Appunti Matematica finanziaria

Simbologia e schema B.T.P.

P P P Ph = - , con : prezzo di acquisto del B.T.P. e : prezzo di vendita del B.T.P. (o P o P )h > 0: plusvalenza oppure h < 0: minusvalenza ⋅G = A hG ⋅ 12,5 RG = 100 –ITN = IT + CN RG (se non vi sono commissioni si sottrae solo RG) 2712.3 Simbologia e schema B.T.P.  Prezzo d’acquisto: A Valore nominale: C Cedola: I Tasso nominale annuo: i Tasso effettivo: j A = C i = j A < C i < j A > C i > jDimostrazione- Ipotesi: A = C- Tesi: i = jAttualizzando il prezzo d’acquisto A si ottiene:Considerando A = C, si ha: 28uno dei due fattori dell’equazione finale sopraPer la legge di annullamento del prodotto, almenoproposta dev’essere uguale a zero, per cui si considerano i due casi distintamente e si analizza lasituazione:Allora si avrebbe: In contraddizione con l’ipotesi considerataprecedentemente di A = Cl’altro fattore deve necessariamente pari a zero,Per cui infatti:12.4 SpreadLo spread,

• Le scadenze sono equidistanziate
• K: canone periodico equidistanziato pagato ad ogni scadenza, non sempre costante
• i: tasso d'interesse fruito dall'accordo tra le parti, costante
• ⋅q k: maxi canone iniziale, con q > 1
• α: frutto dall'accordo e tiene conto dell'usura del bene, con 0 < α tra le parti < 1
• αo se = 0, allora il bene è totalmente usurato
• αo se = 1, allora il bene è perfettamente funzionante
• α ⋅ C: facoltà di riscatto

Pagamento di un flusso di poste positive sullo scadenzario. La posta iniziale, in t, prende il nome di valore attuale della rendita.

Esistono due tipi di rendite finanziarie:

1. Rendite finanziarie temporanee, il numero di pagamenti è finito e pari a n (numero di scadenze)
2. Rendite finanziarie perpetue, riguardano un flusso di pagamenti illimitato nel tempo (non vi è una data di scadenza indicata)

Siano:

• t: data di stipula ≠ t ≠ t
• t': data di decorrenza del contratto finanziario 0 ≤ t' ≤ 10
• t'': data del primo pagamento
• tasso d'interesse i:
• p: valore della differita, ovvero il periodo dopo il quale si inizia ad avere una rendita 30

Rendite finanziarie temporanee

Questo tipo di rendite hanno 3 caratteristiche fondamentali:

1. La rata pagata ad ogni scadenza risulta essere costante
2. Le scadenze sono equidistanziate
3. Il tasso d'interesse i è costante

Vi sono 4 tipi di rendite finanziarie temporanee a seconda della relazione delle tre

1. t = t₀: nel momento in cui viene stipulato il contratto finanziario si ha anche la decorrenza, perciò il contratto inizia dalla stipula; si parla di rendita finanziaria temporanea immediata
2. t < t₀: rendita finanziaria temporanea differita, da cui le formule:
   −n(1+i)¹ − p ⋅ valore attuale di rendita: V = R(1 + i)^-1
   rata: R = −p − (n−p)(1+i)^-1
3. t = t₀: nel momento in cui inizia il contratto si ha il primo pagamento; si parla di rendita finanziaria temporanea anticipata, da cui le formule:
   −n₁ − (1+i)^-1 ⋅ valore attuale di rendita: V = R(1 + i)^-1
   rata: R = 1−n₁ + i − (1+i)^-1
4. t < t₀: rendita finanziaria temporanea posticipata, da cui le formule:
   −n₁ − (1+i)^-1 ⋅ valore attuale di rendita: V = R i^-1
   rata: R = −n₁ − (1+i)^-1

14.2 Rendite finanziarie perpetue

Per questo tipo di rendite finanziarie valgono le stesse

Caratteristiche delle rendite finanziarie con l'aggiunta che t ≤ t ≤ ttemporanee, .0 1

Vi sono 3 tipi di rendite finanziarie perpetue:

1. Rendita finanziaria perpetua posticipata, da cui le formule:
• Valore attuale di rendita: V = i⋅rata
• Rata: R = V i
2. Rendita finanziaria perpetua anticipata, da cui le formule:
• Valore attuale di rendita: V = iV i⋅rata
• Rata: R = 1+i
3. Rendita finanziaria perpetua differita, da cui le formule:
• Valore attuale di rendita: V = iV i⋅rata
• Rata: R = −p(1+i)

OPZIONI FINANZIARIE

Le opzioni sono contratti derivati che attribuiscono al compratore il diritto di acquistare, o vendere un'attività sottostante.

Vi sono due tipi di opzioni finanziarie:

1. Opzione call, contratto a termine che attribuisce al compratore il diritto di decidere se acquistare, oppure no, un'attività sottostante.
2. Opzione put, contratto a termine che attribuisce al compratore il diritto di decidere se

vendere, oppure no, un'attività sottostante. Tale diritto può essere esercitabile in due momenti diversi:

• se è esercitabile solo a scadenza, allora si parla di opzione call (o put) europea;
• se il diritto è esercitabile in qualsiasi istante (dalla stipula alla scadenza), allora si parla di opzione call (o put) americana.

Il sottostante è l'attività finanziaria o il bene a cui uno strumento derivato è legato, e il cui andamento sui mercati determina il valore del derivato stesso. Lo scambio di quest'ultimo avviene in un mercato ufficiale e le quotazioni sono accessibili al pubblico. Il sottostante può essere rappresentato da materie prime, valute estere, tassi d'interesse, titoli o indici azionari.

15.1 Opzione call

Un'opzione call è uno strumento derivato che garantisce all'acquirente il diritto, ma non l'obbligo, di acquistare un titolo, detto sottostante, a scadenza (o entro la scadenza) a un

Dato prezzo, detto prezzo d'esercizio. L'esercizio avrà senso, escludendo il costo pagato per acquistare l'opzione. In tal caso detto premio, prezzo d'esercizio; solo se il prezzo del sottostante sarà superiore al prezzo d'esercizio, il profitto realizzato sarà pari al prezzo d'esercizio; l'opzione alla differenza tra il prezzo di mercato e dunque call consente di guadagnare se il mercato sale. Solitamente si sottoscrive un'opzione call se ci si aspetta un rialzo del valore del sottostante.

Nella stipula di un'opzione sono coinvolte due controparti, l'holder call e il writer.

Holder Writer

• paga il writer possessore del sottostante
• paga un costo, premio, dell'opzione per poter sottoscrivere il contratto
• incassando k acquista il diritto dal writer
• assume l'obbligo di sottostare alla decisione dell'holder se

esercitare o meno l'opzione

Gli elementi del contratto sono:

• x: prezzo d'esercizio
• costo dell'opzione k:
• t = 0: data di stipula, vi è la sottoscrizione del contratto e il pagamento di k
• [0, T]: durata del contratto, con T: data di scadenza
• ∈t [0, T]: generico istante di vita del contratto
• : valore del sottostante all'epoca tS t
• S : valore del sottostante alla fine del contratto (a scadenza)T 32

Nell'opzione call europea:

• in 0 < t < T: l'holder decide se detenere l'opzione o vendere sul mercato
• in t = T: a scadenza, l'holder decide se vendere o meno, una volta confrontati i prezzi iniziale e finale del sottostante precedentemente acquistato

Nell'opzione call americana:

• in t = 0: si ha la stipula del contratto
• in 0 < t < T: l'holder decide se esercitare o meno l'opzione

Nel seguito si considereranno solo opzione finanziarie europee, salvo indicazione esplicita.

15.1.1

Funzione guadagno: G(T) rappresenta la scadenza e il momento in cui l'holder deve prendere la decisione di esercitare (o meno) l'opzione.

Nella opzione call europea, l'holder paga, a scadenza, l'opzione al writer al prezzo d'esercizio x in aggiunta al premio k.

L'holder esercita l'opzione in base alla sua funzione di guadagno, che varia in base al valore del sottostante S.

Vi sono dei casi da tenere in considerazione per comprendere al meglio come funziona tale funzione, dati x e k > 0, con x > k:

a) Caso limite: S = 0, l'holder non esercita l'opzione di vendita del sottostante.

Funzione guadagno netto: G(S) = -k, negativa poiché l'holder non esercita l'opzione e comunque paga il premio k al writer, quindi vi è una perdita.

b) S < x, l'holder non esercita l'opzione.

Funzione guadagno netto: G(S) = -kN(T).

c) S >= x, l'holder esercita l'opzione.

Funzione guadagno netto: G(S) = S - x - kN(T).