Appunti Matematica finanziaria

APPUNTI DI MATEMATICA

FINANZIARIA 1

LEGENDA & INDICE

1. Funzioni elementari……………………………………………………………………………4

1.1 Funzione valore………………………………………………………...…………………5

1.2 Funzione montante………………………………………………………..………………6

2. Attualizzazione e capitalizzazione…………………………………………….……………….7

Capitalizzazione…………………………………………..………………..………..…….7

2.1 Regime semplice…………...……………………………………….....…………….8

2.1.a Regime composto………………………...………………………….………...…….8

2.1.b

Interesse……………………………………….………………………………...……………….9

3. …………………………………………………………..……………….9

3.1 Tasso di interesse

3.2 T.I.R. = Tasso Interno di rendimento variabile…………….……………………………….9

Piani di ammortamento…………………………..…………………………………………….10

4. italiano…………………………..……………..……………….10

4.1 Piano di ammortamento

4.2 Piano di ammortamento francese………………………………………...……………….11

4.3 Piano di ammortamento americano o a due tassi………………………...……………….11

Debito residuo e debito estinto…………………………..…………………….……………….12

5. montante…………………………..……………...……………….14

6. Funzione valore e funzione

6.1 Funzione valore…………………………..………………………………..……………….14

6.1.a Funzione valore a termine……..…………………………………………………….14

6.1.b Funzione valore a pronti……..…………………………………………….………...14

6.1.2 Proprietà funzione valore…………………………..…………………………………….15

6.2 Funzione montante…………………………..……………………………………………..16

6.2.a Funzione montante a termine…………………………..………………..…………..16

6.2.b Funzione montante a pronti…………………………..…………………..…….……17

6.2.2 Proprietà funzione montante…………………………..………………………………….17

Tasso di interesse…………………………..………………………..…………...……………...18

7. 7.1 Funzione tasso di interesse………………….……………….……………….…………….19

7.2 Funzione montante nei regimi di capitalizzazione………………….……………………...19

7.3 Proprietà di scindibilità………………….……………….……………….………………...21

Valore attuale………………….……………….……………….……………….………………21

8. 8.1 Formula utile………………….……………….……………….……………….………….22

Piano di ammortamento francese………………….……………….……………….…………..22

9. 9.1 Cambio di tasso………………….……………….……………….……………….……….22

Piano di ammortamento americano………………….……………….……………….………..23

10. 10.1 Tasso effettivo………………….……………….……………….………………………..23

T.I.R. = Tasso interno di Rendimento………………….……………….……………….……..24

11. 11.1 Teorema di esistenza ed unicità del T.I.R….……………….……………….……………24

B.T.P. = Buono del Tesoro Poliennale………………….……………….……………………..25

12. 12.1 Aspetti fiscali………………….……………….……………….……………….………...26

Come risolvere gli esercizi………………………………………………………………..27

12.2 Simbologia e schema B.T.P….……………….……………………………….………….28

12.3 Spread………………….……………….……………….……………….………………..29

12.4

Leasing………………….……………….……………….……………….……………………30

13. 2

Rendite finanziarie………………….……………….……………….……………….………...30

14. 14.1 Rendite finanziarie temporanee………………….……………….……………….………31

finanziarie perpetue………………….……………….……………….………….31

14.2 Rendite

Opzioni finanziarie………………….……………….……………….…………...……………32

15. 15.1 Opzione call………………….……………….……………….……………….………….32

15.1.1 Funzione guadagno………..….……………….……………….…………………33

15.2 Opzione put…………………………….……………….……………….………………..35

15.2.1 Funzione guadagno…..……….……………….……………….…………………35

15.3 Combinazioni di opzioni finanziare.…………….……………….……………….………37

…38

…………………………………………..

15.4 Limitazioni razionali per il prezzo delle opzioni

15.5 Relazioni di parità fra i prezzi di opzioni call e put………………………………………39

Durata media finanziaria………………….……………….……………….…………………..40

16. Immunizzazione finanziaria………………….……………….……………….……………….40

17. 17.1 Teorema di Fisher-Weil………………….……………….……………….……………....40

17.2 Teorema di Reddington………………….……………….……………….………………40

18. Pre-Ammortamento……………………………………………………………………………..41

3

1. FUNZIONI ELEMENTARI

In Matematica Finanziaria vi sono due funzioni dette elementari legate tra loro da un rapporto di

infatti l’una è il reciproco dell’altra,

reciprocità, e sono:

- Funzione valore

- Funzione montante

Prima di affrontare il discorso è bene introdurre il concetto di scadenzario, ovvero un grafico sul

quale si inseriscono delle specifiche date:

 t = data di stipula di un contratto

 T = data di pagamento o data di valutazione finanziario tra

 s = data di scadenza due soggetti

Inoltre vi sono due tipi di scadenze, quelle generiche e quelle equidistanziate.

- Equidistanziate, in cui ogni data di pagamento è equidistanziata alla precedente e alla successiva,

+

∈

e sono del tipo t + j, dove j = 1,…,n N . Inoltre si parla di scadenza unitaria quando si fa

riferimento all’anno, ovvero ogni scadenza ha la durata di un anno. Sullo scadenzario vengono

rappresentate come segue:

- Generiche, in cui si hanno diversi periodi di scadenza, possono essere di diversa lunghezza

con j = 1,…,n +

∈

temporale e sono del tipo t N . Sullo scadenzario vengono rappresentate come

j

segue:

Alcune date fondamentali sullo scadenzario sono rappresentate dalle seguenti notazioni:

 t = t : data di stipula del contratto finanziario, data iniziale

0

 t : scadenza

n

 t + n: scadenza n-esimo anno

Inoltre in tutti gli argomenti del corso si considereranno le situazioni dove il rischio è nullo, ovvero

situazioni di certezza, salvo indicazione esplicita. 4

1.1 Funzione valore

indicata come “v (t, T, s)”,

La funzione valore, è esattamente il prezzo che un soggetto paga, infatti,

presi due soggetti uno paga all’altro “un qualcosa” e alla scadenza il soggetto che viene pagato

un’unità In altri termini “v (t, T, s)” è il prezzo

incassa monetaria. da pagare in T per avere diritto a

riscuotere un’unità monetaria a scadenza. Rappresentazione sullo scadenzario:

“v (t, T, s)”

Ovviamente se si varia uno degli argomenti della funzione valore varierà la funzione

stessa, invero  in questo caso è stata

variata la data di stipula t

Studiando il comportamento della funzione valore tra due soggetti, indicando sulla data di scadenza

l’unità monetaria riscossa dal soggetto pagato, si può osservare come, a seconda del soggetto

s dell’unità monetaria

preso in considerazione il segno cambi, sia esso della funzione valore e

riscossa. In questo caso:

 il soggetto 1 ha una funzione

valore negativa poiché in s

l’unità monetaria

incassa

 il soggetto 2 ha una funzione

valore positiva poiché in s

esborsa l’unità monetaria,

infatti vi è associato il “-1”

 la data di pagamento è

compresa tra la data di

stipula e la data di scadenza,

al più può coincidere con una

di esse.

La funzione valore non può essere nulla, v (t, T, s) = 0, poiché significherebbe che non vi è alcun

ciò darebbe vita all’ipotesi

esborso da parte del soggetto pagante, di regalo, ovvero la situazione in

di un soggetto nei confronti dell’altro.

cui non vi è un pagamento

Per cui:

 a

v (t, T, s) > 0, si escludono le ipotesi regalo (1 proprietà della funzione valore)

 < 0, un soggetto ha 2 incassi e l’altro 2 esborsi:

v (t, T, s) ipotesi di doppio regalo

  

0 < v (t, T, s) 1, v (t, T, s) = 1 T = s (caso limite) 5

 T che dovrebbe

∧

trovarsi tra t s ora

risulta coincidere

con s, T = s

 Quando t = T allora

v (t, T, s) > 0

 –

s T = durata effettiva

 ≠

v (t, T’, s) v (t, T”, s)

 T’ < T”

 In generale, si può notare

come più si è prossimi ad s più

la funzione valore cresce per

cui: v (t, T’, s) < v (t, T”, s)

1.2 Funzione montante

Nel contratto finanziario stipulato tra due soggetti si prevede che in T si versi una somma di denaro,

quindi il soggetto investe un’unità monetaria, la funzione montante m (t, T, s) si trova in s.

In questo caso:

 il soggetto 1 ha funzione montante positiva poiché investe un’unità monetaria in T, infatti la

esborsa quindi il valore “-1”

 l’unità monetaria “+1” ma la funzione montante è negativa perché non

il soggetto 2 incassa in T

investe nulla in T

 ≥ 1, ciò vale a dire che se all’inizio si investe 1 alla fine riceve più di 1

m (t, T, s)

 

m (t, T, s) = 1 T = s 6

 s’ – < s” – (t, T, s’) < (t, T, s”)

T T => m m

 la funzione montante del secondo contratto è strettamente maggiore di quella del primo poiché il

periodo che intercorre tra la data di pagamento e la data di scadenza è maggiore nel secondo

contratto che nel primo, perciò gli interessi maturati saranno maggiori, dunque più profitti

2. ATTUALIZZAZIONE E CAPITALIZZAZIONE

per cui l’importo finale sarà minore; si

- Attualizzazione: portare un importo indietro nel tempo,

utilizza la funzione valore v (t, T, s) per cui l’importo finale sarà maggiore; si

- Capitalizzazione: p