Appunti Trasmissioni Digitali

T T

s s b

3.2 Interferenza Intersimbolica (ISI)

In una modulazione digitale, in genere, le forme d'onda trasmesse sono del tipo:

X

= ) dove è un generico (3.1)

p(t) impulso base

¡

u(t) p(t k T

k s

k

Sarebbe auspicabile che in ricezione si riuscisse a ricostruire i simboli man mano che essi arrivano senza dover aspettare

la ricezione di quelli seguenti e quindi aspettare un tempo molto grande.

Nota 3.2. L'impulso base è noto sia al Tx che al Rx pertanto lato ricevente si devono riuscire a ricostruire

p(t)

correttamente i coecienti in modo da capire quale forma d'onda è stata trasmessa e risalire, quindi, al simbolo

k

ad esso associato. Questo è possibile in virtù dell'isomorsmo introdotto dal Teorema di Rappresentazione e del fatto

che entrambi gli interlocutori sono a conoscenza dei possibili simboli che possono essere trasmessi.

lato ricevente

Per recuparare i coecienti basterà fare il prodotto scalare tra il segnale ricevuto e l'impulso

u(t)

k

base originario. Si ricorda, infatti, che i coecienti sulla base del Teorema di Rappresentazione sono costruiti nel

k

seguente modo: =<u(t); (t) (t)

dove sono i versori di una base ortonormale (3.2)

>

k k k 19

20 MODULAZIONI DIGITALI

3.2.1 Primo caso , cioè

Si supponga di considerare un impulso base che sia ortogonale a tutte le sue versioni traslate

) ) =

/

con (3.3)

¡ ? ¡

p(t k T p(t m T m k

Nella ricostruzione dei coecienti succede quanto segue:

Z +1

) = (t ) =

¡ ¡

<u(t); p(t m T > u(t) p m T d t

¡1

Z Z

X X

+1 +1

= ) (t ) = ) (t )

¡ ¡ ¡ ¡

p(t k T p m T d t p(t k T p m T d t

k k

¡1 ¡1

k k

X =

/

0 se m k

) = (3.4)

¡

<u(t); p(t m T > k =

1 se m k

k

=

/ =

Quando il prodotto scalare è nullo per ipotesi (p e p* sono ortogonali), quando invece si ottiene l'energia

m k m k

dell'impulso base e poichè la sua scelta è arbitraria per semplicità di trattazione è stato scelto con energia unitaria.

Questo vuol dire che in questo caso si riesce a ricostruire i coecienti man mano che arrivano.

k

Nota 3.3. L'energia dell'impulso base non è signicativa ai ni della trattazione: come già detto per semplicità la

si è scelta unitaria (per mettere meglio in evidenza la corretta ricostruzione) ma se così non fosse il problema non si

porrebbe perchè il ricevitore conosce l'impulso base e quindi la sua energia pertanto riuscirebbe comunque a ricostruire

correttamente i coecienti .

k

3.2.1.1 Prodotto scalare

Si può fare una piccola osservazione scrivendo il prodotto scalare nel seguente modo:

Z Z

+1 +1 j

(t ) = ) (

¡ ¡

u(t) p m T d t u( p t) d t=mT

¡1 ¡1

= (¡t),

Ponendo, poi, si ottiene:

h(t) p Z +1 j j

) ) =u(t) (3.5)

¡ h(t)

u( h(t d t=mT t=mT

¡1 filtro LTI

Questo vuol dire che il (che opera un prodotto scalare) può essere realizzato come un

demodulatore

con risposta impulsiva h(t) ed un campionatore in cascata per prelevare l'uscita del ltro agli istanti (il che nel

mT

complesso equivale ad utilizzare un ltro adattato). Figura 3.1.

3.2 Interferenza Intersimbolica (ISI) 21

3.2.2 Secondo caso

Si supponga che l'impulso base non sia ortogonale alle sue repliche e si consideri un generico canale con risposta

impulsiva c(t) e a banda limitata (-W,W). Figura 3.2.

In ingresso al (1) si ha:

Modulatore

P )

¡

(t k T

k

k

In uscita al Modulatore e in ingresso al (2) si ottiene quindi:

Canale

P )

¡

g(t k T

k

k

In uscita al canale e in ingresso al (3), invece, si ha:

Demodulatore

P (t ) (t) =

con

¡

x k T x g(t) c(t)

k 1 1

k

Inne in uscita al Demodulatore (4) si ottiene:

P ) =

con

¡

x(t k T x(t) g(t) h(t) c(t)

k

k

Questo vuol dire che a valle del Demodulatore, in seguito alla ricostruzione, è stato ottenuto:

X X

) ] = (3.6)

¡

x[(m k T x

k k m¡k

k k

Con la notazione si intende dire che i simboli dipendono dalla dierenza . La sommatoria ottenuta può

m-k

x

m¡k

essere scomposta nel seguente modo: X +a (3.7)

x x

k m¡k m 0

k=

/ m

Si nota, allora, che il termine utile, cioè quello che contiene informazione, è solo mentre la sommatoria rappresenta

a x

m 0

l'Interferenza Intersimbolica.

È stato appena dimostrato che in questo caso esce a recuperare i coecienti per via dell'ISI, ovvero la

non si ri k

ricostruzione dell'm-esimo simbolo dipende dai simboli che lo precedono e che lo seguono.

Per eliminare l'ISI bisogna fare in modo che:

=

/ =

/0

0 se 0 se

m k n

= ) = no isi (3.8)

¡!

x x(n T

m¡k = = 0

1 se 1 se

m k n =

Pertanto bisogna fare in modo che sia tale da rispettare questa condizione; ricordando che e

x(t)

x(t) g(t) h(t) c(t)

che è la risposta impulsiva del canale (quindi è data e non può essere toccata) per non avere ISI bisogna progettare

c(t)

in maniera opportuna il Tx e il Rx, ovvero è necessario scegliere opportunamente e

g(t) h(t).

Si supponga di considerare la versione campionata di piuttosto che stessa, cioè:

x(t) x(t)

1

X

(t) = ) ) =(t) Campionamento (3.9)

¡

x x(n T (t n T

n=¡1

22 MODULAZIONI DIGITALI

Nota 3.4. La versione campionata di è uguale a solo perchè si presuppone che non ci sia interferenza

x(t) (t)

intersimbolica, in altri termini:

1

X X X

) ) = ) ) + ) ) =

¡ ¡ ¡

x(n T (t n T x(n T (t n T x(n T (t n T (t)

n=¡1 n=0 n=

/0

Trasformando la 3.9, passando quindi al dominio della frequenza, si ottiene:

1 1

X X

1 k k

= 1 = (3.10)

¡ ¡! ¡

X f X f T

T T T

k=¡1 k=¡1

condizione di no isi o criterio di nyquist.

Tale relazione si denisce

Questo criterio suggerisce che la replicazione della trasformata di x(t) debba essere costante.

Figura 3.3.

3.3 Qualche considerazione 23

2W = 2W

Si nota che per i casi non si riesce mai ad ottenere una replicazione costante. Nel caso , invece, è

R > R

f

) =

possibile solo se il che implica che deve essere una funzione Tutto questo, però, è vero solo

sinc.

X(f x(t)

2 W

teoricamente perchè la sinc nella pratica è inutilizzabile in quanto è instabile e non causale.

2W

L'unico caso in cui ci sono innite soluzioni è quello , dove, grazie all'eetto dell'aliasing, si riesce ad ottenere

R <

una replicazione costante. Tipicamente, a tale scopo, sono utilizzati e sono di particolare interesse i filtri a coseno

rialzato.

In conclusione, è possibile annulare l'ISI ma questo vuol dire avere un piccolo ovvero rendere la trasmissione meno

R

veloce. Da questo momento si supporrà che la condizione di NO ISI sia sempre vericata pertanto l'unico problema

di cui tener conto è il rumore.

3.3 Qualche considerazione

(t); = 1;

Il trasmettitore invia con forme d'onda. Il ricevitore deve capire quale forma d'onda è stata

S m ::::; M,

m

trasmessa ovvero deve capire che pedice (m) ha la forma d'onda ricevuta. Questo, però, succede solo in una situazione

= (t) + (0; )

ideale in quanto nella pratica in ricezione si hanno forme d'onda del tipo con ovvero la

2

r(t) S w(t); t T

m

decisione del ricevitore deve avvenire tenendo conto anche del rumore.

di simbolo,

Tipicamente nelle modulazioni si tiene conto anche dell'energia ovvero l'energia impiegata per

media

trasmettere il singolo simbolo, e dell'energia della segnalazione:

Z T

" = (t)j Energia di simbolo

2

jS d t

m

m 0 M

X

1

" "

= Energia media

av m

M m=1

dimensionalità

Si denisce (N) della modulazione la dimensione della base ortonormale di rappresentazione.

(t)g

Infatti se i segnali da trasmettere sono allora bisogna trovare una base ortonormale dello spazio vettoriale

M

fS

m m=1

6 6

(t)g 1

per poterli rappresentare, cioè con . Questo vuol dire che la dimensionalità della segnalazione

N

f N M

m m=1

non è necessariamente pari al numero di segnali da trasmettere.

24 MODULAZIONI DIGITALI

3.4 Modulazione PAM

3.4.1 Generalità

La modulazione PAM è una modulazione ad ampiezza degli impulsi ovvero l'informazione risiede nell'ampiezza dei

segnali trasmessi. Il generico segnale trasmesso è del tipo:

(t) = (0; ) = 1;

con e (3.11)

2

S A g(t) t T m ::::M

m m

è un generico la cui scelta è assolutamente arbitraria.

impulso base

g(t)

Nella modulazione PAM a ogni simbolo, formato da un gruppo di bit o da un singolo bit, viene associata una forma

= (2 1 ),

d'onda con ampiezza diversa. Le ampiezze delle forme d'onda vengono scelte seguendo la regola ¡ ¡

A m M

m

ad esempio: = = 1

M=2 (Pam Binario) ,

¡1

A A

1 2

= = = 1 = 3

M=4 (Pam Quaternario) , , ,

¡3 ¡1

A A A A

1 2 3 4

Figura 3.4.

3.4.2 Base di rappresentazione (t):

Per trovare una base di rappresentazione si utilizza la procedura di Gram-Schmidt partendo dal segnale S

1

(t)

S A g(t) g(t)

1 1

(t) = = =

p p p

1 " "

2

A "

1 g

g

1

Si ricava, ora, il secondo versore della base:

0 (t) = (t) (t); (t) (t) =0

¡

S <S >

2 2 1 1

2

Questo dipende dal fatto che gli M segnali dieriscono tra di loro solo per una costante (l'ampiezza), ovvero essi sono

(t)

linearmente dipendenti. Ciò implica che la base è formata solo da e che si possono ricavare tutti i segnali della

1

modulazione a partire da una sua combinazione lineare. dimensionalità unitaria

È stato trovato, allora, un importante risultato: le modulazioni PAM hanno (N=1).

sempre

3.4.3 Costellazione

Per trovare la costellazione della modulazione PAM si ricorre al Teorema di Rappresentazione, ovvero:

(t) = (t) = (t); (t)

e

S a a <S >

m m m m

Z Z

T T p

A m

(t); (t) = (t) (t) = (t) =

2

<S > S d t g d t