Appunti di matematica finanziaria

Appunti di matematica finanziaria e probabilità

Operazioni finanziarie elementari (OFE)

Si conviene all'epoca 0 (contrattuale) di scambiare il capitale A (esigibile) all'epoca X contro il capitale B riferito ad un'epoca Y successiva ad X.

Dove:

• X = Epoca di inizio dell'operazione
• Y = Scadenza dell'operazione
• t = Durata operazione

A pronti e a termine

A pronti - L'operazione inizia immediatamente nel mercato o stipula del contratto. Se X = 0

A termine - Operazioni nelle quali il patto incontro A viene eseguito (o eseguito) ad un'epoca successiva all'istante contrattuale. Se X > 0

Esempi:

• A = 100, B = 110, X = 0, Y = 2 (A pronti)
• A = 80, B = 100, X = 2, Y = 4 (A termine)

1. Di prestito o capitalizzazione

Un agente economico (creditore o mutuante) conviene oggi di prestare ad una certa epoca X ad un altro operatore (debitore o mutuataio) un capitale C (cap. iniziale) contro la restituzione ad una epoca successiva Y di un importo M (montante).

Interesse relativo all'operazione I = M - C

Generalmente si assume che valga il postulato di rendimento del denaro (la rinuncia temporanea alla liquidità vada sempre remunerata con un premio (interesse) non negativo). M > C -> I > 0

Fattore di capitalizzazione U = M/C, U > 1

Tasso effettivo di interesse

Rapporto tra interessi e capitale iniziale i = I / C

Per calcolare gli interessi relativi ad una operazione essendo noti tasso e capitale iniziale I = CI > 0

Relazione tra fattore di capitalizzazione e tasso di interesse

i = (M - C) / C = u - 1, I = Cu - 1 = i

Il tasso di interesse è un indicatore di redditività dell'operazione per unità di capitale investito. È riferito all'intera operazione e quindi è influenzato dalla durata dell'operazione.

Per ottenere un indice svincolato da tale influenza definiamo:

Tasso nominale di interesse

Rapporto tra tasso di interesse e durata j = i / t, j > 0

Esempio

u = ¹³⁰/₁₀₀ = 1,3

l = ^{30 - 0,3}/₁₀₀ = ³⁰/₁₀₀

j = ^0,3/₂ = 0,15 → 1,5% se x = 2, y = 4

j = ^0,3/_2/12 = 1,80% se x = ²/₁₂, y = ⁴/₁₂

Se non vale il postulato di rendimento del denaro → M ≤ C

I = M - C → C_c/^x → ⁱ/_c = 1 quindi ⁱ/_-1

u₁₂ = 1 + i = -1 + 0 quindi u₁₂ > 0

2. Operazioni finanziarie elementari di sconto

Un soggetto (cedente) che vanta un credito di ammontare K in scadenza ad una fissata epoca futura y (nei confronti di un debitore), conviene oggi di cederlo ad un soggetto (cessionario) in cambio di P in x.

Importo → P → K

Epoche → O → X → Y

P → valore attuale o valore scontato, K → capitale finale

Sconto relativo all'operazione D = K - P

Costo del servizio di anticipazione

Usualmente si assume 0 < P < K → D > 0

Fattore di attualizzazione

Rapporto tra valore attuale e capitale finale v = P/K, 0 < v < 1

Tasso di sconto o attualizzazione

Rapporto tra sconto e capitale finale d = D/K, 0 < d < 1

Per calcolare lo sconto relativo ad un'operazione con tasso di sconto e capitale finale: D = d · K

Relazione tra tasso di sconto e fattore di capitalizzazione

d = D/K = K - P/K = 1 - v

v = 1 - d

Tasso nominale di sconto o intensità di sconto

Rapporto tra tasso di sconto e durata dell'operazione

Esempio

100 → 1300, 2, 4

v = ¹⁰⁰⁄₁₃₀ = 0,7692

d = ³⁰⁄₁₃₀ = 0,2308 = 23,08%

χ = 0,2308 → 0,1154 → 11,54% ← se x = 2 → y = 4

χ =^0,2308⁄₂ → 138,46% ← se x = ²⁄₁₂ → y = ⁴⁄₁₂

Operazioni di capitalizzazione e di sconto associate

Se un'operazione può essere indifferentemente interpretata come...