Sistemi dei numeri reali(assiomi); intervalli

Sistema dei Numeri Reali (Assiomi)

Sono definite le operazioni di addizione (+) e di moltiplicazione (.) tra coppie di numeri reali (R), con le seguenti proprietà (a, b, c indicano numeri reali generici):

Proprietà Associativa:

(a+b) + c = a + (b+c), (a . b) . c = a . (b . c)

Proprietà Commutativa:

a+b = b+a, a . b = b . a

Proprietà Distributiva:

a . (b+c) = a . b + a . c

Esistenza degli Elementi Neutri

Esistono in R due numeri distinti 0, 1, tali che

a + 0 = a, a . 1 = a

Esistenza degli Opposti:

Per ogni numero reale a esiste un numero reale, indicato con -a, tale che

a + (-a) = 0

Esistenza degli Inversi:

Per ogni numero reale ≠ 0 esiste un numero indicato con a^-1 tale che

a . (a^-1) = 1

È definita la relazione di minore o uguale (≤) tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:

• Per ogni coppia di numeri reali a, b si ha a ≤ b oppure b ≤ a
• Proprietà asimmetrica: se valgono contemporaneamente le relazioni a ≤ b, b ≤ a allora a = b
• Se a ≤ b allora vale anche a+c ≤ b+c
• Se 0 ≤ a (a ≥ 0) e 0 ≤ b (b ≥ 0) valgono anche 0 ≤ a+b, 0 ≤ a . b