Appunti Teoria dei Giochi

La cella SO,SO rappresenta un Equilibrio di Strategie dominanti.

Strategia strettamente dominante: in un gioco a 2 giocatori i pay-off della strategia strettamente

dominante è più alto di ogni altra strategia qualsiasi sia la strategia dell'altro giocatore.

Strategia debolmente dominante: in un gioco a 2 giocatori i pay-off della strategia debolmente

dominante sono:

• almeno alti quanto i payoff di altre strategie indipendentemente dalla strategia scelta

dall'altro giocatore

• più elevati almeno riguardo a una strategia dell'avversario.

2.2 Equilibrio di dominanza iterata

Molti giochi non hanno un equilibrio di strategia dominante. In questi casi si può cercare un

equilibrio di dominanza iterata. Questo può esistere se uno dei giocatori ha una strategia

strettamente o debolmente dominante. Se una di queste strategie esiste allora le altre sono strategie

dominate e possono essere eliminate poiché peggiori, indipendentemente dalla strategia

dell'avversario. Mr Column

party club wedding

Mr. Row party 1,3 2,0 1,1

club 2,2 1,1 1,0

wedding 1,3 1,4 0,5

Questo è un gioco normale, 2x3, completo.

In questo caso per Mr.Row la strategia wedding è debolmente dominata sia dal club che dal party e

quindi può essere eliminata. Mr Column

party club wedding

Mr. Row party 1,3 2,0 1,1

club 2,2 1,1 1,0

Ora per Mr. Column la strategia party domina le atre due strategie che possono eliminarsi e

Mr.Colum sceglierà party. Mr Column

party

Mr. Row party 1,3

club 2,2

A questo punto Mr.Row sceglierà la strategia club poiché ha un pay-off maggiore.

Se si avesse ragionato per il criterio del massiminimo, ipotizzando i soggetti come prudenti, il

risultato sarebbe stato lo stesso.

Esempio di dominanza debole iterata svolto in classe:

C1 C2 C3 C4

R1 *5,10 0,11 1,20* 10,10

R2 4,0 1,1 2,0 20,0

R3 3,2 0,4* *4,3 50,1

R4 2,93* 0,92 0,91 *100,90

La casella R4,C4 rappresenta il focal point.

Si può notare che C4 è dominata da C2 e quindi eliminabile

C1 C2 C3

R1 *5,10 0,11 1,20*

R2 4,0 1,1 2,0

R3 3,2 0,4* *4,3

R4 2,93* 0,92 0,91

Ora si può eliminare R4 dominata da tutte le altre

C1 C2 C3

R1 *5,10 0,11 1,20*

R2 4,0 1,1 2,0

R3 3,2 0,4* *4,3

C3 domina C1

C2 C3

R1 0,11 1,20*

R2 1,1 2,0

R3 0,4* *4,3

R3 domina R1

C2 C3

R2 1,1 2,0

R3 0,4* *4,3

Ora C2 domina C3 quindi C2 sarà la strategia scelta da Colonna.

C2

R2 1,1

R3 0,4*

Riga sceglierà R2 poiché ha il payoff maggiore e la cella 1,1 sarà Equilibrio di dominanza debole

iterata (anche equilibrio di Nash poiché nessuno ha intenzione di deviare da quella scelta.

Gioco senza dominanza

C1 C2 C3

R1 *100,100 0,0 50,101*

R2 50,0 1,1 60,0

R3 0,300* 0,0 *200,200

Se R1 allora C sceglie C3, ma se C3, allora R3, ma se R3 allora C1, ma se C1 allora R1 e cosi via.

Il ciclo si ferma solo quando simultaneamente scelgono R2 e C2.

Nella tabella non ci sono dominanze ma l'unico equilibrio è nel punto 1,1 anche se nella tabella

esistono celle con payoff Pareto superiori per entrambi. Ciò evidenzia ciò che viene chiamato un

Dilemma sociale: quando il perseguimento del proprio interesse da parte del singolo porta a risultati

sub ottimali per tutti i giocatori rispetto a quelli ottenibili tramite un accordo.

Il punto 1,1 è perciò un Equilibrio di Nash.

2.3 Equilibrio di Nash

Nell'equilibrio di Nash i giocatori scelgono le strategie che sono la risposta migliore a quelle degli

altri. Nell'equilibrio delle strategie dominanti e delle dominanze-iterate le strategie dei giocatori

sono anche le migliori indipendentemente dalla mossa altrui quindi sono anche equilibri di Nash ma

non è detto il contrario.

Esempio Computer War Chip Inc Extended guarantee

Lower price Free printer

Pin LTd Lower Price 0,4* *4,0 5,3

Free Printer *4,0 0,4* 5,3

Extended guarantee 3,5 3,5 6,6

Non si evidenziano strategie dominanti.

Si segnano con un asterisco per riga e per colonna tutte le mosse migliori data la mossa

dell'avversario.

Si evidenzia, perciò un equilibrio di Nash nella cella 6,6 ovvero la situazione per cui nessuno dei

due giocatori è incentivato a modificare la propria mossa in quanto la migliore data la mossa

dell'avversario.

Esercizio 2.5 variante computer war Chip Inc Extended guarantee

Lower price Free printer

Pin LTd Lower Price *1,0 *1,2* 0,1

Free Printer 0,3* 0,1 *2,0

Sia per riga che per colonna non c'è una strategia dominante.

Evidenziando le migliori mosse si trova un Equilibrio di Nash nella cella 1,2.

2.3.1 Definizioni formali

Per definire una strategia dominante per il giocatore A in un gioco con il giocatore B:

• P(Ai,Bi) è il pay-off del giocatore A che ottiene se sceglie la strategia Ai quando B sceglie

Bi

• P(A-i,Bi) è il pay-off del giocatore A che ottiene se sceglie una strategia diversa da Ai se B

sceglie Bi

• P(Ai,B-i) è il pay-off del giocatore A che ottiene se sceglie Ai e B sceglie una strategia

diversa da Bi.

C'è una strategia strettamente dominante per il giocatore A se per tutte le strategie alternative A-i

e B-i:

P(Ai,Bi) > P(A-i,Bi) e P(Ai,B-i) > P(A-i,B-i) quindi

Il Pay-off ottenuto da A scegliendo Ai quando B sceglie Bi è maggiore di quello che otterrebbe

scegliendo una strategia alternativa dato Bi e il Payoff che A ottiene scegliendo quella strategia data

una strategia alternativa di B è maggiore di quello ottenibile da mosse alternative di entrambi.

Quindi tutte le strategie A-i sono dominate.