Appunti Teoria dei Giochi

la teoria dei giochi si occupa di analizzare tutte le situazioni in cui 2 o piu decisori interagiscono tra loro.

Nella ricerca operativa si ha un singolo decisore che ha il controllo del sistema e con l'obiettivo di massimizzare una funzione di utilita o minimizzare una funzione di costo.

Nella teoria dei giochi si studia come la scelta degli altri decisori influenzi l'obiettivo personale di ottenere la migliore funzione utilita possibile (oppure un altro decisore puo consumare risorse nel caso in cui queste ultime siano condivise).

Modello di Hotelling

Nel modello di Hotelling, due giocatori gestiscono due chioschi cui devono decidere la posizione lungo una spiaggia lunga 1 km. L'obiettivo di entrambi è massimizzare i profitti, in quanto i bagnanti si recheranno al chiosco più vicino.

Con la possibilità dei giocatori di cambiare, di giorno in giorno, la posizione del chiosco, man mano ci si sposta verso il centro. Essere appaiati al centro è una situatione stabile per la quale nessun giocatore trova più un vantaggio a spostarsi ancora ed entrambi servirebbero lo stesso numero di bagnanti.

Da un punto di vista collettivo la situazione crea uno svantaggio, poiché in media i clienti percorreranno 250 metri per raggiungere un chiosco. Se i chioschi fossero a 250 metri e a 750 metri, i clienti percorrerebbero in media 125 metri, coprendo al contempo i due chioschi la stessa lunghezza di spiaggia (500 metri).

Battaglia dei sessi

Una coppia formata da un uomo e una donna deve decidere come occupare un pomeriggio e hanno intenzione di recarsi in un luogo comune, senza possibilità che i due si rechino in luoghi separati. Nella seguente matrice, il payoff è indice del gradimento della coppia (uomo, donna) verso la destinazione. Il valore 2 è il gradimento massimo, il valore 1 è il compromesso, le 0 impedisce di recarsi nel luogo proposto.

Uomo

• Partita di football: (2,1), (0,0)
• Mostra: (0,0), (1,2)

Se vuole andare alla partita, la scelta migliore per l'uomo è andare alla partita. Ma se la donna vuole andare alla mostra, la scelta migliore per l’uomo è andare alla mostra: non c'è una strategia dominante.

Gli esiti più razionali di questo gioco sono quelli in cui la coppia sta nello stesso luogo: (2,1) e (1,2) sono gli equilibri di Nash. Inoltre, non vi è un miglioramento collettivo nello spostarsi considerando i payoff (sono degli ottimi secondo Pareto).

come la strategia di confessare nel dilemma del prigioniero. Una strategia di questo tipo è detta strategia debolmente dominante.

Se un gioco è finito, e dunque il numero di strategie è finito, necessariamente esiste un payoff minimo e dunque esiste una migliore risposta.

Ipotizzando che, in una matrice dei payoff, il primo giocatore sia disposto "per righe" e il secondo giocatore sia disposto "per colonne",

un equilibrio di Nash è tale se il primo giocatore non ha interesse a muoversi verticalmente e, in contemporanea, il secondo giocatore non ha interesse a muoversi orizzontalmente.

Tragedia dell'uomo comune

Un uomo comune non ha delle risorse unicamente riservate a lui, ma deve condividere le risorse con gli altri giocatori (ad esempio, la banda di rete).

Giocatori:

m giocatori |N| = m

Strategie:

x_i ∈ [0, 1], x_i ∈ ℝ

1 è la quantità di risorsa disponibile, e ogni giocatore può richiedere una quantità di questa risorsa compresa tra 0 e 1.

Il payoff è:

C_i(x₁, ..., x_m) = { 0 se ∑_{j ∈ N} x_j ≥ 1 x_i (1 - ∑_{j ∈ N} x_j) se ∑_{j ∈ N} x_j < 1 }

* x_i (1 - ∑_{j ∈ N} x_j) = x_i (1 - x_i - ∑_{j ∈ N, j ≠ i} x_j)

= x_i (1 - x_i - τ)

Si deve scegliere un valore di x_i che minimizzi la funzione di costo, che è una parabola.

La miglior risposta dipende dagli altri giocatori; dunque non c'è una strategia dominante.

per ogni giocatore i, la strategia x_i = v_i sarà debolmente dominante.

Difatti, per ogni giocatore i il bene oggetto dell’asta ha un valore v_i, che rappresenta per lui un prezzo massimo perché l’acquisto sia sostenibile. Il payoff del giocatore i (in forma di utilità) è

C_i(x₁,...,x_m) = { 0   se i vince l’asta v_i - p   altrimenti }

con p pari all’importo pagato per il bene. Se ogni giocatore scrive nella busta v_i, il giocatore non sta agendo in modo strategico (senza pensare a cosa faranno gli altri giocatori!). Si tratta di una strategia dominante.

Asta di primo prezzo

In questa situazione, si pone p pari al valore della massima offerta   p = max x_i. Allora non esistono strategie debolmente dominanti. Si consideri infatti: x̄_i > 0 (1) e x̣̄_i = 0 (2):

1. se tutti gli altri giocatori giocano 0, x_j = 0   ∀ j ≠ i, la strategia ^x̄_i è migliore di x̄_i > 0.
2. se tutti gli altri giocatori giocano ^v̄_i / 2 (assumendo v_i > 0   ∀ i ∈ N), esiste un ε > 0 tale che la strategia ^v̄_i / 2 + ε è migliore perché si vince l’asta con un migliore payoff.

per il danno non entrambi. Occorre definire una regola legale, una funzione p(x₁, x₂), che misura quanta parte del danno è ascrivibile al primo giocatore e quanta parte del danno è ascrivibile al secondo giocatore, facendo:

c₁(x₁, x₂) = x₁ + L(x₁, x₂) p(x₁, x₂)c₂(x₁, x₂) = x₂ + L(x₁, x₂)(1 - p(x₁, x₂))

con p(x₁, x₂) ∈ ℝ₊ x ℝ₊ → [0,1], p è la frazione di danno imputabile al primo giocatore.

La regola legale usata è la colpa con concorso di colpa.

Poste due soglie y̅₁ ∈ ℝ₊, y̅₂ ∈ ℝ₊, per l’attenzione dei giocatori, p diventa binaria: p = 1 solo se il responsabile non è stato sufficientemente attento e la vittima è stata sufficientemente attenta,

p(x₁, x₂) = {1 se x₁ < y̅₁ e x₂ > y̅₂0 altrimenti}

Si definisce infine la funzione di costo sociale dell'incidente

U(x₁, x₂) = x₁ + x₂ + L(x₁, x₂)

e si supponga che abbia un unico punto di minimo (x₁^*, x₂^*), x_i^* > 0. L'obiettivo di chi progetta il gioco è che l’esito probabile del gioco sia proprio l’ottimo sociale (x₁^*, x₂^*).

Esercizio

Si consideri un meccanismo d'asta di primo prezzo in busta chiusa con i seguenti giocatori e strategie:

in caso di parità, vince l'ultimo giocatore in ordine alfabetico

v_i è il valore massimo che ogni giocatore attribuisce al bene oggetto dell'asta

1. esiste un equilibrio di Nash in cui B vince l'asta?
2. esiste un equilibrio di Nash in cui non sia A a vincere l'asta?
3. ci può essere un equilibrio di Nash in cui sia A a vincere l'asta con un'offerta x_A ∈ ℝ?
4. ci può essere un equilibrio di Nash in cui sia A a vincere l'asta con un'offerta x_A ∈ ℤ?

1. FALSO. Se B ed A offrissero 20 B vincerebbe l'asta, ma A potrebbe voler aumentare di ε la sua offerta.
2. FALSO. A può offrire sempre più di ogni altro giocatore e avere un payoff positivo.
3. FALSO. Se A vincesse l'asta con un'offerta più grande E della seconda migliore offerta, allora la vincerebbe anche offrendo ε più della seconda migliore offerta.
4. VERO. Se A offre 21 e B offre 20, e tutti offrirono il loro v_i, nessuno cambierebbe la propria scelta.