Assiomi di ordinamento, completezza delle operazioni

Assiomi

I presupposti sono regole che non vengono dimostrate. In Matematica tali presupposti vengono chiamati, postulati o assiomi. Da essi, tramite dimostrazione, si deducono o si sviluppano i teoremi.

Il nostro punto di partenza è quello di assumere, come postulato, che esista un insieme di numeri reali R, su cui è possibile effettuare operazioni o stabilire il maggiore tra due numeri.

1. ASSIOMI RELATIVI ALLE OPERAZIONI
2. ASSIOMI RELATIVI ALL'ORDINAMENTO
3. ASSIOMI DI COMPLETEZZA

1) ASSIOMI RELATIVI ALLE OPERAZIONI

• Proprietà Associativa: (a + b) + c = a + (b + c)(a . b) . c = a . (b . c)
• Proprietà Commutativa:a + b = b + aa . b = b . a
• Proprietà Dissociativa:a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
• Esistenza degli Elementi Neutri:esiste un elemento neutro rispetto alla somma, che definiamo 0[a + 0 = a] ritorna al risultato di partenzaesiste un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, che definiamo 1[a . 1 = a] ritorna al risultato di partenza
• Esistenza degli Opposti:∀ a ∈ R l'opposto di a che per definizioneè un elemento che sommato ad a mi rende lo 0 elemento neutrolo definiamo con (-a)[∀ a ∈ R , ∃ ( - a)] a + ( - a) = 0
• Esistenza degli Inversi:∀ a ∈ R-{0} ∃ (a^-1) → a . a^-1 = 1

Assiomi

I presupposti sono regole che non vengono dimostrate. In Matematica tali presupposti vengono chiamati postulati o assiomi. Da essi, tramite dimostrazioni, si deducono (si ricavano) i teoremi.

Il nostro punto di partenza è quello di assumere, come postulato, che esista un insieme di numeri reali R, su cui è possibile effettuare operazioni o stabilire il maggiore tra due numeri.

1. Assiomi relativi alle operazioni
2. Assiomi relativi all'ordinamento
3. Assiomi di completezza

1) Assiomi relativi alle operazioni

• Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c)(a.b).c = a.(b.c)
• Proprietà commutativa: a+b = b+aa.b = b.a
• Proprietà distributiva: a.(b+c) = (a.b)+(a.c)
• Esistenza degli elementi neutri:esiste un elemento neutro rispetto alla somma, che definiamo 0[a+0 = a] ritorna all'elemento di partenzaesiste un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, che definiamo 1[a.1 = a] ritorna all'elemento di partenza
• Esistenza dei opposti:_∀ a ∈ ℝ l'opposto di a, che per definizioneè un elemento che sommato ad a mi rende lo 0 elemento neutrolo denotiamo con (-a)
• Esistenza degli inversi:_∀ a ∈ ℝ - {0} ∃ a^-1 a.a^-1 = 1

2) Axiomi relativi all'ordinamento

• In ℝ è sempre possibile determinare se a < b oppure b < a (Dicotomia)
• a < b e contemporaneamente b ≤ a ⇒ a = b (Asimmetria)
• a, b, c ∈ ℝ a < b e b < c
• a, b > 0 ⇒ a⋅b > 0 e a:b > 0

3) Assioma di completezza

Siano A e B due insiemi non vuoti, tali che

• a < b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

Allora in ℝ esiste almeno un elemento c ∈ ℝ:

a ≤ c ≤ b

Conseguenze degli assiomi delle operazioni

• HP) a + b = a + c TH) b = c Regola di semplificazione rispetto alla somma
  • b - b + 0 = b + a + (-a)
  • = c + a + (-a)
  • c + 0 - c
• HP) a:b = a:c con a ≠ 0 TH) b = c Regola di semplificazione rispetto al prodotto
  • b = b ⋅ 1
  • = b ⋅ a ⋅ (a^-1)
  • = a ⋅ b ⋅ a^-1
  • = c ⋅ a ⋅ a^-1
  • = c ⋅ 1 = c

Il prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei fattori è nullo

a ⋅ b = 0

[a ⋅ 0 = 0]

a + a ⋅ 0 = a ⋅ 1 + a ⋅ 0 = a ⋅ (1 + 0)

= a ⋅ 1 = a + 0

a ⋅ 0 = a - a = 0

[a ⋅ 0 = 0]

[a b: 0]

Supponiamo che a ≠ 0, verifichiamo che b = 0

b ⋅ b ⋅ 1 = b ⋅ a (a^-1) = (b ⋅ a) (a^-1) = 0 ⋅ a^-1 = 0

⇒ b = 0

• "L'opposto di un numero a ∈ ℝ è unico"

Negando la tesi, esistono 2 elementi opposti di a

PER ASSURDO: {-a} e {b} con {a} t.b opposti di a

a + (-a) 0a + b 0

⇒ a [(-a) :] a + b ⇒ -a ⋅ b

• "L'opposto dell'opposto di a, ∈ ℝ è estremamente a"

-{ - a} = a

[Regola de segni]

CONSEGUENZE DEGLI ASSIOMI DI ORDINAMENTO

• a b b - a ≥ 0
• HP a b ⇒ a [-a] b [-a]
• 0 < b - a

• a b b c ⇒ a c

a b ⇔ b - a ≥ 0b c ⇔ c - b 0

(b - a) + (c - b) ≥ 0-a + b + (-b) + c = 0-a 0 + c - c + a ≥ 0c ≥ a