Assiomi di ordinamento, completezza delle operazioni

Assiomi

I presupposti sono regole che non vengono cambiate. In Matematica tali presupposti vengono chiamati 'assiomi'. Da essi, tramite dimostrazioni, si deducono i risultati o teoremi.

Il nostro punto di partenza è quello di assumere, come postulato, che esista un insieme di numeri reali R, su cui è possibile effettuare operazioni o stabilire il maggiore tra due numeri.

1. Assiomi relativi alle operazioni
2. Assiomi relativi all'ordinamento
3. Assiomi di completezza

1) Assiomi relativi alle operazioni

• Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c)

  (a⚬b)⚬c = a⚬(b⚬c)

• Proprietà commutativa:

  a+b = b+a

  a⚬b = b⚬a

• Proprietà distributiva:

  a⚬(b+c) = (a⚬b) + (a⚬c)

• Esistenza degli elementi neutri:

  Esiste un elemento neutro rispetto alla somma, che definiamo 0

  [a+0 = a] (ritorna al risultato di partenza)

  Esiste un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, che definiamo 1

  [a⚬1 = a] (ritorna al risultato di partenza)

• Esistenza degli opposti:

  ∀ a ∈ ℝ ∃ (-a) che per definizione è un elemento che sommato ad a mi rende lo 0, elemento neutro. Lo denotiamo con (-a)

  [∀ a ∈ ℝ, ∃ (-a), a + (-a) = 0]

• Esistenza degli inversi:

  ∀ a ∈ ℝ/{0}, l'inverso di a, che è l'elemento che moltiplicato per a mi rende l'elemento neutro rispetto al prodotto:

  [∀ a ∈ ℝ/{0} ∃ (a⁻¹), a ⚬ a⁻¹ = 1]