSIOMI SUI NUMERI REALI

1. Addizione e moltiplicazione sono associative, a+(b+c) =(a+b) +c

2. Addizione e moltiplicazione sono commutative, a+b=b+a

3. Vale la proprietà distributiva, (a+b) c=ac+bc

4. Elementi neutri: 0 e 1 (addizionando 0 si ottiene lo stesso numero,

moltiplicando 1 si ottiene lo stesso numero).

5. Esistono opposti, a+(-a) =0

6. Esistono reciproci, a*(1/a) =1.

7. Dicotomia, dati due numeri a e b, può essere a maggiore o uguale di b o

viceversa.

8. Asimmetria, se si verificano entrambi i casi sopra, a=b

9. a b = a+c b+c

≤ ≤

10. Se a, b>0, a+b>0 e a*b>0

11. (le dieci proprietà sopra elencate sono valide anche per Q,

l’undicesima non lo è).

12. Assioma di COMPLETEZZA (o di Dedekind o di continuità), sian A, B

sottoinsiemi di R tali che a minore o uguale di b per ogni elemento preso

rispettivamente da A e B, allora esiste un elemento c fra i due insiemi

che li separa, questa proprietà non sempre vale per l’insieme Q poiché

l’elemento separatore può essere anche un numero irrazionale, tipo

radical 2 (il quale a sua volta non può appartenere a Q, dimostrabile).

DIMOSTRAZIONE NON APPARTENENZA DI RADICAL 2 A Q: sul quaderno.

ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE, MINIMO E MASSIMO

⊆

Sia A R, il MASSIMO DI A è un numero M tale che: M è maggiore o uguale di

a per ogni a appartenente ad A ed M appartiene ad A. Invece m è MINIMO DI A

tale che: m è minore o uguale di a per ogni a appartenente ad A ed m

appartiene ad A.

OSSERVAZIONE: esistono insiemi senza massimo o minimo o entrambi: insiemi

STRETTAMENTE LIMITATI (non c’è minore/maggiore o uguale), esempio: dato (a,

a

b) = a<x<b, non vi sono massimo e minimo; dato [a, b] = , il minimo

≤ x ≤ b

ed il massimo sono rispettivamente a e b. Se l’insieme fosse strettamente

limitato a destra, ci sarebbe solo il minimo, viceversa, solo il massimo. GLI

INSIEMI NUMERICI IN GENERALE (R, N, Q, Z) NON HANNO MASSIMO E MINIMO

ESSENDO INFINITI, neanche l’insieme vuoto ha né massimo né minimo essendo

nullo.

MAGGIORANTE E MINORANTE: dato un numero L, esso è detto maggiorante di A

se è verificato che L è maggiore o uguale ad a per ogni a appartenente ad A (è

come massimo, solo che può non appartenere all’insieme A, analogo discorso

per il MINORANTE). IL MASSIMO ED IL MINIMO SONO SOLO UNO CIASCUNO, I

MINORANTI E I MAGGIORANTI POSSONO ESSERE INFINITI E FANNO

RIFERIMENTO AGLI ELEMENTI.

Un insieme è limitato superiormente se ha un maggiorante, limitato

inferiormente se ha un minorante, limitato se ha entrambi, illimitato se non ne