Appunti teorici di Analisi II per ingegneria

ℝ^m = {x = (x_n, ..., x_m) t ∈ ℝ | ∀i = n, ..., m}

DEFINIAMO

<x , y> ∈ ℝ^m. x (x_i ), y (y_i ) allora x = y ↔ x_i = y_i ∀i i = n, ..., m i = n, ..., m (x + y)_i = x_i + y_i (λx)_i = λ x_i ; λ ∈ (−n)y (0, ..., 0)

<x, y> : ℝⁿ → ℝ <x, y> = <y, x> = ∑_i=2^m x_iy_i

‖ x ‖ = √<x, x>

• > CAUCHY - SCHWARZ ‖  | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖
• > DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖

d ( x, y ) = ℝⁿ x ℝ^m → ℝ d ( x, y ) = ‖ x − y ‖

DEFINIAMO LA NORMA

^>d ( x, y ) = ℝⁿ x ℝ^m → ℝ d ( x, y ) = ‖ x − y ‖

PALLA DI ℝ^m

siano x₀ ∈ ℝ^m sia r ∈ ℝ⁺

B ( x₀, r ) = { x ∈ ℝ^m : d ( x₀ , x ) < r }

B ( x, r ) = { (b_n − b_m ) ∈ ℝ^m : (b_n − x_a )² + ... + (b_m− x_m)² < r² }

Insieme Aperto

• A ⊆ R^m
• A si dice aperto se
• ∀ x₀ ∈ A
• ∃ r>0 : B(x₀,r) ⊆ A

In ogni punto A si può mettere una palla che è totalmente contenuta in A

Punto Interno

• x₀ ∈ A ⊆ R^m
• x₀ ∈ A è punto interno se
• ∃ r>0 : B(x₀,r) ⊆ A

Palle e intervalli (o prodotti d’intervalli) aperti sono insiemi aperti.

Proprietà dei limiti

Siano f, g : Ω → ℝ Ω ⊆ ℝⁿ

x_o ∈ D(Ω) esistono i limiti di: f, g per x → x_o e ancora f → α ∈ ℝ, g → β ∈ ℝ

1. (f + g)(x) → α ± β
2. (f · g)(x) → α · β
3. se β ≠ 0 ( f / g )(x) → α / β

importante per gli esercizi:

lim_x→xo f(x) ≤ lim_x→xo |f(x)| ────→ 1 ≤ α1

Forme indeterminate

• [ ∞ - ∞ ]
• [ ∞ · 0 ]
• [ 0 / 0 ]
• [ ∞ / ∞ ]
• [ n / 0 ] dipende dal segno dello 0

Inverso continuo

C( Ω, ℝ^m )

ϕ : Ω → ℝ^m

f.inverso è continua

∀x ∈ Ω

Teorema Preliminare

ϕ : Ω → ℝ^m

C( Ω, ℝ^m )

ϕ^-1( B( y₀,ε ) )

⊂ Ω

x₀ ∈ Ω

∀ε>0 ∃δ>0

f : ( x, ε )

ϕ^-1

= B( x₀, δ_ε,y0 )

⊂ Ω

La retrazione contiene la palla

f continua su Ω

⇔ f^-1( U ) aperto

∀ U aperto di ℝ^m

⇔ f^-1( U ) = V ∩ Ω

con V aperto di ℝ^m

Conclusione

⊂ aperti

⊃ chiusi.

Ogni A x ₀ ∈ A ⊂ Ω^m, ε>0

se f continua

f^-1( ] 30, ∞ [ ) = A ε⁰ e⁰ è aperto.

OSSERVAZIONE

f è differenziabile

allora ω(h) = (f(x₀ + h) - f(x₀) - ⟨∇f(x₀),h⟩) / ||h||

si ha che

f(x₀ + h) = f(x₀) + ⟨∇f(x₀), h⟩ + ω(h)||h||

APPROSSIMAZIONE di f(x₀ + h)

DIFFERENZIABILE

f è differenziabile se f' ammette in x₀ e dom(f)

def di φ(x₀) : R^m lineare → R

φ(x₀)(h) = ⟨∇f(x₀), h⟩

TEOREMA, CONSEGUENZE DIFFERENZIABILITÀ

f: Ω ⊆ R^m → R

aperto

f è differenziabile in x₀ ∈ Ω

f è continua in x₀.

∀u ∈ R^m

ω ≠ 0

∃ ∂f / ∂u (x₀) = (df(x₀))(u)

= ⟨∇f(x₀), u⟩

dim: f(x₀ + h) - f(x₀) - ⟨∇f(x₀), h⟩ + ω(h)||h||

= lim_h→0 f(x₀ + h) - lim_h→0 f(x₀) - lim_h→0 ⟨∇f(x₀), h⟩ + 0 =

f(x₀) + lim_h→0 ⟨∇f(x₀), h⟩ + 0 = f(x₀) CONTINUITÀ.

lim_h→0 |⟨∇f(x₀), h⟩| ≤ lim_h→0 ∇f(x) · 1 · ||h|| = 0 · 0 = 0

2) ∂f / ∂u (x₀) = lim_t→0 (f(x₀ + tu) - f(x₀)) / t

= lim_t→0 t⟩+ ω(tu)||tu|| / t

= lim_t→0 ⟨∇f(x₀), u⟩ + lim_t→0 t⟩ / t

ω(tu) = ⟨∇f(x₀), u⟩ = df(x₀)(u ◻)

UNIONI O CLASSI

C¹(Ω) = {

f: Ω ⊆ R^m → R :

aperto

∃ ∂f / ∂xj ∀j=1…m ∧ ∀x ∈ Ω :

∂ / ∂x_j f(x) ∈ C(Ω)

C¹(Ω) ⊆ {

f: Ω ⊆ R → R differenziabili

} ⊆ C(Ω)

TEOREMA di C¹

se f ∈ C¹(Ω) allora f è differenziabile in x₀ ∈ dom

Insieme Connesso

Ω ⊂ ℝ^m è connesso se ∀x,y ∈ Ω [x,y] ⊂ Ω

Teorema del Valore Medio di Lagrange

Ipotesi: f : Ω ⊂ ℝ^m → ℝ f differenziabile in Ω

Aperto

x,y ∈ Ω : [x,y] ⊂ Ω

Tesi: f(y) - f(x) = ⟨ ∇f(z), (y-x) ⟩ ∧ z ∈ [x,y]

<Dim> :

Si pone Y(t) = x + t (y-x) t ∈ [0,1]

Y'(t) = y-x

si fa F = f o Y : [0,1] → ℝ

F'(t) = ∑_k=1^m ∂f/∂y_k (Y(s)) (dy/dt)₃ = ⟨ ∇f(Y(s)), Y' (s) ⟩

Polinomio

f : Ω → ℝ^m

f ∈ C¹(Ω)

Tesi: → ∃ differenziabile in Ω

Sa Ω ⊂ ℝ^m aperto ∃ ∀x∈Ω ∃ ε > 0 : B(x,ε) ⊂ Ω

Scelto h ∈ B(x,ε) si ha che ∥h∥<ε

Applico Th Lagrange

f(x+h) - f(x) - ⟨ ∇φ(z_h), h ⟩ = ⟨ ∇φ(z_h), h ⟩

ω(h) → 0

f(x+h) = f(x) + ⟨ ∇φ(x), h ⟩ + ω(h)∥h∥

Formula di Taylor per Classi C₂ con Resto di Peano

Ipotesi: f : Ω ∈ R^m → R

Ω aperto

Tesi: ∀ x ∈ B_ε (x₀) ≡ Ω

f(y) = f(x) + < ∇f(x) , (y-x) > + 1/2 < H_f(x) , (y-x) , (y-x) > + Θ(||y-x||³)

Considero y→x

si ha che z→x → z₁ = y₁

per cui

H_f(z) - H_f(x) - < df(z) , 0 >

0= e^-εcn Θ(||y-x||²) □

Approssimare

f(x,y) = x²e^y

∇f(x,y) = (2xe^y, x²e^y)

∇f(0,0) = (0,0)

H_f(0,0) = [2 0 0 0]

f(x,y) = 0 + < 0 > (0) + 1/2 < [2 0 (x) (y)] > + Θ(| x² + y³ |)

= x² + Θ( x² + y²)

Lunghezza di una curva

Γ: [a,b] → γ ⊆ ℝ³

si divide [a,b] in intervalli con la partizione σ σ: {t_i : a = t₀ < t₁ < t₂... < t_n-1 < t_n = b}

La poligonale μ adatta da σ

LUNG(μ) = ∑_i=1ⁿ ||Γ(t_i) - Γ(t_i-1)||

Curva rettificabile

Sia L = sup {LUNG(μ_i)}; se L ∈ [0, ∞] allora (γ, Γ, t) si dice rettificabile ed L è la lunghezza di (γ, Γ) e non dipende da Γ, ma solo da γ.

Se (γ, Γ, t) è regolare a tratti e rettificabile allora

LUNG(γ) = ∫ ||Γ^'(t)|| dt_I

Lunghezza di (γ, Γ, t) rettificabile

Integrale curvilineo di una funzione

Ipotesi: f: Ω ⊆ ℝ^m → ℝ connesso per archi e (γ, Γ, t) reg. a tratti.

Si definisce ∫ f ds = ∫_a^b f(Γ(t)) • |Γ^'(t)| dt

Baricentro di una funzione lungo una curva

Sia f: Ω ⊆ ℝ³ → ℝ

Sia (γ, Γ, t) curva regolare: y = Γ(t) ∀t ∈ I

Si definisce G baricentro di f il punto G(x_G, y_G, z_G)

x_G = ¹/_{∫ f ds} ∫ x f ds

dove x = "1° componente di Γ(t): Γ(x,y,z)"