Sistemi dei numeri reali(assiomi); intervalli

SISTEMA DEI NUMERI REALI (ASSIOMI)

SONO DEFINITE LE OPERAZIONI DI ADDIZIONE (+) E DI MOLTIPLICAZIONE (.) TRA COPPIE DI NUMERI REALI (IR), CON LE SEGUENTI PROPRIETÀ (a,b,c INDICANO NUMERI REALI GENERICI):

• PROPRIETÀ ASSOCIATIVA:(a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c)
• PROPRIETÀ COMMUTATIVA:a+b = b+a a.b = b.a
• PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA:a.(b+c) = a.b+a.c

ESISTENZA DEGLI ELEMENTI NEUTRI:

ESISTONO IN IR DUE NUMERI DISTINTI 0,1, TALI CHE

• a+0 = a
• a.1 = a

ESISTENZA DEGLI OPPOSTI:

PER OGNI NUMERO REALE a ESISTE UN NUMERO REALE, INDICATO CON -a, TALE CHE

• a+(-a)=0

ESISTENZA DEGLI INVERSI:

PER OGNI NUMERO REALE a≠0 ESISTE UN NUMERO INDICATO CON a^-1 TALE CHE

• a.(a^-1) = 1

È DEFINITA LA RELAZIONE DI MINORE O UGUALE (≤) TRA COPPIE DI NUMERI REALI CON LE SEGUENTI PROPRIETÀ:

• Per ogni coppia di numeri reali a,b si ha a≤b oppure b≤a.
• Proprietà asimmetrica: se valgono contemporaneamente le relazioni a≤b, b≤a allora a=b.
• Se a≤b allora vale anche a+c≤b+c.
• Se 0≤a (a≥0) e 0≤b (b≥0) valgono anche 0≤a.b, 0≤a.b.

Sistema dei numeri reali (assiomi)

Sono definite le operazioni di addizione (+) e di moltiplicazione (·) tra coppie di numeri reali (IR), con le seguenti proprietà (a, b, c indicano numeri reali generici):

Proprietà associativa:

(a+b)+c = a+(b+c)       (a·b)·c = a·(b·c)

Proprietà commutativa:

a+b = b+a       a·b = b·a

Proprietà distributiva:

a·(b+c) = a·b+a·c

Esistenza degli elementi neutri:

Esistono in IR due numeri distinti 0, 1, tali che

a+0 = a       a·1 = a

Esistenza degli opposti:

Per ogni numero reale a esiste un numero reale indicato con -a, tale che

a+(-a)=0

Esistenza degli inversi:

Per ogni numero reale a ≠ 0 esiste un numero indicato con a^-1 tale che

a·(a^-1) = 1

È definita la relazione di minore o uguale (≤) tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:

• Per ogni coppia di numeri reali a, b si ha a≤b oppure b≤a
• Proprietà asimmetrica: se valgono contemporaneamente le relazioni a≤b, b≤a allora a=b
• Se a≤b allora vale anche a+c≤b+c
• Se 0≤a (a≥0) e 0≤b (b≥0) valgono anche 0≤a·b, 0≤a·b