appunti di teoria: cinematica

CINEMATICA

Studio del moto dei corpi

il corpo deve avere delle dimensioni trascurabili rispetto allo spazio dove si muove

(puntiforme)

Punto materiale

oggetto per il quale trascuriamo il moto rotatorio

Sistema di riferimento

(S.R.) una terna di assi cartesiani + orologio

Traiettoria

linea percorsa dal punto materiale durante il suo moto

Posizione

del punto in istante t

la posizione è una funzione di stato, e non una grandezza

t + Δt → r̅ (t + Δt)

Spostamento

di P in Δt → è una grandezza cinematica

Δ r̅ = r̅ (t + Δt) - r̅ (t)

r̅ (t) + Δ r̅ = r̅ (t + Δt)

Velocità media

nell'intervallo Δt → V̅_m = Δ r̅ / Δt

Velocità istantanea

int → V̅ (t) = lim Δt→0 Δ r̅ / Δt

Accelerazione media

di P in Δt → a̅_m = Δ v̅ / Δt = V̅ (t + Δt) - V̅ (t) / Δt

il vettore a̅_m è tangente a v̅

Accelerazione istantanea

int → a̅ (t) = lim Δt→0 Δ v̅ / Δt

Unità nel S.I.

• Δt: s
• v̅: m/s
• a̅: m/s²

CINEMATICA

• Studio del moto dei corpi.
• Il corpo deve avere delle dimensioni trascurabili rispetto allo spazio dove si muove (puntoforme).

Punto materiale → oggetto per il quale trascuriamo il moto rotatono.

Sistema di riferimento (S.R.) → una terna di assi cartesiani + orologio.

Traiettoria → linea percorsa dal punto materiale durante il suo moto.

Posizione del punto in un istante t_i è r⃗ (t) e il punto A^t rappresenta la posizione di un indice di stato e non una grandezza.

• t → Δt → r⃗ (t + Δt)

Spostamento di P in Δt → è una grandezza cinemica.

• Δr⃗ = r⃗ (t + Δt) - r⃗ (t)
• r⃗ (t) + Δr⃗ = r⃗ (t + Δt)

Velocita media nell'intervallo Δt → V̄_m = Δr⃗ / Δt

• Velocita istantanea int → V⃗ (t) = lim Δt→0 Δr⃗ / Δt

Accelerazione di P in Δt → ā_m = ΔV⃗ / Δt

• v⃗ (t + Δt) - v⃗ (t)

Accelerazione istantanea int → a⃗ (t) = lim Δt→0 ΔV⃗ / Δt

Unità nel S.I.

• Δt [t] → m
• ΔV⃗ [V⃗ ] → m/s
• a⃗ → m/s²

Moto Rettilineo

x(t) → x(t+Δt)

t      t+Δt

• Δx = x(t+Δt) - x(t)
• Vm = Δx/Δt
• V(t) = lim Δx/Δt

y'_(x+Δx) - y'_(x) = lim (y'(x+Δx) - y'_(x))/Δx

y=f(x)

y₁ derivata prima * coefficiente angolare retta tg

V(t) = dx/dt

Derivata della posizione (x) rispetto al tempo

Equazione Generale: x(t) = v&t x(t) = x₀ + vt se x₀ ≠ 0 osserva uso

Traiettoria

V_t = V_o = costante t=0 = x = x_o

? legge oraria

parto da v = dx/dt → e ottengo

∫₀^t v_t dt = ∫_xo^x dx

Integrale Definito

V_o [₀^t] = [_xo^x]

V_o (t-0) = x - x_o

V_ot = x - x_o x = x_o + v_ot

x(t) = X_o + V_ot

Esercizio

Dati:

x(t) = 3 + 5t² + t

x(t) = 3m + _{5 m}/^s2 t² + _{1 m}/^s t

? v(t)

v(t) = _dx/^dt = 10t+1

v(t) = 10 _m/^s2 t + _{1 m}/^s

è un moto uniformemente accelerato → a = costante

Moto uniforme → |v| = costante (in modulo)Moto rettilineo uniforme → v costante (in modulo direzione e verso)Moto uniformemente accelerato → a = costante

? a(t)

a(t) = _dv/^dt = 10

a(t) = 10 _m/^s2

x(t) = 3 + 5t² + t

Esercizio

t=0 → x = 3mt=0 → v = 2 m/sa = 5 m/s²

x(t) = ?

a = _dv/^dt

dt a = dv

_v0∫^v dv = ₀∫^t a dt

= ₂∫^v dv = ₀∫^t 5 dt

[v]₂^v = [5t]₀^t

v - 2 = 5tv = 5t + 2 → v(t) = 5t + 2

2

dv = ^dx⁄_dt

dx = dvdt

^dx⁄₃ = ^{∫₀t(5t + 2) dt}

^x⁄₃ = [^{(5t2⁄₂ + 2t)}] ^t⁄₀

[^x⁄₃] = [^{(5t2⁄₂ + 2t)}] ^t⁄₀

x - 3 = ^{(5t2⁄₂ + 2t)}

x = ^t2⁄₂ + 2t + 3

→ x(t) = ⁵⁄₂ t² + 2t + 3

x(t) = ¹⁄₂ at² + v_ot + x_o

↓ ↓ ↓

s 2 3

Area = (^{{5t + 2 + 2}})^t⁄₂

ES

a(t) = 2t + 1

v_o = 4

x_o = 0

a = ^dv⁄_dt

dv = adt

dv = (2t + 1) dt

∫ dv = ∫ (2t + 1) dt

v = [^2t2⁄₂+ t]^t⁄₀

v - 4 = t² + t

v = t² + t + 4

∫ ^dv⁄_dt = ∫

dx = vdt

dx = ∫ (t² + t + 4) dt

Sostuisco con i dati

Moto di caduta dei gravi

a = -g

a = dv/dt

v att = dv

∫dv = -∫g dt

v - v₀ = -g t

V(t) = v₀ - g t

∫dψ = ∫v dt

∫dψ = ∫v₀ - g t dt

ψ - h = v₀ t - 1/2 g t²

ψ(t) = h + v₀ t - 1/2 g t²

V = 0

0 - v₀ - g t = t = v₀/g

I MOTI PIANI: IL MOTO PARABOLICO

sull'ASSE x - M.R.U con a_x=0

sull'ASSE y - M.U.A con a_y=-g

V_x=V_ocosθ - V_k in ogni istante

V_oy=V_osinθ

V_k=V_ocosθ

V_oy=V_osinθ

V_y(t)=V_osinθ - gt

x(t)=V_ocosθ t

y(t)=V_osinθt - ½ gt²

y(t)=sinθ ^x⁄_Vocosθ - ½ g^x⁄_(Vocosθ)²

ottengo la traiettoria che è una parabola y=bx+ax²

Moto Parabolico da un'Altezza (h)

V_x = V_oV_y = -gtx = V_oty = h - 1/2 gt²

V_x = V_ocosθV_y = V_osinθ - gtx = V_ocosθ ty = h + V_osinθ t - 1/2 gt²

Esempi

V_ox = 300 m/sh = 20 m

? t vologittata (d)

x = V_oty = h - 1/2 gt²

Terra ——— y = 0O = h - 1/2 gt²2h - gt² = 0

t +V_volo = √(2h/g) = √(40 m/10 m/s²) = 2 s

Ricavo il tempo

d = V_ot_volod = 200 m/s × 2 s = 600 m

V_i2 = V_ox² + V_oy²V_f² = -g t_volo²V_f = 20 m/s

V_p = 300 m/s (V_x) 20 m/s (V_y)V_p = √(300² + (20)²) = 300.6 m/s

Ricavo la componente V_fy

^o* = arctg(V_y/V_x) = arctg(20/300) ≈ 3.8° ≈ 4°

ES

v₀=30 m/sθ=60°? v₀x, hmax, d

v_y si annulla in M → in M v_y=0

• v_x = v₀cosθ
• v_y = v₀sinθ - gt

• x = v₀cosθ · t
• y = v₀sinθ · t - ½ gt²

pongo v_y = 0 in

• 0 = v₀sinθ - gt

t_max = ^v₀sinθ/_g = ^30·√3/2/_9.8 = ^15√3/_9.8 = 2.65s

t_v = 2t_m perché la traiettoria è simmetrica

t_v = 5.3s

Sostituisco in

h_max = 30 m/s √3/2 2.65s - ½ 9.8 (2.65)² = 34.4 m

x = 30m cos(60) 5.3s = uso il tempo di volo totale30 m/s · 5.3 = 79.5 m

I MOTI PIANI: IL MOTO CIRCOLARE

r, θ(t) il raggio non dipende dal tempo, è una costanteS = r · θ = ASCISSA CURVILINEA

S(t) = r · θ(t)

velocita' scalare istantanea = ^dS/_dt

S(t) = r · dθ= r · ^dθ/_dt con w = ^dθ/_dt

v = r · ^dθ/_dt con v = r

|v| = r · |w| dove w = velocita' angolare [rad s-1]

w = ^v/_r e' una costante, non varia mano a mano che mi avvicinodal centro

v aumenta man mano che mi allontano

V = r . w

^dv⁄_dt = ^dw⁄_dt = α

a_tang = r . α

w = ^θ⁄_∫θ₀ = ^t⁄_∫0 w dt

θ = θ₀ + wt

MOTO CIRCOLARE UNIFORME

S(t) = r (θ₀ + wt)

SE il MOTO CIRCOLARE è UNIFORME → V = cost, w = cost → è un MOTO PERIODICO

periodo T = tempo impiegato per un giro

T = ^2πr⁄_V V = wr

T = ^2π⁄_w = ^2π⁄_w

frequenza = ƒ = numero di giri nell'unità di tempo (1 sec)

ƒ = ¹⁄_T = ^w⁄_2π

P: r̅ = x(t) î + y(t) ĵ

x(t) = r . cos Θ(t)

y(t) = r . sin Θ(t)

SE moto è UNIFORME Θ(t) = wt

x(t) = r cos wt

y(t) = r sin wt

r̅(t) = r u_r

V(t) = ^d̅r⁄_dt = r . ^d̅ur⁄_dt

u̅r = cos Θ(t) î + sin Θ(t) ĵ

^d̅ur⁄_dt = dθ̅ . sin Θ(t) î + dθ̅ cos Θ(t) ĵ

d̅ur = ^dθ⁄_dt ( - sin Θ î + cos Θ ĵ)

r(t) = r u̅r

V(t) = - r u̅θ

Moto Circolare

ds = r dθ

ω = w k̂

Verso diretto come il asse di rotazione e il asse piano

Stesso vettore scritto in 2 modi

ṙ = r μₜ

v̅ = r dθ/dt [-sin θ îₓ + cos θ îᵧ]

du̅/dt = [dω/dt μₜ + w dμₜ/dt ] - r x μₜ² + rw [-cos θ dθ/dt μₜ]

α̅ = αₜ u̅ₜ - rw² u̅μ

Accelerazione Tangenziale

Accelerazione Centripeta / Radiale / Normale

αР = -rw²

α_c = rw²

MOTO ARMONICO

M.C. Uniforme → ω = costante → no α_θ

Θ = ωt

Θ_t = ωt + Θ₀

x = r cosωty = r sinωt

v_x = dx/dt = -rω sinωtv_y = dy/dt = rω cosωt

a_x = dv_x/dt = -rω² cosωta_y = dv_y/dt = -rω sinωt

P₁ → proiezione di P su x

• x(t) = r cosωt
• v(t) = -rω sinωt
• a(t) = -rω² cos(ωt)

a_P1 = -ω² x_P

TRAIETTORIA di P₁ in funzione del tempo → P si muove di MOTO ARMONICO

Spostamento e accelerazione hanno sempre verso opposto e sono proporzionali

NON c’è nulla di uniforme: l’andamento ha un andamento sinusoidale

MOTO ARMONICO → moto della proiezione di un punto che si muove di moto circolare

CINEMATICA RELATIVA

Spostamento dei sistema di riferimento

1° CASO: MOTO RELATIVO SOLO TRASLATORIO

• r_P = r'_P + r_O0
• V_P = V'_P + V_O0
• a_P = a'_P + a_O0

versori rimangono fissi

2° CASO: MOTO RELATIVO ROTATORIO CON ω MA O' = O

A si muove di moto circolare

dopo aver ricavato i valori li inserisco in

• V_P = V'_xu₁' + V'_yu₂' + V'_zu₃ + x(ω_xu₁ + ω_yu₂ + ω_zu₃) x(u₁'y' - y'₂u₁') + 2(xU₂)

VELOCITÀ DI TRASCINAMENTO

che compete ad ogni punto solidale con il terna mobili e (O’) nel suo moto rispetto al terna fissa (O).

v = v' + ω x r'

d_v = a

d( v'/dt ) + (ω x r)'

a(dv'/dt)

dv/dt = dv'/dt + V_x + V_y + V_z + ω₁' u₁' + ω₂' u₂' + v₁ u₂'