Appunti vari di Analisi Matematica I

Definizioni di funzione

FUNZIONE SURGETTIVA

DEF: Una funzione f è surgettiva se il suo codominio è uguale all'insieme immagine.

FUNZIONE INGETTIVA

DEF: Per ogni coppia di elementi a, b in A, se a è diverso da b, allora f(a) è diverso da f(b).

FUNZIONE BIGETTIVA

DEF: Una funzione è bigettiva se è contemporaneamente iniettiva e surgettiva.

FUNZIONE INVERSA

DEF: Si dice inversa di f, e si denota con f^(-1), quando la funzione definita da f^(-1) = x^(-1).

OSS: La funzione è invertibile se esiste la sua inversa.

FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE (DECRESCENTE)

DEF: Per ogni coppia di elementi x1 e x2 in A, se x1 è minore (o maggiore) di x2, allora f(x1) è minore (o maggiore) di f(x2).

La funzione si dice monotona strettamente crescente (decrescente) se le precedenti disuguaglianze valgono in senso stretto.

FUNZIONE PARI E DISPARI

DEF: Una funzione si dice pari se f(x) = f(-x), e si dice dispari se f(x) = -f(-x).

DECOMPOSIZIONE DI UNA FUNZIONE

DEF: Una funzione f(x) può essere decomposta in una parte pari e una parte dispari, definite rispettivamente come:

f_p(x) = [f(x) + f(-x)]

f_d(x) = [f(x) - f(-x)]

ASSIOMA DI SEPARAZIONE (DI DEDEKIND)

DEF: Per ogni coppia di elementi a e b in R, se a è minore o uguale a c e c è minore o uguale a b, allora a è minore o uguale a b.

l'assioma di separazione.

PROPRIETA' ARCHIMEDEA

DEF: a > 0 , n N : ≤ a∀ ∈ ∃ ∈MAGGIORANTI E MINORANTI denota con M .

DEF: m R è un maggiorante di A se a A : a ≤ m; l'insieme dei maggioranti di A si∈ ∀ ∈ Adenota con m .

m R è un minorante di A se a A : a ≥ m; l'insieme dei minoranti di A si∈ ∀ ∈ A

INSIEME LIMITATO, LIM. SUPERIORMENTE E LIM. INFERIORMENTE

DEF: A si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

A si dice limitato superiormente se M ≠⊘.

A si dice limitato inferiormente se m ≠⊘.

AESTREMO SUPERIORE E INFERIORE

DEF: Si indica con supA il più piccolo dei maggioranti di A.

Se ξ = supA A, allora ξ si dice massimo di A, maxA.∈

Si indica con infA il più grande dei minoranti di A.

Se ξ = infA A, allora ξ si dice minimo di A, minA.∈

FUNZIONE LIMITATA

DEF: I f insieme limitato f è limitata superiormente

(inferiormente)⇒mPUNTO INTERNO ED ESTERNODEF: x ∈ R si dice interno ad A se x ∈ A ed esiste I(x), intorno di x : I(x) ⊆ A

x ∈ R si dice esterno ad A se x è interno ad A^c

PUNTO DI FRONTIERADEF: x ∈ R si dice di frontiera se non è né interno né esterno ad A

INTERVALLO APERTO E CHIUSODEF: A ⊆ R si dice aperto se tutti i suoi punti sono interni ad A

A ⊆ R si dice chiuso se il suo complementare è aperto

OSS: R è sia chiuso che aperto

DIM: R è l’unico sottoinsieme di R con questa caratteristica. Innanzitutto è aperto perché soddisfa la definizione di intervallo aperto. Per dimostrare che R è non aperto, bisogna dimostrare che è chiuso, e quindi che il suo complementare è aperto. Il complementare di R è l’insieme vuoto. Quindi l’insieme vuoto dovrebbe essere aperto ma sappiamo che ogni affermazione sull’insieme vuoto è vera. Perciò R è

è sia chiuso che aperto.

OSS: La riunione di un numero qualsiasi di intervalli aperti è un intervallo aperto.

FUNZIONE CONTINUA

1. f si dice continua se è continua in ogni punto del suo dominio di definizione.
2. f si dice continua in x se V intorno di f(x ) U intorno di x : f ( U A ) V∀ ∃ ⋂ ⊂0 0 03..
3. f si dice continua in x se ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : | x – x | < δ ⇒ | f(x) – f(x )| < ε0 0 0

FUNZIONE LIPSCHITZIANE

DEF: ∃ L ≥ 0 ∀ x ,x ∈ A : | f(x ) – f(x ) | ≤ L | x – x | L si chiama costante di Lipschitz1 2 1 2 1 2

Cioè il rapporto tra variazione di ordinata e variazione di ascissa non può superare un valorecostante fissato

OSS: f lipschitziana ⇒ f continua

FUNZIONE UNIFORMEMENTE CONTINUA

DEF: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : | x – x | < δ ⇒ | f(x ) – f(x )| < ε1 2 1

2cioè se a piccole variazioni delle x corrispondono piccole variazioni delle y

OSS: f uniformemente continua ⇒ f continua

TEOREMA DI CANTORI ⊂ R intervallo chiuso e limitato, f: I R continua ⇒ f è uniformemente continua→

TEOREMA DI WEIERSTRASSf : [a;b] ⇒ ∃ min f , max f : I f = [ min f ; max f ]→R m

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

f continua in x punto interno , f(x0) > 0 ⇒ ∃ I(x ) ⊂ A : f(x) > 0

0DIM: Supponiamo f(x ) > 0.

Fisso ε > 0 tale che ∀ | x – x | < δ :0| f(x) – f(x )| < ε ⇔ f(x ) – ε < f(x ) < f(x ) + ε

0 0 0 0dunque f(x ) – ε dà che per | x – x | < δ vale f(x) > 0