Matematica 2 - Appunti

Teorema Fondamentale dell'Algebra

Ogni equazione algebrica di grado m ha esattamente m radici in ℂ.

Se i coefficienti nell'equazione sono tutti reali, allora le radici sono reali o complex conjugate.

Distanza di un vettore dall'origine

\(\|x\|\) Norme euclidea di X

• \(\|x\| \geq 0\) la norma di un qualunque vettore è sempre ≥ 0

\(\|x\| = 0\) è possibile solo in un caso, quando \(\mathbf{x} = (0, 0, \ldots , 0) = 0\)

\(d(x, x_0) = \|x - x_0\| = \sqrt{(x_1 - x_{01})^2 + \cdots + (x_n - x_{0n})^2}\)

Definiamo U(\(x_0\)) l'insieme degli X tali che \(\|x - x_0\| < \delta\)

X ∈ (\(x_0 - \delta, x_0 + \delta\)) = U(\(x_0\))

Definiamo u(\(x_0\)) l'insieme degli X ∈ ℝⁿ tali che \(\|x - x_0\| \leq \delta\)

INSIEME APERTO

A (insieme) è detto aperto se ogni punto X ∈ A è punto interno ad A, cioè

∃ u (X_o, δ) ⊂ A

intorno del punto X_o di raggio δ

def:

Sia f: E ⊂ ℝ^m → ℝ, X_o ≠ X ∈ punto di accumulazione di E, si dice che

lim_X→Xo f(X) = I se lim f(X) = o

│X-X_o│→o

• si dice che X ∈ E è punto di accumulazione ne per E se in ogni intorno del X (∀ u(X, δ)), esiste almeno un punto di E diverso da X.

def:

Sia f: E ⊂ ℝ^m → ℝ, X_o ≠ X ∈ punto di accumulazione per E, si definisce

lim_X→Xo f(X) = +∞ se lim f(X) = +∞

│X-X_o│→o

def:

Sia f: E ⊂ ℝ^m → ℝ, l ≠ ∞, si dice che

lim_X→∞ f(X) = l se lim f(X) = l

│X│→+∞

• insieme che non è limitato ma superiormente ne inferiormente

def: Una trasformazione T:R^m→D R^m è detta lineare se:

• T (X₁ + X₂) = T (X₁) + T (X₂)
• T (λ X) = λ T (X)

∀X, X₁, X₂∈R^m e ∀λ∈R

TEOREMA

1. se T : R → D R è lineare allora T(X) = c x cioè T ∈R tale che svolge l’inuguaglianza
2. se T : R^m→R è lineare esiste un vettore l tale che T (X) = l ∙ X
3. se T : R^m→R^m è lineare esiste una matrice M tale che T (X) = M X

OSSERVAZIONE

Il differenziale primo (di variabile h)

dƒ (x₀,h) = h g’(x₀)

è un’applicazione lineare da R in R²

def: Sia ƒ: A⊂R^m→D R, A aperto x₀∈A, si dice che ƒ è differenziabile in x₀ se esiste un'applicazione lineare L (x₀, h) tale che

ƒ (x₀+h) = ƒ(x₀) + L(x₀, h) + Θ(‖h‖^m)

Θ(‖h‖)^{‖h‖→∞}∀ h ∈ u (o)

Nota ottimizzazione esercizio se necessario?

L (x₀, h) = dƒ (x₀, h) = h p’ (c_x)

è differenziale di ƒ in x₀ relativo all’incremento h

ƒ(x₀∙h) = ƒ(x₀) + dƒ(x₀, h) + Θ(h)

f(x₀+h*x^*)-f(x₀)=⟨f(x₀),h^*⟩+o(⟨h⁺⁺⟩)

=εL+σ(ε)L=⟨l,a(σ(ε))⟩>0

simbolo di linearizzazione vettoriale (tutte lezioni tranne f+ esule)

quindi x₀ non può essere punto di massimo

f(x₀+h*x^*)-f(x₀)=⟨f(x₀),h^*⟩+o(⟨h⁺⁺⟩)

=-εL+σ(ε)L=⟨-l+a(σ(ε))

ε>0

quindi x₀ non può essere punto di minimo

non è punto di massimo, non è punto di minimo - tesi è negata: il punto non è estremante

def: Sia f : Rⁿ ⊆ R^m → R, A aperto, x₀ ∈ A

e j ∈ C^*(u(x₀))

∂f/∂x_i (x) (î=1, …, m) e una funzione reale di variabile vettoriale.

Se A è due volte derivabile rispetto a X_j,

si dice che f è due volte derivabile

rispetto a x_i e x_j,

∂f/∂x_i (x) = g(x) ∂/∂x_j g(x) = ∂/∂x_j

∂²f/∂x_ix (x)

∂/∂x_j (∂²f/∂x_i²) (x) - ∂/∂x_j

di derivata parziale seconda di f rispetto

a x_j e x_i.

iii) se un autovalore della matrice H(f, X₀) è positivo e di ordine k, esistono X₀ è un punto di sella per f

def. è detta curva ogni funzione

Γ: [a, b] → ℝ^m con l'→ Γ(l) ∈ ℓ¹([a,b]); la sua

immagine ¿(Γ) = {¿(l) ∈ [a, b], Γ(l) ∈ ℝ^m} è detta

traiettoria (o ancora curva)

la curva è detta semplice se

Γ(t₁) ≠ Γ(t₂) ∀ t₁, t₂ ∈ (a, b) con t₁ ≠ t₂

la curva è detta aperta se

Γ(a) ≠ Γ(b),

chiusa se

Γ(a) = Γ(b).

la curva è detta regolare se

Γ' ∈ ℓ¹(a, b)

regolare a tratti se

Γ ∈ ℓⁱ, a_i + (a_i+1) per i = 0,...,m-1 ∈ [a₀, a_i] ∪ [a_i, a_i+1]

áU(oml, αιε) = [a, b]

Integrale curvilineo

Se ∫ [a, b] → ℝ^m al curva regolare (ad: ε C¹)

Se ∫ Δs → ℝ^m-ℝ^m con Π &ist; A, f ∈ C°(a)

definiamo, l'integrale curvilineo di f lungo la

traiettoria G, il numero reale:

∫_G f dM = ∫_a^b f(Γ(t)) . Γ'(t) dt

prodotto scalare

vettore le ho per componenti le

derivate delle componenti

di Γ

S_mn = ^m-1∑ _i=0 M_i ⋅ [ϵ_i+1 o_i] ⋅ [C_s+1 - C_s]

Si definisce integrale doppio di ƒ in Q il numero

∫_E ƒ(x,y) dx dy = ∫_b^a (∫_r1(x)^r₂(x) ƒ(x,y) dy) dx =

= ∫_d^c (∫_s1(y)^s₂(y) ƒ(x,y) dx) dy =

Si dimostra che l'integrale doppio esiste se ƒ∈C°(Q) (ƒ continua in Q)

TEOREMA

Sia ƒ; E⊂R² → R, ƒ∈C°(Ē) e T diciamo trasformazione del piano in se. Allora

{ x = X(μ, r) Risulta:

{ y = Y(μ, r)

∫_E ƒ (x,y) dx dy = ∫_E' ƒ°(μ, r) |detT'| du dr

dove E' è il trasformato di E nelle coordinate μ e r.

ƒ°(μ, r) = ƒ (x(μ, r), y(μ, r))

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Un'equazione differenziale è un'equazione in cui l'incognita è una funzione e compare almeno una derivata della funzione incognita.

Le equazioni differenziali. Si chiamano

ORDINARIE quando la funzione incognita dipende da una variabile reale.

Alle derivate parziali quando la funzione incognita dipende da due o più variabili

reali (o da una variabile vettoriale). Si chiamano ordine di un'equazione differenziale