Appunti teorici di Analisi II per ingegneria

Name: Appunti teorici di Analisi II per ingegneria
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Author: francesco.farolfi

Revisionato il 26/05/2026

di francesco.farolfi

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La dispensa contiene le nozioni teoriche riguardanti: lo spazio euclideo R^n; limiti e funzioni continue di più variabili reali; calcolo differenziale e integrale per funzioni di …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Montanari Annamaria

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2018-2019

77 pagine

Appunto

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Estratto del documento

ℝ^m = { x . (x_n, ..., x_m) : x_i ∈ ℝ ∀ i = n, ..., m }

DEFINIAMO

x (x_i) . y (y_i) allora x = y ⟺ x_i = y_i ∀ i
x - y = (x_i - y_i) i = n, ..., m
λx = (λx_i) i = n, ..., m
x - y = x + (-n)y
0 = (0, ..., 0)
< , > : ℝ^m × ℝ^m → ℝ
<x, x> = <y, x> = ∑_i=n^m x_i y_i

|| || : ℝ^m → ℝ

||x|| = √<x, x>
> CAUCHY - SCHWARZ |<x, y>| ≤ ||x|| ||y||
> DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE || x + y || < ||x|| + ||y||

d(x, y) = ℝ^m × ℝ^m → ℝ d(x, y) = || x - y ||

palla di ℝ^m

sia X₀ ∈ ℝ^m

sia r ∈ ℝ⁺

B (x₀, r_ι) = { x ∈ ℝ^m : d(x₀, x) < r_ι }

B ( x, r_ι) = { (b_n - b_m) ∈ ℝ^m : (b_n - x_n)² + ... + (b_m - x_m)² < rι² }

ℝ^m = { x . (x₁, ..., x_m) : x_i ∈ ℝ ∀ i : n, ..., m }

DEFINIAMO

x = (x_i)
y (y_i)
allora x = y ⇒ x_i = y_i ∀ i
x - y = (x_i - y_i) i : n, ..., m
λx = (λx_i) i : n, ..., m
x - y = x + (-n)y
0 = (0, ..., 0)

< , > : ℝ^m × ℝ^m → ℝ
<x, x> = <y, x> = ∑_i=2^m x_iy_i

|x| : ℝ^m → ℝ
|x| = √<x, x>

CAUCHY-SCHWARZ |<x, y>| ≤ ||x||.||y||
DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

d(x, y) = ℝ^m × ℝ^m → ℝ
d(x, y) = |x - y|

palla a ℝ^m

sia X₀ ∈ ℝ^m
sia r ∈ ℝ⁺

B (x₀, r) = { x ∈ ℝ^m : d(x₀, x) < r }

B(x, r) = { (b_n - b_m) ∈ ℝ^m : (b_n - x_n)² + ... + (b_n - x_m)² < r² }

INSIEME APERTO

A ⊆ ℝ^m si dice APERTO se

∀x₀ ∈ A ∃r>0 : B(x₀,r) ⊆ A

In ogni punto di A si può mettere una palla che sia totalmente contenuta in A

PUNTO INTERNO

A ⊆ ℝ^m

x₀ ∈ A è punto interno se ∃r>0 : B(x₀,r) ⊆ A

PALLE E INTERVALLI (O PRODOTTI DI INTERVALLI) APERTI SONO INSIEMI APERTI.

INTERNO di A

INT(A) = { x ∈ A : x è punto interno di A }

INSIEME APERTO

A è APERTO ⇔ A = INT A

INSIEME CHIUSO

C si dice chiuso se C^c aperto.

PUNTO ADERENTE

sia A ⊆ R^m

sia x₀ ∈ R^m

diciamo x₀ è punto aderente ad A se:

∀ε>0 B(x₀,ε) ∩ A ≠ ∅

CHIUSURA

sia A ⊆ R^m

si indica chiusura di A l'insieme

Ā = { x ∈ R^m x aderente ad A }

TEOREMA

[ C chiuso ] ⇔ C = C̅

[ C^c aperto ]

FRONTIERA

F_r A = Ā ∩ Ā^c

Punto di Accumulazione

x₀ ∈ ℝ^m

A ⊆ ℝ^m

x₀ è P.d. Acc. se

∀ε>0 ∃δ_ε>0 : B(x₀, δ_ε) ∩ (A \ {x₀}) ≠ ∅

Teorema

x₀ P.d. Acc. ↔ ∀ε>0 B(x₀, ε) ∩ (A \ {x₀}) contiene ∞

⇐ contiene ∞ → contiene 1.

⇒ Ass: B(x₀, ½) ∩ (A \ {x₀}) = { x_n — x_m }

s/p R = min ½ d(x₀, x_i)

Scelto δ ∈ R vale

B(x₀, δ) ∩ (A \ {x₀}) = ∅ Impossibile per ipotesi.

Derivato

A ⊂ ℝ^m

Derivato di A è D(A) = { x₀ ∈ ℝ^m, x₀ P.d. Acc. di A }

Limite

Sia f : A^m → ℝ

Sia x₀ ∈ ℝ^m

Sia x₀ ∈ D(A^m)

Limite Finito

Lim_{x → x₀} f(x) = λ ∈ ℝ se

∀ε>0 ∃δ_ε>0 : |f(x) − λ |<ε ∀x &isi

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